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學習・解釋・訂正

推導角A對邊的餘弦定理。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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高一必修第二册(A版).pdf · 6.4 · PDF 45 / 印刷頁 38

先重溫：坐標、基底與分點數量積與受限投影

專題 01

三角形的向量證明

把幾何假設轉為向量方程，清楚列出條件地證明中點、重心及垂心性質。

學完之後，你能解釋

選擇方便原點而不改變幾何命題。
由模平方推導中線公式。
分清定理、逆命題及不退化條件。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。

01 / 鞏固#示範例題

推導角A對邊的餘弦定理。

AB=u,\ AC=v,\ |u|=c,\ |v|=b,\ |BC|=a

考點與先備課節

範圍：JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

BC=v−u。

提示 2

展開其模平方。

完整解答

用數量積展開。
$a^2=|v-u|^2=b^2+c^2-2u\cdot v$
代入夾角關係。
$u\cdot v=bc\cos A$

a²=b²+c²−2bc cos A。

檢查與易錯點：所用角必須是兩個已知邊向量的夾角。

推理清單・自評／教師評核

a²=b²+c²−2bc cos A。
所用角必須是兩個已知邊向量的夾角。

先思考，待同學準備好再展開提示。

教師備課與評核

40 分鐘教案

分鐘	環節	教師及學生任務
5	預測與診斷	比較一個數值三角形與全稱命題。
8	概念推導	取A為原點，推導中點及中線恆等式。
10	引導應用	用數量積驗證直角及垂心。
12	遷移與解釋	證明菱形逆命題並討論遺漏假設。
5	離堂證據	修正結論缺乏依據的一行證明。

提問順序

哪個原點令兩個頂點位置最簡單？
平行四邊形假設在哪一步使用？

板書發展

按已知、向量翻譯、恆等式、結論四行排列。
求垂心時，逐條寫高線數量積方程，並驗證第三條。

預期正誤回答

學生因對角線等長便稱垂直；展開數量積以找出真正的邊長條件。
正確作答：「平行四邊形假設令對角線向量為u＋v及v−u。」
錯誤作答：「所有對角線垂直的四邊形都是菱形。」

追問

共線點仍可計算重心公式嗎？公式會令三角形變不退化嗎？

補救

先做中點相減E−D，再引入長度公式。

離堂檢核

補出「對角線垂直推出菱形」缺少的假設。

評核清單與作答示例

評核原點選擇、有向向量及回到幾何結論。示例：(u＋v)·(u−v)＝|u|²−|v|²，故平行四邊形對角線垂直推出鄰邊等長。
正確作答：「平行四邊形假設令對角線向量為u＋v及v−u。」