學習・解釋・訂正

根及解集完整性

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高一必修第一册(A版).pdf · 2.3 · PDF 57 / 印刷頁 50

先重溫：頂點式與配方法

專題 01

根及解集完整性

選擇求根方法，再檢查實數性、位置及原定義域。

學完之後，你能解釋

區分根值、相異根數及根的正負。
使用二次規則前分開參數退化情況。

透過平方數根

問根數不一定須求個別根。

真正二次方程的判別式控制相異實根數。

\Delta=b^2-4ac

把方程配成平方。
$(2ax+b)^2=\Delta$
讀出三種可能。
$\Delta>0:2;\quad\Delta=0:1;\quad\Delta<0:0$

成立條件

a≠0；計算相異實輸入。

反例：一次方程可有一根，但二次規則不適用。

連結平方方程與 x 軸交點。

分開候選值與限制

根數本身不說明根是否正或物理可行。

約分及模型可排除候選值，故須檢驗原定義域。

r+s=-b/a,\quad rs=c/a

因式式顯示正負及限制。
$x(x-3)=0$
除法前保留零值情況。
$x=0\text{ or }3$

成立條件

不可未分類便除以可能為零的式子。

反例：Δ>0 不代表兩正根：x²−1 的根為 ±1。

用候選表列定義域、代入、接受或排除。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：c 穿越相切高度時，根數怎樣改變？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

方程類型：二次。實零點：0、2。判別式 = 4。

圖像的數值資料，可列印
根	代入餘值
0	0
2	0

解釋：比較交點及 Δ，再令 a=0 檢查退化。

遷移：選 Δ>0 且兩根均負的係數。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

例題 1–3：先讀完整示範；由已完成的首步接續推理；再獨立選方法，完成後才展開解答。其餘練習可於課後繼續。

01 / 基礎#示範例題

求解並檢驗兩根。

x^2-5x+6=0

除另訂較小定義域外，輸入均為實數。

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

找積 6、和 −5。

提示 2

用 −2 及 −3。

完整解答

分解多項式。
$(x-2)(x-3)=0$
用零乘積並代入。
$x=2,3;\quad4-10+6=9-15+6=0$

x=2 或 3。

檢查與易錯點：兩個因式都須考慮。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

不近似求根，計相異實根數。

2x^2+4x+5=0

已提供首步，請接續推理：確認 a≠0 再計算。

\Delta=4^2-4(2)(5)=-24

除另訂較小定義域外，輸入均為實數。

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

根數題可用 Δ。

提示 2

比較 16 與 40。

完整解答

確認 a≠0 再計算。
$\Delta=4^2-4(2)(5)=-24$
實數平方不可能為負。
$N=0$

0。

檢查與易錯點：此處只計實根，不計複數根。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

求與 x 軸相切的所有 k 及接觸輸入。

y=x^2-2kx+k+2

除另訂較小定義域外，輸入均為實數。

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

相切表示一個重根。

提示 2

令 k²−k−2=0。

完整解答

二次項係數始終非零。
$\Delta=4(k^2-k-2)=0$
解參數方程並求軸。
$k=2,-1;\quad x=k$

k=2、x=2；或 k=−1、x=−1。

檢查與易錯點：常數項及對稱軸都隨 k 改變。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

計相異實根數。

(x-4)^2=0

除另訂較小定義域外，輸入均為實數。

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

平方為零要求底式為零。

提示 2

重複因式給出同一值。

完整解答

解底式方程。
$x=4$
數值，不數因式。
$N=1$

1。

檢查與易錯點：重數二不代表兩個相異輸入。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

不逐根求解，求根之和。

x^2-7x+4=0

除另訂較小定義域外，輸入均為實數。

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

展開 (x−r)(x−s)。

提示 2

x 係數為 −(r+s)。

完整解答

比較係數。
$-(r+s)=-7$
判別式為正，實根存在。
$r+s=7,\quad\Delta=33$

7。

檢查與易錯點：個別根為無理數，和仍可簡單。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

在實數中求解。

x^2=7

除另訂較小定義域外，輸入均為實數。

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

包含兩個符號。

提示 2

兩個帶符號平方根的平方均為 7。

完整解答

取兩實分支。
$x=\pm\sqrt7$
平方檢驗兩符號。
$(\sqrt7)^2=(-\sqrt7)^2=7$

x=±√7。

檢查與易錯點：主平方根符號本身為非負。

推理清單・自評／教師評核

取兩實分支。
平方檢驗兩符號。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

求正根。

2(x-3)(x+1)=0

除另訂較小定義域外，輸入均為實數。

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

因式 2 不為零。

提示 2

解每個一次因式。

完整解答

列兩根。
$x=3,-1$
選正候選值。
$x=3$

3。

檢查與易錯點：列完整根集後使用正負限制。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

求所有交點。

y=x^2,\quad y=2x+3

除另訂較小定義域外，輸入均為實數。

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

令高度相等。

提示 2

解 x²−2x−3=0。

完整解答

求交點輸入。
$(x-3)(x+1)=0$
從任一圖像求輸出。
$(x,y)=(3,9),(-1,1)$

(−1,1) 及 (3,9)。

檢查與易錯點：交點包含輸出及根的輸入。

推理清單・自評／教師評核

求交點輸入。
從任一圖像求輸出。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

一根為 3，求另一根。

2x^2-4x-6=0

除另訂較小定義域外，輸入均為實數。

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

用和或積。

提示 2

根之和為 2。

完整解答

讀係數比。
$r+s=-(-4)/2=2$
相減並驗積。
$s=-1,\quad3(-1)=-6/2$

−1。

檢查與易錯點：係數比不能漏除二次項係數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

求解，記錄排除值。

\frac{x^2-4}{x-2}=0

x≠2。

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先記原分母限制。

提示 2

約分剩 x+2=0，且 x≠2。

完整解答

約分保留定義域。
$x\ne2,\quad(x^2-4)/(x-2)=x+2$
求解並驗分母非零。
$x=-2,\quad x-2=-4$

只有 x=−2；排除 x=2。

檢查與易錯點：約去因式的零點從未被允許。

推理清單・自評／教師評核

約分保留定義域。
求解並驗分母非零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

長方形邊長 x、x+3，面積 10。求 x。

x(x+3)=10,\quad x>0

兩邊均須為正。

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

化成標準二次式。

提示 2

分解 x²+3x−10。

完整解答

求代數候選值。
$(x+5)(x-2)=0$
排除負邊長。
$x=2$

2 長度單位。

檢查與易錯點：負根在代數上成立，但不符合模型。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

求恰有一相異實解的所有 k，包括非二次情況。

(k-1)x^2+2x+1=0

除另訂較小定義域外，輸入均為實數。

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

用 Δ 前先分開 k=1。

提示 2

k≠1 時，Δ=8−4k。

完整解答

一次分支有一解。
$k=1\Rightarrow x=-1/2$
二次分支須重根。
$k\ne1,\quad8-4k=0\Rightarrow k=2,\quad x=-1$

k=1 或 2。

檢查與易錯點：只用判別式會漏一次分支。

推理清單・自評／教師評核

一次分支有一解。
二次分支須重根。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

反駁「Δ>0 代表兩正根」，再給兩相異正根的充要條件。

x^2+bx+c=0

首項係數為 1，係數為實數。

考點與先備課節

範圍：JM01 / JM02

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

分開實數性及正負。

提示 2

Δ>0 後檢查和 −b 及積 c。

完整解答

反例否定原條件。
$x^2-1=0\Rightarrow x=\pm1$
正積使同號，正和使該號為正。
$b^2-4c>0,\quad b<0,\quad c>0$

恰為 Δ>0、b<0、c>0。

檢查與易錯點：正根推出三條件；反之，三條件迫使兩同號實根且和正。

推理清單・自評／教師評核

反例否定原條件。
正積使同號，正和使該號為正。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

啟用 JavaScript 後顯示本機作答摘要。

選擇需要重溫的補底知識 ↗

教師備課與評核

40 分鐘教案

分鐘	環節	教師及學生任務
5	數根及約分	用診斷對比重根及遺漏零值。
8	推導 Δ	推導平方方程，標記 a≠0。
10	方法分類	同桌分類求根值、和及交點題。
12	分類審核	小組解 k 問題，檢查一次分支。
5	修正說法	用反例區分正根及實根。

提問順序

正在求數值、個數、正負還是坐標？
哪個假設允許此除法？

板書發展

用平方計實根。
$(2ax+b)^2=\Delta$
使用規則前分類。
$k=1\quad|\quad k\ne1$

預期正誤回答

「兩相同因式，一輸入」正確區分重數。
「只有 k=2」顯示漏一次分支。

追問

Δ>0 可否同時有負的根之積？

補救

接受根前列候選值、定義域、代入三欄。

離堂檢核

(m−2)x²+x=0 中令 m=2，不用二次規則說明 x=0。

評核清單與作答示例

2 分：完整分支。
完整：k=1 及 2；部分：只用 Δ=0。
2 分：保留原限制。
完整分式答案：−2，且 x≠2；錯誤：±2。