已知 A+B+C=π，證明 sin A+sin B+sin C=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)。

01 / 鞏固#獨立練習

官方試卷 · jm02-2021 · 4(b) · PDF 6

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

對 sin A+sin B 使用 (a)。

提示 2

以 (π−C)/2 取代 (A+B)/2，再提出 cos(C/2)。

完整解答

合併前兩項，第三項用倍角式。
$\sin A+\sin B+\sin C=2\cos(C/2)\left[\cos\frac{A-B}{2}+\sin(C/2)\right]$
由角和條件把正弦轉為餘弦。
$\sin(C/2)=\cos\frac{A+B}{2}$
展開兩個餘弦，正弦乘積項相消。
$\cos\frac{A-B}{2}+\cos\frac{A+B}{2}=2\cos(A/2)\cos(B/2)$
把剩餘因子相乘，不須除以可能為零的餘弦。
$\sin A+\sin B+\sin C=4\cos(A/2)\cos(B/2)\cos(C/2)$

A+B+C=π 時，恆等式得證。

檢查與易錯點：證明沒有除以 cos(C/2)，故餘弦為零的情況仍包含在內。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
合併前兩項，第三項用倍角式。
$\sin A+\sin B+\sin C=2\cos(C/2)\left[\cos\frac{A-B}{2}+\sin(C/2)\right]$
由角和條件把正弦轉為餘弦。
$\sin(C/2)=\cos\frac{A+B}{2}$
展開兩個餘弦，正弦乘積項相消。
$\cos\frac{A-B}{2}+\cos\frac{A+B}{2}=2\cos(A/2)\cos(B/2)$
把剩餘因子相乘，不須除以可能為零的餘弦。
$\sin A+\sin B+\sin C=4\cos(A/2)\cos(B/2)\cos(C/2)$

先思考，待同學準備好再展開提示。

2021 JM02