二次式符號與解集

1. 找邊界及符號。

   $$1,4;\quad+,-,+$$

2. 嚴格不等式排除根。

   $$x<1\text{ or }x>4$$

(−∞,1)∪(4,∞)。

檢查與易錯點：端點使積為零而非正。

1. 用首項為正的形式。

   $$(x-1)(x-3)\le0$$

2. 選內側並包含等號。

   $$1\le x\le3$$

[1,3]。

檢查與易錯點：首項符號反轉原符號排列。

1. 顯示最小值。

   $$x^2-2x+k=(x-1)^2+k-1$$

2. 嚴格正值亦須涵蓋頂點輸入。

   $$k-1>0\Rightarrow k>1$$

k>1。

檢查與易錯點：k=1 在 x=1 失敗，儘管其他輸入均為正。

1. 轉換平方界限。

   $$-3<x<3$$

2. 列允許整數。

   $$-2,-1,0,1,2$$

5。

檢查與易錯點：兩端點均不允許。

1. 嚴格解為兩條開射線。

   $$(-\infty,2)\cup(5,\infty)$$

2. 非嚴格不等式恰增加兩根。

   $$(-\infty,2]\cup[5,\infty)$$

只增加 x=2 及 x=5。

檢查與易錯點：端點包含情況改變不會反轉區間符號。

1. 合併非負性及已知上界。

   $$0\le(x-2)^2\le0$$

2. 平方必為零。

   $$x=2$$

單元素集合 {2}。

檢查與易錯點：二重根不產生負值區域。

1. 準確配方。

   $$x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4$$

2. 每個輸出至少 3/4。

   $$x^2+x+1\ge3/4>0$$

全體實數 x。

檢查與易錯點：單憑無根不足，還須知道函數符號。

1. 分解並選非嚴格內區間。

   $$(x-2)(x-3)\le0\Rightarrow x\in[2,3]$$

2. 使用額外嚴格限制。

   $$x\in(2,3]$$

(2,3]。

檢查與易錯點：某端點符合一條件，仍可能不符合另一條件。

1. 商在兩臨界值外為正。

   $$x<-2\text{ or }x>1$$

2. 只包含允許零點。

   $$x\in(-\infty,-2)\cup[1,\infty)$$

(−∞,−2)∪[1,∞)。

檢查與易錯點：非嚴格不等式不允許分母零值。

1. 轉換定義域要求。

   $$-(x-1)(x-5)\ge0$$

2. 使用封閉內區間。

   $$x\in[1,5]$$

[1,5]。

檢查與易錯點：根號內為零可接受，負值不可。

1. 在兩根分割。

   $$0,2;\quad+,-,+$$

2. 選負區域並排除零端點。

   $$0<x<2$$

0<x<2。

檢查與易錯點：x=−1 反駁學生答案：乘積為正。

1. 合併模型及正邊長。

   $$y=10-x,\quad x\in[3,7]$$

2. 短邊為 min(x,10−x)。

   $$3\le\min(x,y)\le5$$

邊長 x、10−x，3≤x≤7；短邊在 [3,5]。

檢查與易錯點：解代數不等式後，還須再作短邊意義的解釋。

1. 排除非正首項情況。

   $$a<1: f\to-\infty;\quad a=1:2x+1$$

2. 正首項係數要求不穿入負區域。

   $$4-4(a-1)\le0\Rightarrow a\ge2$$

a≥2。

檢查與易錯點：a=2 時 (x+1)² 取得允許的零值。