學習・解釋・訂正

空間向量與立體幾何：混合複習

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

專題 01

空間向量與立體幾何：混合複習

混合評量：辨認方法、說明理由，再訂正自己的推理。

學完之後，你能解釋

不依賴題目排列提示，綜合運用本章知識。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#獨立練習

求 a+b 的第一分量。

a=(20,2,-1),\quad b=(3,-2,4)

角度公式須用兩個非零向量；內積的結果為純量。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用向量分量及分配律。

提示 2

使用此中間關係式。

(a+b)_1=a_1+b_1

完整解答

使用向量分量及分配律。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$(a+b)=(23,0,3)$
其他分量相消不影響第一分量。

所求值為 23。

檢查與易錯點：其他分量相消不影響第一分量。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 基礎#獨立練習

當 e1=(1,0,0)、e2=(1,1,0)、e3=(0,0,1) 時，求 v 的 e1 係數。

v=(23,2,3)

基底必須線性獨立；用平面上的點作仿射組合時，權重之和須為一。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用向量分量及分配律。

提示 2

使用此中間關係式。

(x+y,y,z)=v

完整解答

使用向量分量及分配律。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$y=2,\quad z=3,\quad x=23-2=21$
幾何向量不變，換基底仍會改變其係數。

所求值為 21。

檢查與易錯點：幾何向量不變，換基底仍會改變其係數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 基礎#獨立練習

求 λ，使 a 與 b 垂直。

a=(1,2,3),\ b=(22,1,\lambda)

投影方向須非零；有向純量投影可以是負數。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

用內積連結座標與長度或角度。

提示 2

使用此中間關係式。

a\cdot b=0

完整解答

用內積連結座標與長度或角度。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$22+2+3\lambda=0$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$\lambda=-24/3$
使用內積為零，不能要求每個分量的乘積都為零。

所求值為 -8。

檢查與易錯點：使用內積為零，不能要求每個分量的乘積都為零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求 P 到平面的距離。

P=(0,0,23),\quad \Pi:z=2

直線、平面的夾角取銳角或直角；法向量須非零，距離非負。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

用內積連結座標與長度或角度。

提示 2

使用此中間關係式。

d=|z_P-2|

完整解答

用內積連結座標與長度或角度。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$d=|23-2|=21$
法向位移給出最短距離。

所求值為 21。

檢查與易錯點：法向位移給出最短距離。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求 a+b 的第一分量。

a=(24,2,-1),\quad b=(3,-2,4)

角度公式須用兩個非零向量；內積的結果為純量。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用向量分量及分配律。

提示 2

使用此中間關係式。

(a+b)_1=a_1+b_1

完整解答

使用向量分量及分配律。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$(a+b)=(27,0,3)$
其他分量相消不影響第一分量。

所求值為 27。

檢查與易錯點：其他分量相消不影響第一分量。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

當 e1=(1,0,0)、e2=(1,1,0)、e3=(0,0,1) 時，求 v 的 e1 係數。

v=(27,2,3)

基底必須線性獨立；用平面上的點作仿射組合時，權重之和須為一。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用向量分量及分配律。

提示 2

使用此中間關係式。

(x+y,y,z)=v

完整解答

使用向量分量及分配律。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$y=2,\quad z=3,\quad x=27-2=25$
幾何向量不變，換基底仍會改變其係數。

所求值為 25。

檢查與易錯點：幾何向量不變，換基底仍會改變其係數。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 鞏固#獨立練習

求 a 與 b 夾角的 cos θ。

a=(1,1,0), b=(0,26,1)

投影方向須非零；有向純量投影可以是負數。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

用內積連結座標與長度或角度。

提示 2

使用此中間關係式。

cosθ=(a·b)/(|a||b|)

完整解答

用內積連結座標與長度或角度。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$a\cdot b=26, |a|=\sqrt2, |b|=\sqrt{677}$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$\cos\theta=26/\sqrt{1354}$
分母須包含兩個向量長度。

所求值為 0.706584352758。

檢查與易錯點：分母須包含兩個向量長度。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

求 P 到平面的距離。

P=(27,0,0),\quad \Pi:3x+4y=0

直線、平面的夾角取銳角或直角；法向量須非零，距離非負。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

用內積連結座標與長度或角度。

提示 2

使用此中間關係式。

d=|3x_P+4y_P|/5

完整解答

用內積連結座標與長度或角度。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$d=3(27)/\sqrt{3^2+4^2}=16.2$
須除以法向量長度，直接代入的值不是距離。

所求值為 16.2。

檢查與易錯點：須除以法向量長度，直接代入的值不是距離。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

a 與 b 是否平行？說明理由。

a=(1,2,28),\quad b=(2,4,56)

角度公式須用兩個非零向量；內積的結果為純量。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用向量分量及分配律。

提示 2

使用此中間關係式。

b=\lambda a

完整解答

使用向量分量及分配律。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$(2,4,56)=2(1,2,28)$
所有分量均有相同的數乘因子。

所求關係或結論如下。

b=2a

檢查與易錯點：所有分量均有相同的數乘因子。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

求 λ，使第三向量位於前兩向量張成的平面。

a=(1,0,0),\ b=(0,1,0),\ c=(29,2,\lambda)

基底必須線性獨立；用平面上的點作仿射組合時，權重之和須為一。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用向量分量及分配律。

提示 2

使用此中間關係式。

c=xa+yb

完整解答

使用向量分量及分配律。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$c=(x,y,0)\Rightarrow\lambda=0$
a、b 張成的平面之第三座標為零。

所求值為 0。

檢查與易錯點：a、b 張成的平面之第三座標為零。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

求 v 在 u 方向的有向純量投影。

v=(30,2,0),\ u=(1,0,0)

投影方向須非零；有向純量投影可以是負數。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

用內積連結座標與長度或角度。

提示 2

使用此中間關係式。

s=v\cdot u/|u|

完整解答

用內積連結座標與長度或角度。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$s=30/1=30$
單位座標方向會取出對應分量。

所求值為 30。

檢查與易錯點：單位座標方向會取出對應分量。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 鞏固#獨立練習

整條直線是否位於此平面？

X=(0,0,31)+s(1,-1,0), \Pi:x+y+z=31

直線、平面的夾角取銳角或直角；法向量須非零，距離非負。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

用內積連結座標與長度或角度。

提示 2

n·u=0，且起點在平面上。

完整解答

用內積連結座標與長度或角度。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$x+y+z=s-s+31=31$
方向平行，加上有一點在平面上，可證明包含關係。

所求關係或結論如下。

\ell\subset\Pi

檢查與易錯點：方向平行，加上有一點在平面上，可證明包含關係。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

a 與 b 是否平行？說明理由。

a=(1,2,32),\quad b=(2,4,64)

角度公式須用兩個非零向量；內積的結果為純量。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用向量分量及分配律。

提示 2

使用此中間關係式。

b=\lambda a

完整解答

使用向量分量及分配律。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$(2,4,64)=2(1,2,32)$
所有分量均有相同的數乘因子。

所求關係或結論如下。

b=2a

檢查與易錯點：所有分量均有相同的數乘因子。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

14 / 遷移#獨立練習

說明這三個向量為何不能給出唯一係數。

e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(33,1,0)

基底必須線性獨立；用平面上的點作仿射組合時，權重之和須為一。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用向量分量及分配律。

提示 2

使用此中間關係式。

e_3=te_1+e_2

完整解答

使用向量分量及分配律。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$(33,1,0)=33(1,0,0)+(0,1,0)$
相依的三向量容許不止一種表示。

所求關係或結論如下。

e_3=33e_1+e_2

檢查與易錯點：相依的三向量容許不止一種表示。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

15 / 遷移#獨立練習

單位方向有 cos²α=1/t²、cos²β=1/9。求 cos²γ。

t=34

投影方向須非零；有向純量投影可以是負數。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

用內積連結座標與長度或角度。

提示 2

使用此中間關係式。

cos²α+cos²β+cos²γ=1

完整解答

用內積連結座標與長度或角度。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$\cos^2\gamma=1-1/1156-1/9$
方向餘弦平方之和為一。

所求值為 0.888023836986。

檢查與易錯點：方向餘弦平方之和為一。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

啟用 JavaScript 後顯示本機作答摘要。

選擇需要重溫的補底知識 ↗

教師備課與評核

提問順序

計算前，先請學生指出適用條件。

板書重點

比較成立的方法，並標示各自條件。

預期想法

最終數值正確，仍可能遺漏假設。

評核清單

分別檢核方法、條件、推理與結果解釋。