學習・解釋・訂正

函數的應用（二）

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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先重溫：對數函數

專題 01

函數的應用（二）

透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握函數的應用（二）。

學完之後，你能解釋

解讀及運用函數的應用（二），並檢查定義域。
連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。

乘法變化

固定比率導向指數模型；對數可解經過時間問題。

零點與證據

連續性加符號改變給出零點；模型有效性仍需證據。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：計算前，預測「函數的應用（二）」的一項定義條件改變後，結論會怎樣改變，並記錄理由。

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

指數圖像：水平平移 0，垂直平移 0；自變量改成 x−0。

解釋：比較兩個符合條件的例子及一個邊界或不符合條件的例子，利用所述定義解釋差異。

遷移：自擬新例子及一個容易令人信服的錯誤解法，再指出缺漏條件並修正。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

人口為 200，每年增加 10%，求兩年後模型數值。

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把情境轉成指數或對數方程，並檢查模型假設。

提示 2

第二年的百分比以增長後人口為基數。

完整解答

把情境轉成指數或對數方程，並檢查模型假設。
計算或化簡此關係式。
$200(1.1)^2=242$
此為複合增長，不是一次增加 20%。

所求值為 242。

檢查與易錯點：此為複合增長，不是一次增加 20%。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

樣本初始 160 mg，每 3 天減半，求 9 天後質量。

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把情境轉成指數或對數方程，並檢查模型假設。

提示 2

九天包含三個半衰期。

完整解答

把情境轉成指數或對數方程，並檢查模型假設。
計算或化簡此關係式。
$160(1/2)^{9/3}=20$
指數中的時間單位須一致。

所求值為 20。

檢查與易錯點：指數中的時間單位須一致。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

對數轉換數據圖近似直線，是否證明原過程在所有時間均呈指數變化？說明。

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把情境轉成指數或對數方程，並檢查模型假設。

提示 2

區分描述擬合與因果證據。

完整解答

把情境轉成指數或對數方程，並檢查模型假設。
作預測前須檢查殘差、測量誤差、其他模型及時間範圍。
作實數對數轉換還要求數據為正。

否；這只支持觀測範圍內的模型，不能證明機制或無限外推。

檢查與易錯點：作實數對數轉換還要求數據為正。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

人口為 300，每年增加 10%，求兩年後模型數值。

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把情境轉成指數或對數方程，並檢查模型假設。

提示 2

第二年的百分比以增長後人口為基數。

完整解答

把情境轉成指數或對數方程，並檢查模型假設。
計算或化簡此關係式。
$300(1.1)^2=363$
此為複合增長，不是一次增加 20%。

所求值為 363。

檢查與易錯點：此為複合增長，不是一次增加 20%。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

樣本初始 240 mg，每 3 天減半，求 9 天後質量。

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把情境轉成指數或對數方程，並檢查模型假設。

提示 2

九天包含三個半衰期。

完整解答

把情境轉成指數或對數方程，並檢查模型假設。
計算或化簡此關係式。
$240(1/2)^{9/3}=30$
指數中的時間單位須一致。

所求值為 30。

檢查與易錯點：指數中的時間單位須一致。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

某量由 3 增至 24，每 2 小時倍增，經過多少小時？

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把情境轉成指數或對數方程，並檢查模型假設。

提示 2

先約去初始量。

完整解答

把情境轉成指數或對數方程，並檢查模型假設。
計算或化簡此關係式。
$32^{t/2}=24\Rightarrow2^{t/2}=8\Rightarrow t=6$
三次倍增共需六小時。

所求值為 6。

檢查與易錯點：三次倍增共需六小時。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

正數量增加至原來 1000 倍，求其常用對數的增量。

\log_{10}(1000x)-\log_{10}x

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把情境轉成指數或對數方程，並檢查模型假設。

提示 2

比值轉成對數差。

完整解答

把情境轉成指數或對數方程，並檢查模型假設。
計算或化簡此關係式。
$\log_{10}(1000x/x)=\log_{10}1000=3$
結果不依賴初始正值 x。

所求值為 3。

檢查與易錯點：結果不依賴初始正值 x。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

說明 f(x)=2ˣ−3 在 1 與 2 之間有零點，並解釋為何唯一。

f(x)=2^x-3

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把情境轉成指數或對數方程，並檢查模型假設。

提示 2

符號改變須配合連續性才能保證零點。

完整解答

把情境轉成指數或對數方程，並檢查模型假設。
計算或化簡此關係式。
$f(1)=-1<0,\quad f(2)=1>0$
只靠符號改變不能證明唯一。

連續性給出存在，嚴格遞增給出唯一。

檢查與易錯點：只靠符號改變不能證明唯一。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

比較 L(t)=3t 與 E(t)=3·2ᵗ 在等長單位時間內的變化。

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把情境轉成指數或對數方程，並檢查模型假設。

提示 2

一個模型比較差，另一個比較商。

完整解答

把情境轉成指數或對數方程，並檢查模型假設。
計算或化簡此關係式。
$L(t+1)-L(t)=3;\quad E(t+1)/E(t)=2$
等比與等差描述不同機制。

L 有固定增量；E 有固定比率。

檢查與易錯點：等比與等差描述不同機制。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

連續人口模型預測 121.5 個個體，應如何合理報告？

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

區分模型輸出與測量量。

提示 2

考慮「個體」單位容許甚麼數值。

完整解答

區分模型輸出與測量量。
模型連續而實際數目離散，小數預測不是觀測到半個個體。
取整不會消除模型誤差或使結果精確。

把 121.5 視為模型估計；若需整數計數則交代取整規則，並保留不確定性。

檢查與易錯點：取整不會消除模型誤差或使結果精確。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

人口為 400，每年增加 10%，求兩年後模型數值。

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把情境轉成指數或對數方程，並檢查模型假設。

提示 2

第二年的百分比以增長後人口為基數。

完整解答

把情境轉成指數或對數方程，並檢查模型假設。
計算或化簡此關係式。
$400(1.1)^2=484$
此為複合增長，不是一次增加 20%。

所求值為 484。

檢查與易錯點：此為複合增長，不是一次增加 20%。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

樣本初始 320 mg，每 3 天減半，求 9 天後質量。

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把情境轉成指數或對數方程，並檢查模型假設。

提示 2

九天包含三個半衰期。

完整解答

把情境轉成指數或對數方程，並檢查模型假設。
計算或化簡此關係式。
$320(1/2)^{9/3}=40$
指數中的時間單位須一致。

所求值為 40。

檢查與易錯點：指數中的時間單位須一致。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

某量由 4 增至 32，每 2 小時倍增，經過多少小時？

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

把情境轉成指數或對數方程，並檢查模型假設。

提示 2

先約去初始量。

完整解答

把情境轉成指數或對數方程，並檢查模型假設。
計算或化簡此關係式。
$42^{t/2}=32\Rightarrow2^{t/2}=8\Rightarrow t=6$
三次倍增共需六小時。

所求值為 6。

檢查與易錯點：三次倍增共需六小時。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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選擇需要重溫的補底知識 ↗

教師備課與評核

提問順序

使用「函數的應用（二）」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
改變一項假設後，原結論還成立嗎？

板書重點

解讀及運用函數的應用（二），並檢查定義域。
乘法變化：固定比率導向指數模型；對數可解經過時間問題。
零點與證據：連續性加符號改變給出零點；模型有效性仍需證據。
總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。

預期想法

預期理由：固定比率導向指數模型；對數可解經過時間問題。
預期理由：連續性加符號改變給出零點；模型有效性仍需證據。
預期修正：擬合趨勢不支持無限外推。

評核清單

1：辨識已知條件及所求。
1：選取合適定義、表示或方法。
1：推理連貫且正確。
1：檢驗條件並解釋結果。