函數的概念與性質：綜合評估

1. 代入前先辨識輸入範圍、對應法則與所求輸出。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$f(8)=(8)^2-7(8)+1=9$$

3. 求函數值與解 f(x)=0 不同。

所求值為 9。

檢查與易錯點：求函數值與解 f(x)=0 不同。

1. 使用性質的定義，並保持定義域清楚。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$f(-x)=-x^3-7x=-f(x)$$

3. 定義域關於零對稱。

奇函數。

檢查與易錯點：定義域關於零對稱。

1. 辨識指數、實數定義域及大小次序的變化。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$(-7)^3=-343$$

3. 與偶次根不同，實數奇次根允許負輸入。

所求值為 -7。

檢查與易錯點：與偶次根不同，實數奇次根允許負輸入。

1. 定義變數與單位，建立模型並檢查可行輸入。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$4n=(27)-7=20\Rightarrow n=5$$

3. 答案必須為非負整數。

所求值為 5。

檢查與易錯點：答案必須為非負整數。

1. 代入前先辨識輸入範圍、對應法則與所求輸出。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$f(8)=2(8)=16$$

3. 分界點只屬於第二段。

所求值為 16。

檢查與易錯點：分界點只屬於第二段。

1. 使用性質的定義，並保持定義域清楚。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$g(x_2)-g(x_1)=f(x_2)-f(x_1)$$

3. 常數在每個輸出差中均被約去。

保持遞增或遞減性。

檢查與易錯點：常數在每個輸出差中均被約去。

1. 辨識指數、實數定義域及大小次序的變化。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$m-8=1\Rightarrow m=9$$

3. 倍數函數不一定符合所述係數為一的冪函數形式。

所求值為 9。

檢查與易錯點：倍數函數不一定符合所述係數為一的冪函數形式。

1. 甲部推理

2. 定義變數與單位，建立模型並檢查可行輸入。

3. 檢查更多觀測及產生數據的機制，並交代有理據的使用範圍。

4. 模型依賴假設與證據。

5. 乙部推理

6. 代入前先辨識輸入範圍、對應法則與所求輸出。

7. 計算或化簡此關係式。

   $$f(9)=1,\quad f(10)=0,\quad f(13)=9$$

8. 本題距頂點最遠的位置決定最大值。

甲：兩個觀測值可決定直線，但不能驗證無限外推。 乙：所求值為 9。

檢查與易錯點：模型依賴假設與證據。 本題距頂點最遠的位置決定最大值。

1. 代入前先辨識輸入範圍、對應法則與所求輸出。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$t=x+9;\quad f(t)=2(t-9)+3$$

3. 更改虛變數名稱不改變函數。

f(x)=2x−15。

檢查與易錯點：更改虛變數名稱不改變函數。

1. 使用性質的定義，並保持定義域清楚。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$x_1<x_2\Rightarrow f(x_2)-f(x_1)=-9(x_2-x_1)<0$$

3. 定義比較按大小排列的輸入所對應輸出。

嚴格遞減。

檢查與易錯點：定義比較按大小排列的輸入所對應輸出。

1. 甲部推理

2. 辨識指數、實數定義域及大小次序的變化。

3. 計算或化簡此關係式。

   $$x^{-2}=1/x^2>0\quad(x\ne0)$$

4. 計算或化簡此關係式。

   $$y>0\Rightarrow x=1/\sqrt y\ne0,\quad f(x)=y$$

5. 所示非零輸入可取到每個正輸出；零既不是可取輸入，也不是可取輸出。

6. 乙部推理

7. 代入前先辨識輸入範圍、對應法則與所求輸出。

8. 計算或化簡此關係式。

   $$f(8)=(8)^2-7(8)+1=9$$

9. 求函數值與解 f(x)=0 不同。

甲：定義域 x≠0；值域 y>0。 乙：所求值為 9。

檢查與易錯點：所示非零輸入可取到每個正輸出；零既不是可取輸入，也不是可取輸出。 求函數值與解 f(x)=0 不同。

1. 定義變數與單位，建立模型並檢查可行輸入。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$v=\frac{2d}{d/18+d/54}=27$$

3. 等距不表示行程時間相同。

所求值為 27。

檢查與易錯點：等距不表示行程時間相同。

1. 代入前先辨識輸入範圍、對應法則與所求輸出。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$f(9)=1,\quad f(10)=0,\quad f(13)=9$$

3. 本題距頂點最遠的位置決定最大值。

所求值為 9。

檢查與易錯點：本題距頂點最遠的位置決定最大值。

1. 使用性質的定義，並保持定義域清楚。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$x-10\in[1,3];\quad f(x)\ge1^2+2=3$$

3. 不可把無限制的頂點值當成有限範圍的最小值。

所求值為 3。

檢查與易錯點：不可把無限制的頂點值當成有限範圍的最小值。

1. 辨識指數、實數定義域及大小次序的變化。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$f(-x)=(-x)^{20}=x^{20}=f(x)$$

3. 指數為偶整數，定義域亦對稱。

偶函數。

檢查與易錯點：指數為偶整數，定義域亦對稱。