學習・解釋・訂正

數列：混合複習

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

專題 01

數列：混合複習

混合評量：辨認方法、說明理由，再訂正自己的推理。

學完之後，你能解釋

不依賴題目排列提示，綜合運用本章知識。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#獨立練習

求 a3。

a_n=20n+1

下標為正整數；a1=S1 須獨立處理。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先表示各項或部分和，再作化簡。

提示 2

使用此中間關係式。

a_3=3t+1

完整解答

先表示各項或部分和，再作化簡。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$a_3=20\cdot3+1=61$
下標須代入每個 n 的位置。

所求值為 61。

檢查與易錯點：下標須代入每個 n 的位置。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 基礎#獨立練習

求公差。

a_2=21,\quad a_5=33

n 項的有限和只有 n−1 個相鄰公差。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公差及等差數列求和公式。

提示 2

使用此中間關係式。

a_5-a_2=3d

完整解答

使用公差及等差數列求和公式。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$3d=12\Rightarrow d=4$
公差次數由下標差決定，不是由較大的下標決定。

所求值為 4。

檢查與易錯點：公差次數由下標差決定，不是由較大的下標決定。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 基礎#獨立練習

求 S3。

a_1=22,\quad q=3

等比數列公比以非零項定義；q=1 時使用 Sn=na1。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公比，並檢查特殊情況。

提示 2

使用此中間關係式。

S_3=a_1(1+q+q^2)

完整解答

使用公比，並檢查特殊情況。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$S_3=22(1+3+9)=286$
直接逐項相加可獨立檢查有限和公式。

所求值為 286。

檢查與易錯點：直接逐項相加可獨立檢查有限和公式。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

證明所有 n≥1，n³−n+3tn 可被3整除。

t=23

歸納法只證明從起點開始、指定整數範圍內的命題。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

驗證起始情況，假設 k 時成立，再證明 k+1 時成立。

提示 2

使用此中間關係式。

f(k+1)−f(k)=3k(k+1)+3t

完整解答

驗證起始情況，假設 k 時成立，再證明 k+1 時成立。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$f(1)=3(23)$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$f(k+1)=f(k)+3k(k+1)+3(23)$
起始值及增量均為3的倍數。

所求關係或結論如下。

3 | (n^3−n+3tn)

檢查與易錯點：起始值及增量均為3的倍數。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求 a3。

a_n=24n+1

下標為正整數；a1=S1 須獨立處理。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先表示各項或部分和，再作化簡。

提示 2

使用此中間關係式。

a_3=3t+1

完整解答

先表示各項或部分和，再作化簡。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$a_3=24\cdot3+1=73$
下標須代入每個 n 的位置。

所求值為 73。

檢查與易錯點：下標須代入每個 n 的位置。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

求公差。

a_2=25,\quad a_5=37

n 項的有限和只有 n−1 個相鄰公差。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公差及等差數列求和公式。

提示 2

使用此中間關係式。

a_5-a_2=3d

完整解答

使用公差及等差數列求和公式。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$3d=12\Rightarrow d=4$
公差次數由下標差決定，不是由較大的下標決定。

所求值為 4。

檢查與易錯點：公差次數由下標差決定，不是由較大的下標決定。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 鞏固#獨立練習

公比 q=1 時，求 S5。

a_1=26

等比數列公比以非零項定義；q=1 時使用 Sn=na1。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公比，並檢查特殊情況。

提示 2

使用此中間關係式。

S_5=5a_1

完整解答

使用公比，並檢查特殊情況。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$S_5=5(26)=130$
各項相等；商式求和公式的分母會為零。

所求值為 130。

檢查與易錯點：各項相等；商式求和公式的分母會為零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

以 t 為起點，證明所有整數 n≥t，2ⁿ≥n+1。

t=27

歸納法只證明從起點開始、指定整數範圍內的命題。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

驗證起始情況，假設 k 時成立，再證明 k+1 時成立。

提示 2

使用此中間關係式。

2^(k+1)=2·2^k

完整解答

驗證起始情況，假設 k 時成立，再證明 k+1 時成立。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$n=27:2^{27}=134217728≥28$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$2^{k+1}≥2(k+1)≥k+2$
明確起始驗證及歸納步驟只涵蓋指定範圍。

所求關係或結論如下。

2^n\ge n+1\quad(n\ge27)

檢查與易錯點：明確起始驗證及歸納步驟只涵蓋指定範圍。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

求前 t 項和。

a_n=\frac1{n(n+1)},\quad t=28

下標為正整數；a1=S1 須獨立處理。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先表示各項或部分和，再作化簡。

提示 2

使用此中間關係式。

1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)

完整解答

先表示各項或部分和，再作化簡。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$S_t=(1-1/2)+(1/2-1/3)+\cdots+(1/28-1/29)$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$S_t=1-1/29=28/29$
裂項相消後須保留兩個邊界項。

所求值為 0.965517241379。

檢查與易錯點：裂項相消後須保留兩個邊界項。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

已知 S9，求 a5。

S_9=261

n 項的有限和只有 n−1 個相鄰公差。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公差及等差數列求和公式。

提示 2

使用此中間關係式。

S_9=9a_5

完整解答

使用公差及等差數列求和公式。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$a_5=261/9=29$
九項時第五項為中項。

所求值為 29。

檢查與易錯點：九項時第五項為中項。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

已知 a5=t，求 a3a7。

t=30

等比數列公比以非零項定義；q=1 時使用 Sn=na1。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公比，並檢查特殊情況。

提示 2

使用此中間關係式。

a_3a_7=a_5^2

完整解答

使用公比，並檢查特殊情況。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$a_3a_7=a_1^2q^8=a_5^2=900$
非零等比數列中，下標和相同的兩項乘積相同。

所求值為 900。

檢查與易錯點：非零等比數列中，下標和相同的兩項乘積相同。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 鞏固#獨立練習

用歸納法證明此縮放裂項公式。

\sum_{j=1}^n31/[j(j+1)]=31n/(n+1)

歸納法只證明從起點開始、指定整數範圍內的命題。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

驗證起始情況，假設 k 時成立，再證明 k+1 時成立。

提示 2

使用此中間關係式。

S(k+1)=S(k)+t/[(k+1)(k+2)]

完整解答

驗證起始情況，假設 k 時成立，再證明 k+1 時成立。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$n=1:31/2=31/2$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$S_{k+1}=31k/(k+1)+31/[(k+1)(k+2)]=31(k+1)/(k+2)$
固定因子須保留在新增項及目標式。

所求關係或結論如下。

S_n=31n/(n+1)

檢查與易錯點：固定因子須保留在新增項及目標式。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

求前 t 項和。

a_n=\frac1{n(n+1)},\quad t=32

下標為正整數；a1=S1 須獨立處理。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先表示各項或部分和，再作化簡。

提示 2

使用此中間關係式。

1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)

完整解答

先表示各項或部分和，再作化簡。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$S_t=(1-1/2)+(1/2-1/3)+\cdots+(1/32-1/33)$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$S_t=1-1/33=32/33$
裂項相消後須保留兩個邊界項。

所求值為 0.969696969697。

檢查與易錯點：裂項相消後須保留兩個邊界項。

先思考，待同學準備好再展開提示。

14 / 遷移#獨立練習

戲院有 t 排；首排10個座位，每後一排多2個。求總座位數。

t=33

n 項的有限和只有 n−1 個相鄰公差。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公差及等差數列求和公式。

提示 2

使用此中間關係式。

a_t=10+2(t-1)

完整解答

使用公差及等差數列求和公式。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$a_t=74$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$S_t=33(10+74)/2=1386$
排數為正整數，不需作連續模型的四捨五入。

所求值為 1386。

檢查與易錯點：排數為正整數，不需作連續模型的四捨五入。

先思考，待同學準備好再展開提示。

15 / 遷移#獨立練習

求 t 與4t 之間所有實數等比中項。

t=34

等比數列公比以非零項定義；q=1 時使用 Sn=na1。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用公比，並檢查特殊情況。

提示 2

使用此中間關係式。

b^2=ac

完整解答

使用公比，並檢查特殊情況。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$b^2=34\cdot136=4624$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$b=\pm68$
未限制中項為正時，正負兩值均可能。

所求關係或結論如下。

b=\pm68

檢查與易錯點：未限制中項為正時，正負兩值均可能。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

啟用 JavaScript 後顯示本機作答摘要。

選擇需要重溫的補底知識 ↗

教師備課與評核

提問順序

計算前，先請學生指出適用條件。

板書重點

比較成立的方法，並標示各自條件。

預期想法

最終數值正確，仍可能遺漏假設。

評核清單

分別檢核方法、條件、推理與結果解釋。