Kenneth Cheng數學建模
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學習・解釋・訂正

直線和圓的方程：混合複習

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

專題 01

直線和圓的方程：混合複習

混合評量：辨認方法、說明理由，再訂正自己的推理。

學完之後，你能解釋

  • 不依賴題目排列提示，綜合運用本章知識。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#獨立練習

求 AB 的斜率。

A=(1,2), B=(3,42)A=(1,2),\ B=(3,42)
  • 鉛直直線沒有有限斜率；m1m2=−1 只在兩個斜率均存在時適用。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
m=Δy/Δxm=\Delta y/\Delta x
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    m=(42−2)/(3−1)=20m=(42-2)/(3-1)=20

  3. 分子分母必須使用一致的兩點次序。

所求值為 20。

檢查與易錯點：分子分母必須使用一致的兩點次序。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 基礎#獨立練習

求通過 (t,1)、(t,5) 的直線。

t=21t=21
  • 點斜式不包含鉛直線；截距式要求兩截距非零。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
x1=x2x_1=x_2
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    x=21x=21

  3. 直接使用鉛直線方程，避免在斜率公式中除以零。

所求關係或結論如下。

x=21x=21

檢查與易錯點：直接使用鉛直線方程，避免在斜率公式中除以零。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 基礎#獨立練習

求 P 到直線的距離。

P=(0,0),3x+4y−110=0P=(0,0),\quad 3x+4y-110=0
  • 分母是法向量長度；平行線距離公式要求係數先化成一致。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
d=∣C∣/5d=|C|/5
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    d=110/9+16=22d=110/\sqrt{9+16}=22

  3. 法向量 (3,4) 的長度為5。

所求值為 22。

檢查與易錯點：法向量 (3,4) 的長度為5。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求圓心為 (t,−1) 且通過 (t+3,3) 的圓。

t=23t=23
  • 在一般式中，非退化圓要求 (D²+E²)/4−F>0。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
r2=32+42r^2=3^2+4^2
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    r2=25r^2=25

  3. 使用圓心到所給點的距離；所給點不是圓心。

所求關係或結論如下。

(x−23)2+(y+1)2=25(x-23)^2+(y+1)^2=25

檢查與易錯點：使用圓心到所給點的距離；所給點不是圓心。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求公共點個數。

x2+y2=576,y=24x^2+y^2=576,\quad y=24
  • 比較圓心距與 r1+r2 及 |r1−r2|；同心圓須另行處理。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
d=rd=r
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    d=24=r⇒tangentd=24=r\Rightarrow\text{tangent}

  3. 距離等於半徑時有一個切點。

所求值為 1。

檢查與易錯點：距離等於半徑時有一個切點。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

直線傾斜角為135°。求斜率。

m=tan⁡135∘m=\tan135^\circ
  • 鉛直直線沒有有限斜率；m1m2=−1 只在兩個斜率均存在時適用。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
tan⁡(180∘−45∘)=−tan⁡45∘\tan(180^\circ-45^\circ)=-\tan45^\circ
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    m=−1m=-1

  3. 傾斜角在 [0°,180°)；第二象限的正切為負。

所求值為 -1。

檢查與易錯點：傾斜角在 [0°,180°)；第二象限的正切為負。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 鞏固#獨立練習

求 C，使 Ax+By+C=0 通過 P。

A=2, B=−3, P=(26,1)A=2,\ B=-3,\ P=(26,1)
  • 點斜式不包含鉛直線；截距式要求兩截距非零。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
C=−AxP−ByPC=-Ax_P-By_P
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    C=−2(26)+3=−49C=-2(26)+3=-49

  3. 點在直線上，等價於代入後的式子為零。

所求值為 -49。

檢查與易錯點：點在直線上，等價於代入後的式子為零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

求 P 到直線的垂足。

P=(27,2),y=xP=(27,2),\quad y=x
  • 分母是法向量長度；平行線距離公式要求係數先化成一致。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
H=(h,h),(P−H)⋅(1,1)=0H=(h,h),\quad(P-H)\cdot(1,1)=0
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    27+2−2h=027+2-2h=0

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    h=14.5h=14.5

  4. 垂足在直線上，且與 P 的位移垂直於直線。

所求關係或結論如下。

H=(14.5,14.5)H=(14.5,14.5)

檢查與易錯點：垂足在直線上，且與 P 的位移垂直於直線。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

求通過 O=(0,0)、A=(2t,0)、B=(0,2) 的圓。

t=28t=28
  • 在一般式中，非退化圓要求 (D²+E²)/4−F>0。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
F=0;D=−2t;E=−2F=0;\quad D=-2t;\quad E=-2
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    3136+56D=0⇒D=−563136+56D=0\Rightarrow D=-56

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    4+2E=0⇒E=−24+2E=0\Rightarrow E=-2

  4. 三個不共線點決定唯一的圓。

所求關係或結論如下。

x2+y2−56x−2y=0x^2+y^2-56x-2y=0

檢查與易錯點：三個不共線點決定唯一的圓。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

分類這兩個圓的位置關係。

C1:x2+y2=841,C2:(x−32)2+y2=9C_1:x^2+y^2=841, C_2:(x-32)^2+y^2=9
  • 比較圓心距與 r1+r2 及 |r1−r2|；同心圓須另行處理。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
d=r1+r2d=r1+r2
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    d=32=r1+r2d=32=r_1+r_2

  3. 兩圓外切。

所求關係或結論如下。

d=r1+r2=32d=r_1+r_2=32

檢查與易錯點：兩圓外切。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

求 a，使兩條非鉛直直線平行。

y=(2a+1)x+3,y=61x−1y=(2a+1)x+3,\quad y=61x-1
  • 鉛直直線沒有有限斜率；m1m2=−1 只在兩個斜率均存在時適用。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
2a+1=2t+12a+1=2t+1
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    2a+1=61⇒a=302a+1=61\Rightarrow a=30

  3. 斜率相同且截距不同，保證為兩條相異平行線。

所求值為 30。

檢查與易錯點：斜率相同且截距不同，保證為兩條相異平行線。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 鞏固#獨立練習

求直線關於 y 軸的對稱直線。

y=31x+2y=31x+2
  • 點斜式不包含鉛直線；截距式要求兩截距非零。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
x↦−xx\mapsto-x
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    y=31(−x)+2=−31x+2y=31(-x)+2=-31x+2

  3. 關於 y 軸對稱會反轉 x 座標的正負，保留 y 座標。

所求關係或結論如下。

y=−31x+2y=-31x+2

檢查與易錯點：關於 y 軸對稱會反轉 x 座標的正負，保留 y 座標。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

求 P 關於 y=x 的對稱點。

P=(32,2)P=(32,2)
  • 分母是法向量長度；平行線距離公式要求係數先化成一致。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
P+P′=2HP+P\prime=2H
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    H=(17,17)H=(17,17)

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    P′=2H−P=(2,32)P'=2H-P=(2,32)

  4. 關於 y=x 對稱會交換兩個座標。

所求關係或結論如下。

P′=(2,32)P'=(2,32)

檢查與易錯點：關於 y=x 對稱會交換兩個座標。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

14 / 遷移#獨立練習

圓心為 (t,0)，半徑為2。求圓上最大的 x 座標。

t=33t=33
  • 在一般式中，非退化圓要求 (D²+E²)/4−F>0。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
∣x−t∣≤2|x-t|\le2
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    xmax⁡=33+2=35x_{\max}=33+2=35

  3. 極值點在水平直徑上。

所求值為 35。

檢查與易錯點：極值點在水平直徑上。

先思考，待同學準備好再展開提示。

15 / 遷移#獨立練習

求在所給點的切線。

x2+y2=28900,P=(102,136)x^2+y^2=28900, P=(102,136)
  • 比較圓心距與 r1+r2 及 |r1−r2|；同心圓須另行處理。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
半徑是切線的法向量。
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    3(x−102)+4(y−136)=03(x-102)+4(y-136)=0

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    3x+4y=8503x+4y=850

  4. 所給點在圓上，並決定切線常數。

所求關係或結論如下。

3x+4y=8503x+4y=850

檢查與易錯點：所給點在圓上，並決定切線常數。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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    選擇需要重溫的補底知識 ↗

    教師備課與評核

    提問順序

    • 計算前，先請學生指出適用條件。

    板書重點

    • 比較成立的方法，並標示各自條件。

    預期想法

    • 最終數值正確，仍可能遺漏假設。

    評核清單

    • 分別檢核方法、條件、推理與結果解釋。

    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。

    教材與來源說明 ↗