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學習・解釋・訂正

列聯表與獨立性檢驗

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

高三選擇性必修 第三册(A版).pdf · 8.3 · PDF 129 / 印刷頁 124

先重溫：成對數據的統計相關性

專題 01

列聯表與獨立性檢驗

計算期望頻數及卡方統計量，並作有界限的結論。

學完之後，你能解釋

  • 計算期望頻數及卡方統計量，並作有界限的結論。
  • 在新情境中說明方法的理由，並檢查適用條件。

定義關係

計算期望頻數及卡方統計量，並作有界限的結論。

Eij=RiCj/N;χ2=∑(O−E)2/EE_{ij}=R_iC_j/N;\quad\chi^2=\sum(O-E)^2/E

適用條件

觀察須獨立；期望頻數須支持所提供的大樣本近似。拒絕獨立只表示關聯證據，不是因果。

預測 → 操作 → 解釋 → 遷移

先留下預測，再探索關係。

課節思考：比例保持固定時，增加樣本量會使統計量變大嗎？

模型實驗：先預測調整下列參數會改變哪個結果，再以顯示的數值檢查，並與課節問題比較。

獨立觀察模型：每格期望頻數=10，χ²=1.6。把全表放大同時放大 χ²；關聯不能推出因果結論。O = [12, 8; 8, 12]E per cell = 10χ² = 1.6

獨立觀察模型：每格期望頻數=10，χ²=1.6。把全表放大同時放大 χ²；關聯不能推出因果結論。

解釋：計算兩個符合條件的例子，利用定義關係解釋變化。

遷移：把2×2表各格同比放大，解釋期望頻數及 χ² 的變化。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#示範例題

求第一列總數。

O=(24121224)O=\begin{pmatrix}24&12\\12&24\end{pmatrix}
  • 觀察須獨立；期望頻數須支持所提供的大樣本近似。拒絕獨立只表示關聯證據，不是因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
使用此中間關係式。
R1=O11+O12R_1=O_{11}+O_{12}
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    R1=24+12=36R_1=24+12=36

  3. 邊際總數合併分類，不改變配對。

所求值為 36。

檢查與易錯點：邊際總數合併分類，不改變配對。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 鞏固#示範例題

四格均為 t 的完全獨立表，求 χ²。

t=13t=13
  • 觀察須獨立；期望頻數須支持所提供的大樣本近似。拒絕獨立只表示關聯證據，不是因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
使用此中間關係式。
Oij=Eij=tO_{ij}=E_{ij}=t
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    χ2=0\chi^2=0

  3. 觀察頻數恰好等於獨立假設期望頻數。

所求值為 0。

檢查與易錯點：觀察頻數恰好等於獨立假設期望頻數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 遷移#示範例題

所列統計量低於提供的5%臨界值3.841。寫出合理結論。

χ2=1+4/5\chi^2=1+4/5
  • 觀察須獨立；期望頻數須支持所提供的大樣本近似。拒絕獨立只表示關聯證據，不是因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
使用此中間關係式。
1<t/(t+1)+1<2<3.8411<t/(t+1)+1<2<3.841
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    insufficient evidence against independence under the stated model\text{insufficient evidence against independence under the stated model}

  3. 證據不足不等於證明無關聯；樣本檢定能力及假設仍須考慮。

所求關係或結論如下。

do not reject independence at this level\text{do not reject independence at this level}

檢查與易錯點：證據不足不等於證明無關聯；樣本檢定能力及假設仍須考慮。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求第一列總數。

O=(30151530)O=\begin{pmatrix}30&15\\15&30\end{pmatrix}
  • 觀察須獨立；期望頻數須支持所提供的大樣本近似。拒絕獨立只表示關聯證據，不是因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
使用此中間關係式。
R1=O11+O12R_1=O_{11}+O_{12}
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    R1=30+15=45R_1=30+15=45

  3. 邊際總數合併分類，不改變配對。

所求值為 45。

檢查與易錯點：邊際總數合併分類，不改變配對。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

在獨立假設下，求 E11。

O=(32161632)O=\begin{pmatrix}32&16\\16&32\end{pmatrix}
  • 觀察須獨立；期望頻數須支持所提供的大樣本近似。拒絕獨立只表示關聯證據，不是因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
使用此中間關係式。
E11=R1C1/NE_{11}=R_1C_1/N
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    E11=(48)2/96=24E_{11}=(48)^2/96=24

  3. 使用相關列總數、欄總數及完整樣本量。

所求值為 24。

檢查與易錯點：使用相關列總數、欄總數及完整樣本量。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

計算此表的 χ²。

O=(34171734)O=\begin{pmatrix}34&17\\17&34\end{pmatrix}
  • 觀察須獨立；期望頻數須支持所提供的大樣本近似。拒絕獨立只表示關聯證據，不是因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
全部期望格數均為3u/2。
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    χ2=4[(17/2)2/(51/2)]=34/3\chi^2=4[(17/2)^2/(51/2)]=34/3

  3. 須計入全部四格非負貢獻。

所求值為 11.3333333333。

檢查與易錯點：須計入全部四格非負貢獻。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 基礎#獨立練習

用所提供的5%臨界值3.841（自由度1），評估獨立性。

O=(36181836)O=\begin{pmatrix}36&18\\18&36\end{pmatrix}
  • 觀察須獨立；期望頻數須支持所提供的大樣本近似。拒絕獨立只表示關聯證據，不是因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
使用此中間關係式。
χ2=2u/3\chi^2=2u/3
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    χ2=12>3.841\chi^2=12>3.841

  3. 此規則提供關聯證據，不估計因果效應。

所求關係或結論如下。

reject independence at the stated 5% rule\text{reject independence at the stated 5\% rule}

檢查與易錯點：此規則提供關聯證據，不估計因果效應。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

用所提供的5%臨界值3.841（自由度1），評估獨立性。

O=(38191938)O=\begin{pmatrix}38&19\\19&38\end{pmatrix}
  • 觀察須獨立；期望頻數須支持所提供的大樣本近似。拒絕獨立只表示關聯證據，不是因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
使用此中間關係式。
χ2=2u/3\chi^2=2u/3
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    χ2=12.6666666667>3.841\chi^2=12.6666666667>3.841

  3. 此規則提供關聯證據，不估計因果效應。

所求關係或結論如下。

reject independence at the stated 5% rule\text{reject independence at the stated 5\% rule}

檢查與易錯點：此規則提供關聯證據，不估計因果效應。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

四格均為 t 的完全獨立表，求 χ²。

t=20t=20
  • 觀察須獨立；期望頻數須支持所提供的大樣本近似。拒絕獨立只表示關聯證據，不是因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
使用此中間關係式。
Oij=Eij=tO_{ij}=E_{ij}=t
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    χ2=0\chi^2=0

  3. 觀察頻數恰好等於獨立假設期望頻數。

所求值為 0。

檢查與易錯點：觀察頻數恰好等於獨立假設期望頻數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

分類前後表把同一批 t 人記錄兩次。一般獨立觀察卡方分析可把兩次記錄當作不同的人嗎？

t=21t=21
  • 觀察須獨立；期望頻數須支持所提供的大樣本近似。拒絕獨立只表示關聯證據，不是因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
檢查各列是否包含相同參與者。
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    paired records are dependent\text{paired records are dependent}

  3. 此研究須用配對分類結果的方法，不能把重複記錄的人視為獨立。

所求關係或結論如下。

the independent-observation assumption fails\text{the independent-observation assumption fails}

檢查與易錯點：此研究須用配對分類結果的方法，不能把重複記錄的人視為獨立。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

所列統計量低於提供的5%臨界值3.841。寫出合理結論。

χ2=1+12/13\chi^2=1+12/13
  • 觀察須獨立；期望頻數須支持所提供的大樣本近似。拒絕獨立只表示關聯證據，不是因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
使用此中間關係式。
1<t/(t+1)+1<2<3.8411<t/(t+1)+1<2<3.841
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    insufficient evidence against independence under the stated model\text{insufficient evidence against independence under the stated model}

  3. 證據不足不等於證明無關聯；樣本檢定能力及假設仍須考慮。

所求關係或結論如下。

do not reject independence at this level\text{do not reject independence at this level}

檢查與易錯點：證據不足不等於證明無關聯；樣本檢定能力及假設仍須考慮。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 遷移#獨立練習

分類前後表把同一批 t 人記錄兩次。一般獨立觀察卡方分析可把兩次記錄當作不同的人嗎？

t=23t=23
  • 觀察須獨立；期望頻數須支持所提供的大樣本近似。拒絕獨立只表示關聯證據，不是因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
檢查各列是否包含相同參與者。
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    paired records are dependent\text{paired records are dependent}

  3. 此研究須用配對分類結果的方法，不能把重複記錄的人視為獨立。

所求關係或結論如下。

the independent-observation assumption fails\text{the independent-observation assumption fails}

檢查與易錯點：此研究須用配對分類結果的方法，不能把重複記錄的人視為獨立。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

所列統計量低於提供的5%臨界值3.841。寫出合理結論。

χ2=1+14/15\chi^2=1+14/15
  • 觀察須獨立；期望頻數須支持所提供的大樣本近似。拒絕獨立只表示關聯證據，不是因果。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。
提示 2
使用此中間關係式。
1<t/(t+1)+1<2<3.8411<t/(t+1)+1<2<3.841
完整解答

  1. 使用配對數據摘要，保留各觀察值之間的配對。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    insufficient evidence against independence under the stated model\text{insufficient evidence against independence under the stated model}

  3. 證據不足不等於證明無關聯；樣本檢定能力及假設仍須考慮。

所求關係或結論如下。

do not reject independence at this level\text{do not reject independence at this level}

檢查與易錯點：證據不足不等於證明無關聯；樣本檢定能力及假設仍須考慮。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

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    教師備課與評核

    提問順序

    • 計算期望頻數及卡方統計量，並作有界限的結論。
    • 「列聯表與獨立性檢驗」中哪一個條件不可缺少？
    • 比例保持固定時，增加樣本量會使統計量變大嗎？

    板書重點

    • 定義關係：計算期望頻數及卡方統計量，並作有界限的結論。
      Eij=RiCj/N;χ2=∑(O−E)2/EE_{ij}=R_iC_j/N;\quad\chi^2=\sum(O-E)^2/E
    • 適用條件：觀察須獨立；期望頻數須支持所提供的大樣本近似。拒絕獨立只表示關聯證據，不是因果。

    預期想法

    • 未拒絕不能證明獨立。

    評核清單

    • 1分：選取正確表示法及條件。
    • 1分：建立中間關係式。
    • 1分：完成連貫的計算或證明。
    • 1分：解釋並檢查結論。

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