Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

成對數據的統計分析：混合複習

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

專題 01

成對數據的統計分析：混合複習

混合評量：辨認方法、說明理由，再訂正自己的推理。

學完之後，你能解釋

  • 不依賴題目排列提示，綜合運用本章知識。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#獨立練習

由中心化摘要求 r。

Sxx=4,Syy=400,Sxy=20S_{xx}=4,\quad S_{yy}=400,\quad S_{xy}=20
  • 兩個中心平方和均須為正；相關描述線性關聯，不證明因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
使用此中間關係式。
r=Sxy/SxxSyyr=S_{xy}/\sqrt{S_{xx}S_{yy}}
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    r=20/(40)=1/2r=20/(40)=1/2

  3. 分母尺度使用正平方根。

所求值為 0.5。

檢查與易錯點：分母尺度使用正平方根。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 基礎#獨立練習

求截距。

xˉ=2,yˉ=45,b=21\bar x=2,\quad\bar y=45,\quad b=21
  • Sxx>0；超出觀察 x 範圍的外推須另作論證，預測不是確定結果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
使用此中間關係式。
a=yˉ−bxˉa=\bar y-b\bar x
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    a=45−2(21)=3a=45-2(21)=3

  3. 配適直線通過數據中心點。

所求值為 3。

檢查與易錯點：配適直線通過數據中心點。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 基礎#獨立練習

計算此表的 χ²。

O=(64323264)O=\begin{pmatrix}64&32\\32&64\end{pmatrix}
  • 觀察須獨立；期望頻數須支持所提供的大樣本近似。拒絕獨立只表示關聯證據，不是因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
全部期望格數均為3u/2。
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    χ2=4[(32/2)2/(96/2)]=64/3\chi^2=4[(32/2)^2/(96/2)]=64/3

  3. 須計入全部四格非負貢獻。

所求值為 21.3333333333。

檢查與易錯點：須計入全部四格非負貢獻。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

配對數據 (−1,t)、(0,0)、(1,t)，求 Sxy。

t=23t=23
  • 兩個中心平方和均須為正；相關描述線性關聯，不證明因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
使用此中間關係式。
xˉ=0;Sxy=∑xi(yi−yˉ)\bar x=0;\quad S_{xy}=\sum x_i(y_i-\bar y)
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Sxy=−1(23−46/3)+1(23−46/3)=0S_{xy}=-1(23-46/3)+1(23-46/3)=0

  3. 即使模式是非線性的，對稱性仍使中心乘積相消。

所求值為 0。

檢查與易錯點：即使模式是非線性的，對稱性仍使中心乘積相消。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求配適斜率。

Sxx=2,Sxy=48S_{xx}=2,\quad S_{xy}=48
  • Sxx>0；超出觀察 x 範圍的外推須另作論證，預測不是確定結果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
使用此中間關係式。
b=Sxy/Sxxb=S_{xy}/S_{xx}
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    b=48/2=24b=48/2=24

  3. 分母為預測變量 x 的變異。

所求值為 24。

檢查與易錯點：分母為預測變量 x 的變異。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

在獨立假設下，求 E11。

O=(70353570)O=\begin{pmatrix}70&35\\35&70\end{pmatrix}
  • 觀察須獨立；期望頻數須支持所提供的大樣本近似。拒絕獨立只表示關聯證據，不是因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
使用此中間關係式。
E11=R1C1/NE_{11}=R_1C_1/N
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    E11=(105)2/210=52.5E_{11}=(105)^2/210=52.5

  3. 使用相關列總數、欄總數及完整樣本量。

所求值為 52.5。

檢查與易錯點：使用相關列總數、欄總數及完整樣本量。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 鞏固#獨立練習

配對數據 (−1,t)、(0,0)、(1,t)，求 Sxy。

t=26t=26
  • 兩個中心平方和均須為正；相關描述線性關聯，不證明因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
使用此中間關係式。
xˉ=0;Sxy=∑xi(yi−yˉ)\bar x=0;\quad S_{xy}=\sum x_i(y_i-\bar y)
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Sxy=−1(26−52/3)+1(26−52/3)=0S_{xy}=-1(26-52/3)+1(26-52/3)=0

  3. 即使模式是非線性的，對稱性仍使中心乘積相消。

所求值為 0。

檢查與易錯點：即使模式是非線性的，對稱性仍使中心乘積相消。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

x=−1、0、1；y=−t、0、t。求最小二乘斜率。

t=27t=27
  • Sxx>0；超出觀察 x 範圍的外推須另作論證，預測不是確定結果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
使用此中間關係式。
xˉ=yˉ=0\bar x=\bar y=0
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Sxx=2,Sxy=54S_{xx}=2,\quad S_{xy}=54

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    b=27b=27

  4. 計算乘積時須保留配對次序。

所求值為 27。

檢查與易錯點：計算乘積時須保留配對次序。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

分類前後表把同一批 t 人記錄兩次。一般獨立觀察卡方分析可把兩次記錄當作不同的人嗎？

t=38t=38
  • 觀察須獨立；期望頻數須支持所提供的大樣本近似。拒絕獨立只表示關聯證據，不是因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
檢查各列是否包含相同參與者。
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    paired records are dependent\text{paired records are dependent}

  3. 此研究須用配對分類結果的方法，不能把重複記錄的人視為獨立。

所求關係或結論如下。

the independent-observation assumption fails\text{the independent-observation assumption fails}

檢查與易錯點：此研究須用配對分類結果的方法，不能把重複記錄的人視為獨立。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

配對數據 (−1,t)、(0,0)、(1,t)，求 Sxy。

t=29t=29
  • 兩個中心平方和均須為正；相關描述線性關聯，不證明因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
使用此中間關係式。
xˉ=0;Sxy=∑xi(yi−yˉ)\bar x=0;\quad S_{xy}=\sum x_i(y_i-\bar y)
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Sxy=−1(29−58/3)+1(29−58/3)=0S_{xy}=-1(29-58/3)+1(29-58/3)=0

  3. 即使模式是非線性的，對稱性仍使中心乘積相消。

所求值為 0。

檢查與易錯點：即使模式是非線性的，對稱性仍使中心乘積相消。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

x=−1、0、1；y=−t、0、t。求最小二乘斜率。

t=30t=30
  • Sxx>0；超出觀察 x 範圍的外推須另作論證，預測不是確定結果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
使用此中間關係式。
xˉ=yˉ=0\bar x=\bar y=0
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Sxx=2,Sxy=60S_{xx}=2,\quad S_{xy}=60

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    b=30b=30

  4. 計算乘積時須保留配對次序。

所求值為 30。

檢查與易錯點：計算乘積時須保留配對次序。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 鞏固#獨立練習

分類前後表把同一批 t 人記錄兩次。一般獨立觀察卡方分析可把兩次記錄當作不同的人嗎？

t=41t=41
  • 觀察須獨立；期望頻數須支持所提供的大樣本近似。拒絕獨立只表示關聯證據，不是因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
檢查各列是否包含相同參與者。
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    paired records are dependent\text{paired records are dependent}

  3. 此研究須用配對分類結果的方法，不能把重複記錄的人視為獨立。

所求關係或結論如下。

the independent-observation assumption fails\text{the independent-observation assumption fails}

檢查與易錯點：此研究須用配對分類結果的方法，不能把重複記錄的人視為獨立。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

觀察調查得出所列讀書時間與分數的正相關。這能證明因果效應嗎？

r=0.1r=0.1
  • 兩個中心平方和均須為正；相關描述線性關聯，不證明因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
考慮混雜因素及研究設計。
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Prior preparation may influence both variables.\text{Prior preparation may influence both variables.}

  3. 觀察相關的大小不能取代因果設計或合理控制混淆因素。

所求關係或結論如下。

association does not establish causation\text{association does not establish causation}

檢查與易錯點：觀察相關的大小不能取代因果設計或合理控制混淆因素。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

14 / 遷移#獨立練習

x=−1、0、1；y=t、0、t。求回歸直線，並解釋其遺漏的模式。

t=33t=33
  • Sxx>0；超出觀察 x 範圍的外推須另作論證，預測不是確定結果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
使用此中間關係式。
Sxy=0,yˉ=2t/3S_{xy}=0,\quad \bar y=2t/3
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    b=0,a=66/3b=0,\quad a=66/3

  3. 零斜率遺漏 U 形關係，因此須連同散點圖檢視。

所求關係或結論如下。

y^=66/3\hat y=66/3

檢查與易錯點：零斜率遺漏 U 形關係，因此須連同散點圖檢視。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

15 / 遷移#獨立練習

分類前後表把同一批 t 人記錄兩次。一般獨立觀察卡方分析可把兩次記錄當作不同的人嗎？

t=44t=44
  • 觀察須獨立；期望頻數須支持所提供的大樣本近似。拒絕獨立只表示關聯證據，不是因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
檢查各列是否包含相同參與者。
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    paired records are dependent\text{paired records are dependent}

  3. 此研究須用配對分類結果的方法，不能把重複記錄的人視為獨立。

所求關係或結論如下。

the independent-observation assumption fails\text{the independent-observation assumption fails}

檢查與易錯點：此研究須用配對分類結果的方法，不能把重複記錄的人視為獨立。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    教師備課與評核

    提問順序

    • 計算前，先請學生指出適用條件。

    板書重點

    • 比較成立的方法，並標示各自條件。

    預期想法

    • 最終數值正確，仍可能遺漏假設。

    評核清單

    • 分別檢核方法、條件、推理與結果解釋。

    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。

    教材與來源說明 ↗