限制區間上的二次函數最值

1. 用頂點式。

   $$f=(x-2)^2+1$$

2. 允許頂點取得下界。

   $$f(2)=1$$

x=2 時為 1。

檢查與易錯點：區間包含全域最小值輸入。

1. 計算兩端點。

   $$f(0)=5,\quad f(3)=2$$

2. 內部距離最多為 2。

   $$f\le5$$

x=0 時為 5。

檢查與易錯點：右端點不自動給出最大輸出。

1. 各情況使用最接近零的點。

   $$x_* =t+1,\ 0,\ t$$

2. 把該點平方並保留分類邊界。

   $$m(t)=\begin{cases}(t+1)^2&t<-1\\0&-1\le t\le0\\t^2&t>0\end{cases}$$

分段為所列三區域的 (t+1)²、0、t²。

檢查與易錯點：頂點進入或離開允許區間時公式改變。

1. 比較允許距離。

   $$|2-3|=1<|1-3|=2$$

2. 計算最近端點。

   $$f(2)=3$$

3。

檢查與易錯點：全域值 2 在此區間不能取得。

1. 此區間上平方隨距離增加。

   $$1\le x-3\le3$$

2. 計算較小距離。

   $$f(4)=3$$

3。

檢查與易錯點：軸的另一側可產生相同輸出。

1. 限制變動項。

   $$-(x-2)^2\le0$$

2. 檢驗等號輸入。

   $$f(2)=5$$

5。

檢查與易錯點：開口向下反轉頂點的最小最大角色。

1. 找已取得最值。

   $$f(0)=0,\quad f(-2)=4$$

2. 連續性給出其中所有值。

   $$f([-2,1])=[0,4]$$

[0,4]。

檢查與易錯點：只平方兩個端點會漏最小值零。

1. 輸出嚴格位於兩界限之間。

   $$0<x^2<1$$

2. 逼近各排除端點。

   $$x\to0^+:f\to0;\quad x\to1^-:f\to1$$

沒有最小或最大值；下確界 0，上確界 1。

檢查與易錯點：逼近的值不一定取得。

1. 包含即兩同時不等式。

   $$a\le3\le a+2$$

2. 解不等式對。

   $$1\le a\le3$$

a∈[1,3]。

檢查與易錯點：區間封閉，所以任一端點可等於頂點。

1. 兩平方相減。

   $$(1-h)^2-(5-h)^2=0$$

2. 使用非零端點距離。

   $$8h-24=0\Rightarrow h=3$$

3。

檢查與易錯點：相異等高輸入的中點在軸上。

1. 以此區間的正距離改寫。

   $$f=(2-x)^2,\quad1\le2-x\le3$$

2. x 增加使距離及平方嚴格減少。

   $$x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$$

嚴格遞減。

檢查與易錯點：關鍵是位於軸哪側，不只是首項係數正。

1. 表示競爭的端點代價。

   $$M(a)=\max((a+1)^2,(2-a)^2)$$

2. 距離之和為 3，故較大者至少 1.5。

   $$M(a)\ge(3/2)^2=9/4$$

3. 等號要求等距且中心可行。

   $$a+1=2-a\Rightarrow a=1/2$$

a=1/2；最小的最壞值為 9/4。

檢查與易錯點：此題對第二變量的最大值再最小化；選頂點輸出零回答的是另一問題。

1. 計算最近允許候選值。

   $$L(2)=1.16,\quad L(3)=1.36$$

2. 其他允許整數均更遠。

   $$n=2\text{ uniquely}$$

設定 2，損失 1.16。

檢查與易錯點：頂點 2.4 禁止；最優整數在內部，所以只查端點亦失敗。