集合與常用邏輯用語：綜合評估

1. 檢查元素資格，並只計算不同物件。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$A=\{7,8,9\};\quad |A|=3$$

3. 次序與重複書寫不改變集合。

所求值為 3。

檢查與易錯點：次序與重複書寫不改變集合。

1. 逐個元素使用包含關係的定義。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$2^{8}-1=255$$

3. 原集合非空時，空集仍是真子集。

所求值為 255。

檢查與易錯點：原集合非空時，空集仍是真子集。

1. 把元素資格轉成「且」、「或」及「非」。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$|U\setminus A|=26-9=17$$

3. 補集取決於指定全集。

所求值為 17。

檢查與易錯點：補集取決於指定全集。

1. 甲部推理

2. 檢查兩個方向，失敗時找出反例。

3. 計算或化簡此關係式。

   $$x(y-z)=0\Rightarrow x=0\text{ or }y=z$$

4. 約去因數要求該因數非零。

5. 乙部推理

6. 檢查兩個方向，失敗時找出反例。

7. 計算或化簡此關係式。

   $$(-8)(-9)=72>0$$

8. 一個合適反例已能推翻全稱敘述。

甲：x≠0 時成立；缺少此條件可能失敗。 乙：取 a=-8、b=-9。

檢查與易錯點：約去因數要求該因數非零。 一個合適反例已能推翻全稱敘述。

1. 保留數域，區分所有值與一個見證。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$(6)-(-6)+1=13$$

3. 存在只需一個見證；計數則須找所有合適見證。

所求值為 13。

檢查與易錯點：存在只需一個見證；計數則須找所有合適見證。

1. 檢查元素資格，並只計算不同物件。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$A\subseteq B,\quad B\subseteq A$$

3. 任一集合的每個元素均出現在另一集合中。

相等，元素完全相同。

檢查與易錯點：任一集合的每個元素均出現在另一集合中。

1. 甲部推理

2. 逐個元素使用包含關係的定義。

3. 計算或化簡此關係式。

   $$\neg(\varnothing\subseteq A)\Rightarrow\exists x\in\varnothing:x\notin A$$

4. 所要求的反例不可能存在。

5. 乙部推理

6. 逐個元素使用包含關係的定義。

7. 計算或化簡此關係式。

   $$2^{10}=1024$$

8. 空集與原集合均須計算。

甲：空集中沒有元素能違反包含條件。 乙：所求值為 1024。

檢查與易錯點：所要求的反例不可能存在。 空集與原集合均須計算。

1. 把元素資格轉成「且」、「或」及「非」。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$8<x<11$$

3. 兩端點各違反至少一個原條件。

交集為 (8,11)。

檢查與易錯點：兩端點各違反至少一個原條件。

1. 甲部推理

2. 檢查兩個方向，失敗時找出反例。

3. 計算或化簡此關係式。

   $$(-8)(-9)=72>0$$

4. 一個合適反例已能推翻全稱敘述。

5. 乙部推理

6. 檢查兩個方向，失敗時找出反例。

7. 計算或化簡此關係式。

   $$ab=0\iff(a=0)\lor(b=0)$$

8. 包含式的「或」允許兩因數皆零。

甲：取 a=-8、b=-9。 乙：至少一個因數為零。

檢查與易錯點：一個合適反例已能推翻全稱敘述。 包含式的「或」允許兩因數皆零。

1. 保留數域，區分所有值與一個見證。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$\exists x\in\mathbb R,\ x^2\le8$$

3. 否定包含相等情況。

存在實數 x 使 x²≤8。

檢查與易錯點：否定包含相等情況。

1. 甲部推理

2. 檢查元素資格，並只計算不同物件。

3. 不同讀者可能對元素資格有分歧。固定書目與出版年份後，元素資格才能明確判定。

4. 集合元素資格須確定，不能只是個人喜好。

5. 乙部推理

6. 檢查元素資格，並只計算不同物件。

7. 計算或化簡此關係式。

   $$A=\{7,8,9\};\quad |A|=3$$

8. 次序與重複書寫不改變集合。

甲：否；可改用某固定年份出版的書等客觀準則。 乙：所求值為 3。

檢查與易錯點：集合元素資格須確定，不能只是個人喜好。 次序與重複書寫不改變集合。

1. 逐個元素使用包含關係的定義。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$2^{10}=1024$$

3. 空集與原集合均須計算。

所求值為 1024。

檢查與易錯點：空集與原集合均須計算。

1. 把元素資格轉成「且」、「或」及「非」。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$|A\cup B|=13+12-2=23$$

3. 聯集每個元素只計一次。

所求值為 23。

檢查與易錯點：聯集每個元素只計一次。

1. 甲部推理

2. 檢查兩個方向，失敗時找出反例。

3. 計算或化簡此關係式。

   $$ab=0\iff(a=0)\lor(b=0)$$

4. 包含式的「或」允許兩因數皆零。

5. 乙部推理

6. 檢查兩個方向，失敗時找出反例。

7. 計算或化簡此關係式。

   $$x(y-z)=0\Rightarrow x=0\text{ or }y=z$$

8. 約去因數要求該因數非零。

甲：至少一個因數為零。 乙：x≠0 時成立；缺少此條件可能失敗。

檢查與易錯點：包含式的「或」允許兩因數皆零。 約去因數要求該因數非零。

1. 甲部推理

2. 保留數域，區分所有值與一個見證。

3. 計算或化簡此關係式。

   $$0^2=0\not>0$$

4. 一個失敗的見證已足夠。

5. 乙部推理

6. 保留數域，區分所有值與一個見證。

7. 計算或化簡此關係式。

   $$(6)-(-6)+1=13$$

8. 存在只需一個見證；計數則須找所有合適見證。

甲：n=0 是反例。 乙：所求值為 13。

檢查與易錯點：一個失敗的見證已足夠。 存在只需一個見證；計數則須找所有合適見證。