學習・解釋・訂正

隨機變量及其分佈：混合複習

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

專題 01

隨機變量及其分佈：混合複習

混合評量：辨認方法、說明理由，再訂正自己的推理。

學完之後，你能解釋

不依賴題目排列提示，綜合運用本章知識。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#獨立練習

由已知概率求 P(A|B)。

P(A\cap B)=1/24,\quad P(B)=2/24

條件事件概率須為正；全概率分割須互斥且涵蓋全部樣本。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

以條件概率或互斥分割表示事件。

提示 2

使用此中間關係式。

P(A|B)=P(A\cap B)/P(B)

完整解答

以條件概率或互斥分割表示事件。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$P(A|B)=(1/u)/(2/u)=1/2$
把樣本空間限制到 B。

所求值為 0.5。

檢查與易錯點：把樣本空間限制到 B。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 基礎#獨立練習

求 P(X≥t)。

X\in\{0,21,22\};\quad P=(1/4,1/4,1/2)

每個概率均在 [0,1]；取值及事件不能重複計數。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

提示 2

把取值 t、t+1 的概率相加。

完整解答

先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$P(X\ge t)=1/4+1/2=3/4$
先按門檻選取值，再加上其概率。

所求值為 0.75。

檢查與易錯點：先按門檻選取值，再加上其概率。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 基礎#獨立練習

求 Var(X)。

X=0,22;\quad P=1/2,1/2

方差非負；求和的方差須包含協方差，除非有獨立性支持。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

提示 2

使用此中間關係式。

Var(X)=E(X^2)-E(X)^2

完整解答

先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$Var(X)=484/2-(22/2)^2=484/4$
方差的單位為取值單位的平方。

所求值為 121。

檢查與易錯點：方差的單位為取值單位的平方。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

X~Bin(m,1/4)。求 Var(X)。

m=4

二項試驗有固定 n、相同 p 及獨立性；超幾何抽樣使用有限母體且不放回。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

提示 2

使用此中間關係式。

Var(X)=mp(1-p)

完整解答

先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$Var(X)=4(1/4)(3/4)=12/16$
須同時包含失敗概率及成功概率。

所求值為 0.75。

檢查與易錯點：須同時包含失敗概率及成功概率。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

X~N(t,4)。求標準差。

t=24

σ>0；各題提供所需概率表值。連續變量在單點的概率為零。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

提示 2

使用此中間關係式。

\sigma=\sqrt{\sigma^2}

完整解答

先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$\sigma=\sqrt4=2$
方差4的平方根為2。

所求值為 2。

檢查與易錯點：方差4的平方根為2。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

袋有 t 個紅球及2個藍球，不放回抽兩球。已知首球紅色，求第二球藍色的概率。

t=25

條件事件概率須為正；全概率分割須互斥且涵蓋全部樣本。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

以條件概率或互斥分割表示事件。

提示 2

抽出紅球後，總數為 t+1，藍球仍為2。

完整解答

以條件概率或互斥分割表示事件。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$P=2/26$
顏色數及分母須反映已知資訊。

所求值為 0.0769230769231。

檢查與易錯點：顏色數及分母須反映已知資訊。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 鞏固#獨立練習

寫出 Y=2X+1 的分佈列。

X=0,26;\quad P=1/3,2/3

每個概率均在 [0,1]；取值及事件不能重複計數。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

提示 2

把每個可能取值代入 Y=2X+1。

完整解答

先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$0\mapsto1,\quad 26\mapsto53$
一對一取值變換保留對應概率。

所求關係或結論如下。

Y=1,53;\quad P=1/3,2/3

檢查與易錯點：一對一取值變換保留對應概率。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

求 Var(3X+2)。

Var(X)=27

方差非負；求和的方差須包含協方差，除非有獨立性支持。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

提示 2

使用此中間關係式。

Var(aX+b)=a^2Var(X)

完整解答

先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$Var(3X+2)=9(27)=243$
平移常數不影響方差。

所求值為 243。

檢查與易錯點：平移常數不影響方差。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

從 t 紅3藍不放回選2球。求恰有一紅的概率。

t=28

二項試驗有固定 n、相同 p 及獨立性；超幾何抽樣使用有限母體且不放回。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

以條件概率或互斥分割表示事件。

提示 2

使用此中間關係式。

C_t^1C_3^1/C_{t+3}^2

完整解答

以條件概率或互斥分割表示事件。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$P=84/465$
每種顏色各選一球；不要額外乘上次序因子。

所求值為 0.18064516129。

檢查與易錯點：每種顏色各選一球；不要額外乘上次序因子。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

X~N(t,4)，Φ(1)=0.8413。求 P(t−2≤X≤t+2)。

t=29

σ>0；各題提供所需概率表值。連續變量在單點的概率為零。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

以條件概率或互斥分割表示事件。

提示 2

使用此中間關係式。

\Phi(-1)=1-\Phi(1)

完整解答

以條件概率或互斥分割表示事件。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$P(-1\le Z\le1)=2\Phi(1)-1=0.6826$
須減去左尾，不是把兩個累積概率相加。

所求值為 0.6826。

檢查與易錯點：須減去左尾，不是把兩個累積概率相加。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

以1/(t+2)概率選機器1，否則選機器2；失敗率為1/10及1/5。已知失敗，求使用機器1的概率。

t=30

條件事件概率須為正；全概率分割須互斥且涵蓋全部樣本。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

以條件概率或互斥分割表示事件。

提示 2

使用此中間關係式。

P(M_1|F)=P(M_1\cap F)/P(F)

完整解答

以條件概率或互斥分割表示事件。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$P(F)=63/[10(32)]$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$P(M_1|F)=\frac{1/[10(32)]}{63/[10(32)]}=1/63$
後驗概率的分母包含兩台機器的失敗情況。

所求值為 0.015873015873。

檢查與易錯點：後驗概率的分母包含兩台機器的失敗情況。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 鞏固#獨立練習

這些數字可構成概率分佈嗎？說明。

X=0,31,32;\quad P=0.6,0.5,-0.1

每個概率均在 [0,1]；取值及事件不能重複計數。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

提示 2

除了總和，亦須檢查非負性。

完整解答

先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$0.6+0.5-0.1=1$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$P(X=t+1)=-0.1<0$
總和為一並不足夠。

所求關係或結論如下。

\text{invalid}

檢查與易錯點：總和為一並不足夠。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

獨立 X、Y 的方差為 t 及2。求 Var(X+Y)。

t=32

方差非負；求和的方差須包含協方差，除非有獨立性支持。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先列出可能值及概率，再計算數字特徵。

提示 2

使用此中間關係式。

Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)

完整解答

先列出可能值及概率，再計算數字特徵。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$Var(X+Y)=32+2=34$
此處獨立性使協方差為零。

所求值為 34。

檢查與易錯點：此處獨立性使協方差為零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

14 / 遷移#獨立練習

獨立試驗的成功概率為1/2。求使至少一次成功概率≥1−2^(−m) 的最小 n。

m=3

二項試驗有固定 n、相同 p 及獨立性；超幾何抽樣使用有限母體且不放回。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

以條件概率或互斥分割表示事件。

提示 2

使用此中間關係式。

1-2^{-n}\ge1-2^{-m}

完整解答

以條件概率或互斥分割表示事件。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$2^{-n}\le2^{-3}\Rightarrow n\ge3$
使用一次都沒有成功的補事件。

所求值為 3。

檢查與易錯點：使用一次都沒有成功的補事件。

先思考，待同學準備好再展開提示。

15 / 遷移#獨立練習

X~N(t,4)。求 P(X=t)。

t=34

σ>0；各題提供所需概率表值。連續變量在單點的概率為零。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

以條件概率或互斥分割表示事件。

提示 2

連續分佈的單點概率為零。

完整解答

以條件概率或互斥分割表示事件。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$P(X=\mu)=0$
平均數處密度最大，但單點概率仍為零。

所求值為 0。

檢查與易錯點：平均數處密度最大，但單點概率仍為零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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選擇需要重溫的補底知識 ↗

教師備課與評核

提問順序

計算前，先請學生指出適用條件。

板書重點

比較成立的方法，並標示各自條件。

預期想法

最終數值正確，仍可能遺漏假設。

評核清單

分別檢核方法、條件、推理與結果解釋。