Kenneth Cheng數學建模
← 高中數學研習室

學習・解釋・訂正

圓錐曲線的方程：混合複習

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

專題 01

圓錐曲線的方程：混合複習

混合評量：辨認方法、說明理由，再訂正自己的推理。

學完之後，你能解釋

  • 不依賴題目排列提示，綜合運用本章知識。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#獨立練習

求長軸長。

x2/484+y2/400=1x^2/484+y^2/400=1
  • 水平長軸時 a>b>0；較大的分母指定長軸方向。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
major axis=2a\text{major axis}=2a
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    2a=2(22)=442a=2(22)=44

  3. 軸長是對應半軸長的兩倍。

所求值為 44。

檢查與易錯點：軸長是對應半軸長的兩倍。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 基礎#獨立練習

求實軸長。

x2/441−y2/4=1x^2/441-y^2/4=1
  • a、b>0 且 e>1；距離差取絕對值，漸近線不屬於雙曲線。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
transverse axis=2a\text{transverse axis}=2a
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    2a=422a=42

  3. 正的平方項指定實軸方向。

所求值為 42。

檢查與易錯點：正的平方項指定實軸方向。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 基礎#獨立練習

求頂點為 O、焦點為 (0,−t) 的拋物線。

t=22t=22
  • a 須非零；拋物線有頂點，沒有對稱中心。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
x2=4ay,a=−tx^2=4ay,\quad a=-t
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    x2=4(−22)yx^2=4(-22)y

  3. 焦點在頂點下方，拋物線向下開口。

所求關係或結論如下。

x2=−88yx^2=-88y

檢查與易錯點：焦點在頂點下方，拋物線向下開口。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

P 在橢圓上，PF1=t。求 PF2。

a=25,PF1=23a=25,\quad PF_1=23
  • 水平長軸時 a>b>0；較大的分母指定長軸方向。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
PF1+PF2=2aPF_1+PF_2=2a
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    PF2=50−23=27PF_2=50-23=27

  3. 距離和定義可避免求點的座標。

所求值為 27。

檢查與易錯點：距離和定義可避免求點的座標。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求 c²。

x2/576−y2/4=1x^2/576-y^2/4=1
  • a、b>0 且 e>1；距離差取絕對值，漸近線不屬於雙曲線。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
c2=a2+b2c^2=a^2+b^2
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    c2=576+4=580c^2=576+4=580

  3. 雙曲線的焦點參數平方為半軸平方之和。

所求值為 580。

檢查與易錯點：雙曲線的焦點參數平方為半軸平方之和。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

求準線的 x 座標。

y2=100xy^2=100x
  • a 須非零；拋物線有頂點，沒有對稱中心。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
directrix:x=−a\text{directrix}:x=-a
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    x=−25x=-25

  3. 焦點及準線位於頂點兩側。

所求值為 -25。

檢查與易錯點：焦點及準線位於頂點兩側。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 鞏固#獨立練習

P 在橢圓上，PF1=t。求 PF2。

a=28,PF1=26a=28,\quad PF_1=26
  • 水平長軸時 a>b>0；較大的分母指定長軸方向。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
PF1+PF2=2aPF_1+PF_2=2a
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    PF2=56−26=30PF_2=56-26=30

  3. 距離和定義可避免求點的座標。

所求值為 30。

檢查與易錯點：距離和定義可避免求點的座標。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

求頂點 (±t,0)、焦點 (±(t+2),0) 的水平雙曲線。

t=27t=27
  • a、b>0 且 e>1；距離差取絕對值，漸近線不屬於雙曲線。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
b2=c2−a2b²=c²−a²
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    b2=841−729=112b^2=841-729=112

  3. 雙曲線的 c 大於 a。

所求關係或結論如下。

x2/729−y2/112=1x^2/729-y^2/112=1

檢查與易錯點：雙曲線的 c 大於 a。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

求斜率為1且與 y²=4tx 相切的直線。

t=28t=28
  • a 須非零；拋物線有頂點，沒有對稱中心。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
y=x+b⇒x2+(2b−4t)x+b2=0y=x+b\Rightarrow x^2+(2b-4t)x+b^2=0
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Δ=(2b−112)2−4b2=448(28−b)\Delta=(2b-112)^2-4b^2=448(28-b)

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Δ=0⇒b=28\Delta=0\Rightarrow b=28

  4. 二次項係數不為零，因此重根可確定相切。

所求關係或結論如下。

y=x+28y=x+28

檢查與易錯點：二次項係數不為零，因此重根可確定相切。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

P 在橢圓上，PF1=t。求 PF2。

a=31,PF1=29a=31,\quad PF_1=29
  • 水平長軸時 a>b>0；較大的分母指定長軸方向。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
PF1+PF2=2aPF_1+PF_2=2a
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    PF2=62−29=33PF_2=62-29=33

  3. 距離和定義可避免求點的座標。

所求值為 33。

檢查與易錯點：距離和定義可避免求點的座標。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

求頂點 (±t,0)、焦點 (±(t+2),0) 的水平雙曲線。

t=30t=30
  • a、b>0 且 e>1；距離差取絕對值，漸近線不屬於雙曲線。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
b2=c2−a2b²=c²−a²
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    b2=1024−900=124b^2=1024-900=124

  3. 雙曲線的 c 大於 a。

所求關係或結論如下。

x2/900−y2/124=1x^2/900-y^2/124=1

檢查與易錯點：雙曲線的 c 大於 a。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 鞏固#獨立練習

求斜率為1且與 y²=4tx 相切的直線。

t=31t=31
  • a 須非零；拋物線有頂點，沒有對稱中心。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
y=x+b⇒x2+(2b−4t)x+b2=0y=x+b\Rightarrow x^2+(2b-4t)x+b^2=0
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Δ=(2b−124)2−4b2=496(31−b)\Delta=(2b-124)^2-4b^2=496(31-b)

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Δ=0⇒b=31\Delta=0\Rightarrow b=31

  4. 二次項係數不為零，因此重根可確定相切。

所求關係或結論如下。

y=x+31y=x+31

檢查與易錯點：二次項係數不為零，因此重根可確定相切。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

求 x=0 截得的弦長。

x2/1156+y2/1024=1x^2/1156+y^2/1024=1
  • 水平長軸時 a>b>0；較大的分母指定長軸方向。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
y2/b2=1y^2/b^2=1
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    y=±32⇒L=64y=\pm32\Rightarrow L=64

  3. 沿 y 軸通過圓心的弦為短軸。

所求值為 64。

檢查與易錯點：沿 y 軸通過圓心的弦為短軸。

先思考，待同學準備好再展開提示。

14 / 遷移#獨立練習

證明只有一個公共點，並說明此線不是切線。

y=x+33,x2−y2=1089y=x+33, x^2-y^2=1089
  • a、b>0 且 e>1；距離差取絕對值，漸近線不屬於雙曲線。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
代入後二次項會相消。
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    −66x−1089=1089⇒x=−33,y=0-66x-1089=1089 ⇒ x=-33, y=0

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    tangent at P:x=−33\text{tangent at }P:x=-33

  4. 此線平行於漸近線；消元降次亦可導致一個交點。

所求關係或結論如下。

P=(−33,0)P=(-33,0)

檢查與易錯點：此線平行於漸近線；消元降次亦可導致一個交點。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

15 / 遷移#獨立練習

求斜率為1且與 y²=4tx 相切的直線。

t=34t=34
  • a 須非零；拋物線有頂點，沒有對稱中心。
考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1
把幾何條件轉成座標方程。
提示 2
使用此中間關係式。
y=x+b⇒x2+(2b−4t)x+b2=0y=x+b\Rightarrow x^2+(2b-4t)x+b^2=0
完整解答

  1. 把幾何條件轉成座標方程。

  2. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Δ=(2b−136)2−4b2=544(34−b)\Delta=(2b-136)^2-4b^2=544(34-b)

  3. 運用所列關係式，並保留適用條件。

    Δ=0⇒b=34\Delta=0\Rightarrow b=34

  4. 二次項係數不為零，因此重根可確定相切。

所求關係或結論如下。

y=x+34y=x+34

檢查與易錯點：二次項係數不為零，因此重根可確定相切。

推理清單・自評／教師評核
  • 寫出有效的定義或模型及其假設。
  • 展示中間數學關係，不只寫出結論。
  • 檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

專注一道題目

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

啟用 JavaScript 後顯示本機作答摘要。

    選擇需要重溫的補底知識 ↗

    教師備課與評核

    提問順序

    • 計算前，先請學生指出適用條件。

    板書重點

    • 比較成立的方法，並標示各自條件。

    預期想法

    • 最終數值正確，仍可能遺漏假設。

    評核清單

    • 分別檢核方法、條件、推理與結果解釋。

    免登入，紀錄保存在此瀏覽器；清除資料前請先匯出。書面推理按清單自評或由教師評核。

    教材與來源說明 ↗