Kenneth Cheng數學建模
← 高中數學研習室

學習・解釋・訂正

平面向量及其應用：綜合評估

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

專題 01

平面向量及其應用：綜合評估

混合評量：辨認方法、說明理由，再訂正自己的推理。

學完之後，你能解釋

  • 不依賴題目排列提示，綜合運用本章知識。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#獨立練習

求向量的模。

a=(21,28)\mathbf a=(21,28)
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
分清長度、方向及位置，以位移比較向量。
提示 2
用坐標空間中到原點的距離。
完整解答

  1. 分清長度、方向及位置，以位移比較向量。

  2. 計算或化簡此關係式。

    ∣a∣=(21)2+(28)2=35|\mathbf a|=\sqrt{(21)^2+(28)^2}=35

  3. 模是非負標量。

所求值為 35。

檢查與易錯點：模是非負標量。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 基礎#獨立練習

計算數量積。

a=(7,2),b=(3,7)\mathbf a=(7,2),\quad\mathbf b=(3,7)
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用向量運算法則，並區分向量與標量。
提示 2
對應坐標相乘後相加。
完整解答

  1. 使用向量運算法則，並區分向量與標量。

  2. 計算或化簡此關係式。

    a⋅b=3(7)+2(7)=35\mathbf a\cdot\mathbf b=3(7)+2(7)=35

  3. 結果為標量，不是向量。

所求值為 35。

檢查與易錯點：結果為標量，不是向量。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 基礎#獨立練習

求 m 使兩向量平行。

a=(2,3),b=(14,m)\mathbf a=(2,3),\quad\mathbf b=(14,m)
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。
提示 2
用第一坐標求倍數。
完整解答

  1. 使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。

  2. 計算或化簡此關係式。

    b=7a⇒m=21\mathbf b=7\mathbf a\Rightarrow m=21

  3. 第二坐標須使用同一倍數。

所求值為 21。

檢查與易錯點：第二坐標須使用同一倍數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求重心的 x 坐標。

A=(0,0),B=(21,0),C=(0,3)A=(0,0),\quad B=(21,0),\quad C=(0,3)
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何或物理量轉成向量，並檢查角度約定。
提示 2
三個頂點的位置向量取平均。
完整解答

  1. 把幾何或物理量轉成向量，並檢查角度約定。

  2. 計算或化簡此關係式。

    G=(A+B+C)/3=(7,1)G=(A+B+C)/3=(7,1)

  3. 重心在由頂點起的中線三分之二處。

所求值為 7。

檢查與易錯點：重心在由頂點起的中線三分之二處。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

給出同方向的單位向量。

a=(24,32)\mathbf a=(24,32)
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
分清長度、方向及位置，以位移比較向量。
提示 2
除以正的模。
完整解答

  1. 分清長度、方向及位置，以位移比較向量。

  2. 計算或化簡此關係式。

    a∣a∣=(3/5,4/5)\frac{\mathbf a}{|\mathbf a|}=(3/5,4/5)

  3. 零向量不能用此方式單位化。

(3/5,4/5)。

檢查與易錯點：零向量不能用此方式單位化。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

求兩個非零向量的夾角，單位為度。

a=(8,0),b=(0,9)\mathbf a=(8,0),\quad\mathbf b=(0,9)
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用向量運算法則，並區分向量與標量。
提示 2
非零向量數量積零表示垂直。
完整解答

  1. 使用向量運算法則，並區分向量與標量。

  2. 計算或化簡此關係式。

    a⋅b=0⇒cos⁡θ=0\mathbf a\cdot\mathbf b=0\Rightarrow\cos\theta=0

  3. 定義夾角要求兩向量非零。

所求值為 90。

檢查與易錯點：定義夾角要求兩向量非零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 鞏固#獨立練習

求在 x 正向的帶符號標量投影。

a=(−8,3)\mathbf a=(-8,3)
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。
提示 2
與目標方向的單位向量作數量積。
完整解答

  1. 使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。

  2. 計算或化簡此關係式。

    a⋅(1,0)=−8\mathbf a\cdot(1,0)=-8

  3. 帶符號投影可為負，長度則非負。

所求值為 -8。

檢查與易錯點：帶符號投影可為負，長度則非負。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

完成兩部分並說明所用條件。甲：解釋邊邊角問題使用正弦定理為何可能得兩個三角形。 乙：模相等能否保證向量相等？給出反例。

A: sin⁡B=s,0<s<1B: ∣a∣=∣b∣=10\begin{gathered}\text{A: }\sin B=s,\quad0<s<1\\\text{B: }|\mathbf a|=|\mathbf b|=10\end{gathered}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
甲：把幾何或物理量轉成向量，並檢查角度約定。
提示 2
乙：分清長度、方向及位置，以位移比較向量。
完整解答

  1. 甲部推理

  2. 把幾何或物理量轉成向量，並檢查角度約定。

  3. 計算或化簡此關係式。

    sin⁡B=sin⁡(180∘−B)\sin B=\sin(180^{\circ}-B)

  4. 若補角候選導致角和不可能，才把它刪除。

  5. 乙部推理

  6. 分清長度、方向及位置，以位移比較向量。

  7. 計算或化簡此關係式。

    ∣(10,0)∣=∣(0,10)∣=10|(10,0)|=|(0,10)|=10

  8. 兩個非零垂直向量不可能相等。

甲：B 與 180°−B 正弦相同；兩者均須檢查餘角及邊長條件。 乙：不能：(10,0) 與 (0,10) 方向不同。

檢查與易錯點：若補角候選導致角和不可能，才把它刪除。 兩個非零垂直向量不可能相等。

推理清單・自評／教師評核
  • 按所述限制解甲部。
  • 以合適表示解乙部。
  • 兩部分均須交代理由及檢查條件。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

行人先向東走 9 米，再向西走 9 米，求位移的模。

  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
分清長度、方向及位置，以位移比較向量。
提示 2
位移只取決於起點終點。
完整解答

  1. 分清長度、方向及位置，以位移比較向量。

  2. 計算或化簡此關係式。

    (9,0)+(−9,0)=(0,0)(9,0)+(-9,0)=(0,0)

  3. 路程為 18 米，位移卻為零。

所求值為 0。

檢查與易錯點：路程為 18 米，位移卻為零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

求 a+b 的 x 坐標。

a=(9,2),b=(3,−1)\mathbf a=(9,2),\quad\mathbf b=(3,-1)
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用向量運算法則，並區分向量與標量。
提示 2
把對應坐標相加。
完整解答

  1. 使用向量運算法則，並區分向量與標量。

  2. 計算或化簡此關係式。

    a+b=(12,1)\mathbf a+\mathbf b=(12,1)

  3. 向量相加逐分量合併位移。

所求值為 12。

檢查與易錯點：向量相加逐分量合併位移。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

求中點的 x 坐標。

A=(9,1),B=(13,5)A=(9,1),\quad B=(13,5)
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。
提示 2
對應端點坐標取平均。
完整解答

  1. 使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。

  2. 計算或化簡此關係式。

    M=A+B2=(11,3)M=\frac{A+B}{2}=(11,3)

  3. 中點為係數和等於一的仿射組合。

所求值為 11。

檢查與易錯點：中點為係數和等於一的仿射組合。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 鞏固#獨立練習

求三角形面積。

a=18,b=3,C=30∘a=18,\quad b=3,\quad C=30^{\circ}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何或物理量轉成向量，並檢查角度約定。
提示 2
用兩邊乘積及夾角正弦的一半。
完整解答

  1. 把幾何或物理量轉成向量，並檢查角度約定。

  2. 計算或化簡此關係式。

    S=12absin⁡C=12(18)(3)(1/2)=13.5S=\frac12ab\sin C=\frac12(18)(3)(1/2)=13.5

  3. 須使用兩邊夾角，不可任用其他角。

所求值為 13.5。

檢查與易錯點：須使用兩邊夾角，不可任用其他角。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

模相等能否保證向量相等？給出反例。

∣a∣=∣b∣=10|\mathbf a|=|\mathbf b|=10
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
分清長度、方向及位置，以位移比較向量。
提示 2
相等要求長度與方向均相同。
完整解答

  1. 分清長度、方向及位置，以位移比較向量。

  2. 計算或化簡此關係式。

    ∣(10,0)∣=∣(0,10)∣=10|(10,0)|=|(0,10)|=10

  3. 兩個非零垂直向量不可能相等。

不能：(10,0) 與 (0,10) 方向不同。

檢查與易錯點：兩個非零垂直向量不可能相等。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出所用定義、條件或模型。
  • 給出有效計算、證明或反例。
  • 連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

14 / 遷移#獨立練習

完成兩部分並說明所用條件。甲：用三角形法則化簡。 乙：求重心的 x 坐標。

A: AB→+BC→+CA→B: A=(0,0),B=(21,0),C=(0,3)\begin{gathered}\text{A: }\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\\\text{B: }A=(0,0),\quad B=(21,0),\quad C=(0,3)\end{gathered}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
甲：使用向量運算法則，並區分向量與標量。
提示 2
乙：把幾何或物理量轉成向量，並檢查角度約定。
完整解答

  1. 甲部推理

  2. 使用向量運算法則，並區分向量與標量。

  3. 計算或化簡此關係式。

    AB→+BC→=AC→;AC→+CA→=0\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC};\quad\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\mathbf0

  4. 回到起點表示總位移為零。

  5. 乙部推理

  6. 把幾何或物理量轉成向量，並檢查角度約定。

  7. 計算或化簡此關係式。

    G=(A+B+C)/3=(7,1)G=(A+B+C)/3=(7,1)

  8. 重心在由頂點起的中線三分之二處。

甲：零向量。 乙：所求值為 7。

檢查與易錯點：回到起點表示總位移為零。 重心在由頂點起的中線三分之二處。

推理清單・自評／教師評核
  • 按所述限制解甲部。
  • 以合適表示解乙部。
  • 兩部分均須交代理由及檢查條件。

先思考，待同學準備好再展開提示。

15 / 遷移#獨立練習

完成兩部分並說明所用條件。甲：解釋平行向量為何不能作平面的基底。 乙：給出同方向的單位向量。

A: e2=2e1B: a=(24,32)\begin{gathered}\text{A: }\mathbf e_2=2\mathbf e_1\\\text{B: }\mathbf a=(24,32)\end{gathered}
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
  • 依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
甲：使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。
提示 2
乙：分清長度、方向及位置，以位移比較向量。
完整解答

  1. 甲部推理

  2. 使用不平行基底或直角坐標，解分量方程。

  3. 計算或化簡此關係式。

    ae1+be2=(a+2b)e1a\mathbf e_1+b\mathbf e_2=(a+2b)\mathbf e_1

  4. 它們不能表示該線以外的向量。

  5. 乙部推理

  6. 分清長度、方向及位置，以位移比較向量。

  7. 計算或化簡此關係式。

    a∣a∣=(3/5,4/5)\frac{\mathbf a}{|\mathbf a|}=(3/5,4/5)

  8. 零向量不能用此方式單位化。

甲：所有線性組合仍在同一直線上。 乙：(3/5,4/5)。

檢查與易錯點：它們不能表示該線以外的向量。 零向量不能用此方式單位化。

推理清單・自評／教師評核
  • 按所述限制解甲部。
  • 以合適表示解乙部。
  • 兩部分均須交代理由及檢查條件。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

啟用 JavaScript 後顯示本機作答摘要。

    選擇需要重溫的補底知識 ↗

    教師備課與評核

    提問順序

    • 計算前，先請學生指出適用條件。

    板書重點

    • 比較成立的方法，並標示各自條件。

    預期想法

    • 最終數值正確，仍可能遺漏假設。

    評核清單

    • 分別檢核方法、條件、推理與結果解釋。

    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。

    教材與來源說明 ↗