指數函數與對數函數：綜合評估

1. 只在符合實數定義域時使用指數法則。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$2^{7+3}=2^{10}=1024$$

3. 此法則要求底數相同。

所求值為 1024。

檢查與易錯點：此法則要求底數相同。

1. 辨識底數，判斷指數圖像增長或衰減。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$x=9$$

3. 底數為正且不等於一。

所求值為 9。

檢查與易錯點：底數為正且不等於一。

1. 把對數改寫成指數方程，並檢查底數及真數條件。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$\frac{\log_216384}{\log_2128}=\frac{14}{7}=2$$

3. 換底要求分子分母使用相同新底數。

所求值為 2。

檢查與易錯點：換底要求分子分母使用相同新底數。

1. 先確保真數為正，再運用對數單調性。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$0<x-7<1/2$$

3. 真數為正提供下界。

7<x<7+1/2。

檢查與易錯點：真數為正提供下界。

1. 甲部推理

2. 把情境轉成指數或對數方程，並檢查模型假設。

3. 計算或化簡此關係式。

   $$f(1)=-1<0,\quad f(2)=1>0$$

4. 只靠符號改變不能證明唯一。

5. 乙部推理

6. 把情境轉成指數或對數方程，並檢查模型假設。

7. 計算或化簡此關係式。

   $$800(1.1)^2=968$$

8. 此為複合增長，不是一次增加 20%。

甲：連續性給出存在，嚴格遞增給出唯一。 乙：所求值為 968。

檢查與易錯點：只靠符號改變不能證明唯一。 此為複合增長，不是一次增加 20%。

1. 只在符合實數定義域時使用指數法則。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$a^{12-8}=a^4$$

3. 相除要求底數非零。

a⁴。

檢查與易錯點：相除要求底數非零。

1. 辨識底數，判斷指數圖像增長或衰減。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$y(0)=8\cdot3^0=8$$

3. 外部倍數把圖像作縱向伸縮。

所求值為 8。

檢查與易錯點：外部倍數把圖像作縱向伸縮。

1. 把對數改寫成指數方程，並檢查底數及真數條件。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$(1/8)^{-2}=64$$

3. 正真數可以有負對數。

所求值為 -2。

檢查與易錯點：正真數可以有負對數。

1. 甲部推理

2. 先確保真數為正，再運用對數單調性。

3. 計算或化簡此關係式。

   $$(a,b)\mapsto(b,a)$$

4. 兩軸與定義域被交換，並非簡單平移。

5. 乙部推理

6. 先確保真數為正，再運用對數單調性。

7. 計算或化簡此關係式。

   $$x=9^y\Rightarrow f^{-1}(x)=9^x$$

8. 原對數函數的值域成為反函數定義域。

甲：取反函數會交換輸入輸出坐標。 乙：反函數 y=9^x，定義域為所有實數。

檢查與易錯點：兩軸與定義域被交換，並非簡單平移。 原對數函數的值域成為反函數定義域。

1. 把情境轉成指數或對數方程，並檢查模型假設。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$800(1.1)^2=968$$

3. 此為複合增長，不是一次增加 20%。

所求值為 968。

檢查與易錯點：此為複合增長，不是一次增加 20%。

1. 只在符合實數定義域時使用指數法則。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$(1/9)^2-(1/9)^3=(9-1)/729>0$$

3. 底數介乎零與一時，增大正指數會減小冪值。

平方的值較大。

檢查與易錯點：底數介乎零與一時，增大正指數會減小冪值。

1. 辨識底數，判斷指數圖像增長或衰減。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$a^2=81,\quad a>0\Rightarrow a=9$$

3. 負的代數平方根不是合適的指數底數。

所求值為 9。

檢查與易錯點：負的代數平方根不是合適的指數底數。

1. 把對數改寫成指數方程，並檢查底數及真數條件。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$\log_2(512\cdot8)=\log_24096=12$$

3. 並不對應真數相加。

所求值為 12。

檢查與易錯點：並不對應真數相加。

1. 先確保真數為正，再運用對數單調性。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$x=9^y\Rightarrow f^{-1}(x)=9^x$$

3. 原對數函數的值域成為反函數定義域。

反函數 y=9^x，定義域為所有實數。

檢查與易錯點：原對數函數的值域成為反函數定義域。

1. 甲部推理

2. 把情境轉成指數或對數方程，並檢查模型假設。

3. 計算或化簡此關係式。

   $$\log_{10}(1000x/x)=\log_{10}1000=3$$

4. 結果不依賴初始正值 x。

5. 乙部推理

6. 把情境轉成指數或對數方程，並檢查模型假設。

7. 計算或化簡此關係式。

   $$f(1)=-1<0,\quad f(2)=1>0$$

8. 只靠符號改變不能證明唯一。

甲：所求值為 3。 乙：連續性給出存在，嚴格遞增給出唯一。

檢查與易錯點：結果不依賴初始正值 x。 只靠符號改變不能證明唯一。