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學習・解釋・訂正

求使式子對每個實數 x 均嚴格為正的所有 k。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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高一必修第一册(A版).pdf · 2.3 · PDF 57 / 印刷頁 50

先重溫：根及解集完整性

專題 01

二次式符號與解集

用根分割數線，再保留端點及定義域條件。

學完之後，你能解釋

逐區間說明符號，不死記未附條件的內外規則。
把代數解集與模型及定義域限制取交集。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。

01 / 遷移#示範例題

求使式子對每個實數 x 均嚴格為正的所有 k。

x^2-2x+k>0

除另訂較小定義域外，輸入均為實數。

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

用全域最小值，不只試幾個輸入。

提示 2

以 x=1 配方。

完整解答

顯示最小值。
$x^2-2x+k=(x-1)^2+k-1$
嚴格正值亦須涵蓋頂點輸入。
$k-1>0\Rightarrow k>1$

k>1。

檢查與易錯點：k=1 在 x=1 失敗，儘管其他輸入均為正。

先思考，待同學準備好再展開提示。

教師備課與評核

40 分鐘教案

分鐘	環節	教師及學生任務
5	診斷區域	用負首項及重根診斷。
8	建立符號	學生在三區間相乘因式符號。
10	端點及定義域	同桌比較嚴格、非嚴格、根式及分式限制。
12	模型及量詞	小組解長方形可行性，再解全實數參數條件。
5	離堂區間	要求符號理由及正確端點表示。

提問順序

只解方程會缺甚麼資料？
「每個 x」是否只檢查三值便足夠？

板書發展

畫解集前先乘符號。
$a(x-r_1)(x-r_2)$
與原限制取交集。
$S_{\mathrm{valid}}=S_{\mathrm{sign}}\cap D$

預期正誤回答

「平方非負，故嚴格負不可能」是完整理由。
「≥ 允許等號所以包含 −2」忽略分母。

追問

加入分母後，哪個端點仍可保留？

補救

內外側錯誤時，重建兩因式符號表，不背口訣。

離堂檢核

解 (x−1)²≥0 及 >0，解釋單點差異。

評核清單與作答示例

2 分：符號區域及等號。
完整：取交後 (2,3]；不完整：[2,3]。
2 分：模型解釋。
完整：任一邊 [3,7]、短邊 [3,5]；部分：漏短邊限制。