Kenneth Cheng數學・模型・思考
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學習・解釋・訂正

向量作為位移

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高一必修 第二册(A版).pdf · 6.1 · PDF 9 / 印刷頁 2

專題 01

向量作為位移

平移、相加及數乘箭頭，分辨路程與淨位移。

學完之後，你能解釋

  • 不依賴起點表示位移。
  • 使用首尾相接法及長度的絕對倍數。
  • 選擇符合方向限制的速度。

箭頭為何可以搬動

路線可多次轉彎，淨位移卻只需起點與終點。

位移記錄位置變化；同時平移兩端點保留變化，交換兩端點則取相反向量。

AB→=B−A,∣tu∣=∣t∣∣u∣\overrightarrow{AB}=B-A,\quad|t u|=|t||u|

  1. 連接路線的中間位置相消。

    (B−A)+(C−B)=C−A(B-A)+(C-B)=C-A

  2. 數乘長度平方含t²，取非負平方根便是|t|。

    ∣tu∣=t2(ux2+uy2)=∣t∣∣u∣|tu|=\sqrt{t^2(u_x^2+u_y^2)}=|t||u|

成立條件

  • 只可把非零向量單位化。
  • 相等向量須同方向且同長度。

反例：兩枝反向單位箭頭的合向量為零，但模之和為二。

  • 箭頭圖→有序分量→淨位移→模。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：預測向量乘負數後，哪些特徵會改變。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

藍色為u；紅色為從平移起點畫出的tu。兩箭頭使用同一自動比例，令完整長度保持可見。長度使用|t|；零箭頭沒有單位方向。utu

藍色為u；紅色為從平移起點畫出的tu。兩箭頭使用同一自動比例，令完整長度保持可見。長度使用|t|；零箭頭沒有單位方向。

圖像的數值資料，可列印
量數值
u3, 2
tu3, 2
|u|3.60555128
|tu|3.60555128

解釋：模型從不同起點畫u及tu，表格分開有符號分量與長度。

遷移：設定使數乘後位移為零但原向量非零，解釋為何此時不能取單位方向。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。

01 / 基礎#示範例題

先向東走3，再向北走4，求合位移長度。

u=(3,0), v=(0,4)u=(3,0),\ v=(0,4)
考點與先備課節

範圍：JM02

計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
把箭頭首尾相接。
提示 2
合位移連接起點與終點。
完整解答
  1. 分別相加水平及垂直位移。
    u+v=(3,4)u+v=(3,4)
  2. 用直角三角形，不是路程。
    ∣u+v∣=32+42=5|u+v|=\sqrt{3^2+4^2}=5
位移長度為5。
檢查與易錯點：路程為7，但位移量度起終點的直線連接。
先思考，待同學準備好再展開提示。
02 / 鞏固#示範例題
求D，使CD表示與AB相同的向量。
A=(1,2),B=(4,6),C=(−2,1)A=(1,2),B=(4,6),C=(-2,1)
已提供首步，請接續推理：計算原位移。
B−A=(3,4)B-A=(3,4)
考點與先備課節
範圍：JM02
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
比較終點減起點。
提示 2
平移整枝箭頭，不旋轉。
完整解答
  1. 計算原位移。
    B−A=(3,4)B-A=(3,4)
  2. 把它加到新起點。
    D=C+(3,4)=(1,5)D=C+(3,4)=(1,5)
D=(1,5)。
檢查與易錯點：相等自由向量不必共用起點。
推理清單・自評／教師評核
  • D=(1,5)。
  • 相等自由向量不必共用起點。
先思考，待同學準備好再展開提示。
03 / 遷移#示範例題
|u+v|=|u|+|v|是否對每對向量成立？反駁或證明。
u=(1,0), v=(−1,0)u=(1,0),\ v=(-1,0)
考點與先備課節
範圍：JM02
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
使用所示反向箭頭。
提示 2
分別計算兩邊。
完整解答
  1. 反向位移相互抵消。
    u+v=(0,0)u+v=(0,0)
  2. 兩個模均為正。
    0=∣u+v∣<∣u∣+∣v∣=20=|u+v|<|u|+|v|=2
不成立；這對反向單位向量是反例。
檢查與易錯點：模不能對加法分配。
推理清單・自評／教師評核
  • 不成立；這對反向單位向量是反例。
  • 模不能對加法分配。
先思考，待同學準備好再展開提示。
04 / 基礎#獨立練習
求箭頭長度。
v=(−6,8)v=(-6,8)
考點與先備課節
範圍：JM02
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
負分量表示方向。
提示 2
兩個分量均須平方。
完整解答
  1. 使用歐氏長度。
    ∣v∣2=36+64|v|^2=36+64
  2. 取非負平方根。
    ∣v∣=10|v|=10
長度10。
檢查與易錯點：不可因分量為負便減去其平方。
先思考，待同學準備好再展開提示。
05 / 基礎#獨立練習
乘以−3後，求向量長度。
∣v∣=2|v|=2
考點與先備課節
範圍：JM02
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
負號反轉方向。
提示 2
長度乘以倍數的絕對值。
完整解答
  1. 分清長度與方向。
    ∣−3v∣=∣−3∣∣v∣|-3v|=|-3||v|
  2. 代入已知長度。
    3⋅2=63\cdot2=6
長度6。
檢查與易錯點：向量長度不能是−6。
先思考，待同學準備好再展開提示。
06 / 基礎#獨立練習
化簡沿三角形ABC一周的位移。
AB→+BC→+CA→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}
考點與先備課節
範圍：JM02
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
先合併首兩枝箭頭。
提示 2
終點在哪裏？
完整解答
  1. 首兩箭頭由A連到C。
    AB+BC=ACAB+BC=AC
  2. 最後一箭頭返回A。
    AC+CA=0AC+CA=\mathbf0
零向量。
檢查與易錯點：零位移不表示路程為零。
推理清單・自評／教師評核
  • 零向量。
  • 零位移不表示路程為零。
先思考，待同學準備好再展開提示。
07 / 基礎#獨立練習
給出同方向的單位向量。
v=(0,−5)v=(0,-5)
考點與先備課節
範圍：JM02
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
除以正長度。
提示 2
保留下方方向。
完整解答
  1. 計算非零模。
    ∣v∣=5|v|=5
  2. 把兩分量單位化。
    v/∣v∣=(0,−1)v/|v|=(0,-1)
(0,−1)。
檢查與易錯點：除以−5會反轉方向。
推理清單・自評／教師評核
  • (0,−1)。
  • 除以−5會反轉方向。
先思考，待同學準備好再展開提示。
08 / 鞏固#獨立練習
平行四邊形ABCD中，以u=AB、v=AD表示AC及BD。
AB→=u, AD→=v\overrightarrow{AB}=u,\ \overrightarrow{AD}=v
考點與先備課節
範圍：JM02
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
以A作共同原點。
提示 2
對BD，須用D減B。
完整解答
  1. 對角頂點的位置為u+v。
    AC=u+vAC=u+v
  2. 另一對角線由u指向v。
    BD=v−uBD=v-u
AC=u+v，BD=v−u。
檢查與易錯點：兩對角線不會都等於u+v；其端點不同。
推理清單・自評／教師評核
  • AC=u+v，BD=v−u。
  • 兩對角線不會都等於u+v；其端點不同。
先思考，待同學準備好再展開提示。
09 / 鞏固#獨立練習
向東3、向北4、向西3，求位移的模。
考點與先備課節
範圍：JM02
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
抵消反向水平移動。
提示 2
只剩一個分量。
完整解答
  1. 相加有符號位移。
    (3,0)+(0,4)+(−3,0)=(0,4)(3,0)+(0,4)+(-3,0)=(0,4)
  2. 量度合向量。
    ∣(0,4)∣=4|(0,4)|=4
位移為4；路程為10。
檢查與易錯點：只有問路程時才用10。
先思考，待同學準備好再展開提示。
10 / 鞏固#獨立練習
兩單位向量滿足u+v=0，求夾角，單位為度。
∣u∣=∣v∣=1|u|=|v|=1
考點與先備課節
範圍：JM02
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
整理為v=−u。
提示 2
兩向量均非零。
完整解答
  1. 兩者方向相反。
    v=−uv=-u
  2. 夾角為半周。
    θ=180∘\theta=180^\circ
180°。
檢查與易錯點：相反向量並非垂直。
先思考，待同學準備好再展開提示。
11 / 鞏固#獨立練習
學生以零向量的長度作除數，嘗試把零向量單位化。解釋失敗原因。
v=(0,0)v=(0,0)
考點與先備課節
範圍：JM02
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
先求分母。
提示 2
單位向量的長度須為一。
完整解答
  1. 零向量的模為零。
    ∣v∣=0|v|=0
  2. 除以零不能產生方向或單位向量。
    v/∣v∣ is undefinedv/|v|\text{ is undefined}
單位化沒有定義。
檢查與易錯點：任意指定方向是改變問題，不是把零向量單位化。
推理清單・自評／教師評核
  • 單位化沒有定義。
  • 任意指定方向是改變問題，不是把零向量單位化。
先思考，待同學準備好再展開提示。
12 / 遷移#獨立練習
機械人先移動(2,1)，再移動(1,3)。求返回起點的最短路程。
考點與先備課節
範圍：JM02
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
找出機械人相對起點的位置。
提示 2
任何折線回程均不少於直線距離。
完整解答
  1. 回程位移為合位移的相反向量。
    r=−(3,4)=(−3,−4)r=-(3,4)=(-3,-4)
  2. 直線回程可達到下界。
    dmin⁡=∣r∣=5d_{\min}=|r|=5
最短為5，沿直線返回可達到。
檢查與易錯點：倒序沿原路返回可行，但並非最短。
先思考，待同學準備好再展開提示。
13 / 遷移#獨立練習
水流向東3米／秒；船相對水的速率為5米／秒。選擇船速向量使航線正北，並求橫越20米河面的時間。
east=x, north=y\text{east}=x,\ \text{north}=y
考點與先備課節
範圍：JM02
計算過程與解釋
逐步建立思路
提示 1
在水平方向抵消水流。
提示 2
用固定速率求北向分量。
完整解答
  1. 正北航線要求船提供−3的水平分量。
    vx=−3v_x=-3
  2. 取正的垂直分量。
    vy=25−9=4v_y=\sqrt{25-9}=4
  3. 對地速度為(0,4)，時間為路程除以速率。
    t=20/4=5 st=20/4=5\text{ s}
船速向量(−3,4)米／秒；過河時間5秒。
檢查與易錯點：船頭指向正北，不代表對地航線正北。
推理清單・自評／教師評核
  • 船速向量(−3,4)米／秒；過河時間5秒。
  • 船頭指向正北，不代表對地航線正北。
先思考，待同學準備好再展開提示。
專注一道題目
課末檢核與訂正
回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。
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    選擇需要重溫的補底知識 ↗
    教師備課與評核
    40 分鐘教案
    分鐘環節教師及學生任務
    5預測與診斷比較兩枝平移箭頭並判斷是否相等。
    8概念推導用封閉路線推導首尾相接及負數倍。
    10引導應用完成平移箭頭例題，同桌解釋模的反例。
    12遷移與解釋解有方向限制的渡河題，討論何時無解。
    5離堂證據書寫並核對位移離堂題。
    提問順序
    • 把箭頭平移到另一張桌，甚麼改變？
    • 走得更遠，可否反而更接近起點？
    板書發展
    • 畫向東3、向北4及單一斜線，標示路程7、位移5。
    • 寫出船速＋水流＝對地速度，再令水平分量為零。
    預期正誤回答
    • 學生把數乘後長度寫−6，請他在尺上指出負長度。
    • 正確作答：「長度是6；負倍數令箭頭反向。」
    • 錯誤作答：「倍數是負，所以長度是−6。」
    追問
    • 若水流比船快，還能正北航行嗎？用分量平方解釋。
    補救
    • 用兩枝反向紙箭頭，分別量度其模及零合向量。
    離堂檢核
    • 寫一項平移箭頭保留的量，及一項箭頭未記錄的路線特性。
    評核清單與作答示例
    • 分別評核方向選擇、有符號分量及非負模。示例：(−3,4)＋(3,0)＝(0,4)，故過河時間20/4。
      正確作答：「長度是6；負倍數令箭頭反向。」
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