一元二次函數、方程和不等式：綜合評估

1. 變形不等式前，追蹤符號及運算是否合法。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$x<56/(-7)=-8$$

3. 負乘數倒轉次序。

x<-8。

檢查與易錯點：負乘數倒轉次序。

1. 檢查非負條件，使用基本不等式，再核對等號可取得。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$ab\le((a+b)/2)^2=49;\quad a=b=7$$

3. 相等的一對數符合指定總和。

所求值為 49。

檢查與易錯點：相等的一對數符合指定總和。

1. 找根或頂點，再檢查符號與端點。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$\Delta=(-14)^2-4(50)=-4$$

3. 判別式為負表示沒有實根。

所求值為 -4。

檢查與易錯點：判別式為負表示沒有實根。

1. 變形不等式前，追蹤符號及運算是否合法。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$(-9)^2=81>64=(-8)^2$$

3. 平方只在非負輸入上遞增。

其平方滿足 81>64。

檢查與易錯點：平方只在非負輸入上遞增。

1. 檢查非負條件，使用基本不等式，再核對等號可取得。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$x+\frac{64}x-16=\frac{(x-8)^2}{x}>0$$

3. 計算或化簡此關係式。

   $$x\to8^{+}\Rightarrow x+\frac{64}x\to16$$

4. 下確界不一定是最小值。

不能；下確界為 16，可逼近但不能取得。

檢查與易錯點：下確界不一定是最小值。

1. 找根或頂點，再檢查符號與端點。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$(x-8)(x-12)\le0;\quad (12)-8=4$$

3. 區間長度不是整數點個數。

所求值為 4。

檢查與易錯點：區間長度不是整數點個數。

1. 甲部推理

2. 變形不等式前，追蹤符號及運算是否合法。

3. 計算或化簡此關係式。

   $$ax-ab=a(x-b)$$

4. 零的情況與兩種嚴格次序均不同。

5. 乙部推理

6. 找根或頂點，再檢查符號與端點。

7. 計算或化簡此關係式。

   $$x^2-20x+m=(x-10)^2+m-100$$

8. 恆正要求最小值嚴格大於零。

甲：a>0 時 ax<ab；a<0 時 ax>ab；a=0 時兩者相等。 乙：m>100。

檢查與易錯點：零的情況與兩種嚴格次序均不同。 恆正要求最小值嚴格大於零。

1. 檢查非負條件，使用基本不等式，再核對等號可取得。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$x+\frac{81}x\ge2\sqrt{81}=18;\quad x=9$$

3. 兩項相等給出合適等號情況。

所求值為 18。

檢查與易錯點：兩項相等給出合適等號情況。

1. 找根或頂點，再檢查符號與端點。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$-9<x<11;\quad (10)-(-8)+1=19$$

3. 嚴格比較排除相等。

所求值為 19。

檢查與易錯點：嚴格比較排除相等。

1. 變形不等式前，追蹤符號及運算是否合法。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$a+b<22$$

3. 和可任意逼近此界，因此更小整數不成立。

所求值為 22。

檢查與易錯點：和可任意逼近此界，因此更小整數不成立。

1. 檢查非負條件，使用基本不等式，再核對等號可取得。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$2x+\frac{200}x\ge2\sqrt{400}=40;\quad x=10$$

3. 等號比較完整兩項，不只是 x 及 1/x。

所求值為 40。

檢查與易錯點：等號比較完整兩項，不只是 x 及 1/x。

1. 找根或頂點，再檢查符號與端點。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$x^2-20x+m=(x-10)^2+m-100$$

3. 恆正要求最小值嚴格大於零。

m>100。

檢查與易錯點：恆正要求最小值嚴格大於零。

1. 甲部推理

2. 變形不等式前，追蹤符號及運算是否合法。

3. 計算或化簡此關係式。

   $$a=13,\ c=12,\ b=14$$

4. 傳遞性需要連鎖次序，不是共用上界。

5. 乙部推理

6. 找根或頂點，再檢查符號與端點。

7. 計算或化簡此關係式。

   $$\Delta=(-14)^2-4(50)=-4$$

8. 判別式為負表示沒有實根。

甲：不能；兩個小於 b 的數可以任何次序排列。 乙：所求值為 -4。

檢查與易錯點：傳遞性需要連鎖次序，不是共用上界。 判別式為負表示沒有實根。

1. 檢查非負條件，使用基本不等式，再核對等號可取得。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$a+b\ge2\sqrt{ab}=24;\quad a=b=12$$

3. 給出等號的一對數以證明可取得。

所求值為 24。

檢查與易錯點：給出等號的一對數以證明可取得。

1. 找根或頂點，再檢查符號與端點。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$11\le x\le14$$

3. 非嚴格比較包括兩根。

x∈[11,14]。

檢查與易錯點：非嚴格比較包括兩根。