複數：綜合評估

1. 使用 z=a+bi，a、b 為實數且 i²=−1，區分部分與項。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$\operatorname{Im}z=-9$$

3. 虛部不是整項 bi。

所求值為 -9。

檢查與易錯點：虛部不是整項 bi。

1. 展開時使用 i²=−1，分母含複數時乘共軛。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$\frac{7(1+i)}{1+i}=7$$

3. 1+i 非零，所以可以約去。

7。

檢查與易錯點：1+i 非零，所以可以約去。

1. 使用模與幅角，並記得幅角可相差整周。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$343(\cos\pi+i\sin\pi)=-343$$

3. 模乘方時必須同時把角乘相應倍數。

所求值為 -343。

檢查與易錯點：模乘方時必須同時把角乘相應倍數。

1. 使用 z=a+bi，a、b 為實數且 i²=−1，區分部分與項。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$\overline z=8+3i$$

3. 只有虛數項變號。

8+3i。

檢查與易錯點：只有虛數項變號。

1. 展開時使用 i²=−1，分母含複數時乘共軛。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$(z-8)^2=-1\Rightarrow z=8±i$$

3. 兩根代入原多項式均得零。

z=8±i。

檢查與易錯點：兩根代入原多項式均得零。

1. 甲部推理

2. 使用模與幅角，並記得幅角可相差整周。

3. 計算或化簡此關係式。

   $$r(\cos(\theta+2\pi)+i\sin(\theta+2\pi))=r(\cos\theta+i\sin\theta)$$

4. 複數固定，但表示法不唯一。

5. 乙部推理

6. 展開時使用 i²=−1，分母含複數時乘共軛。

7. 計算或化簡此關係式。

   $$i^{42}=(i^4)^{10}i^2=-1$$

8. 把指數按模四化簡。

甲：不是；一整周不改變正弦與餘弦。 乙：所求值為 -1。

檢查與易錯點：複數固定，但表示法不唯一。 把指數按模四化簡。

1. 使用 z=a+bi，a、b 為實數且 i²=−1，區分部分與項。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$a=9,\quad b=-2\Rightarrow a+b=7$$

3. 只有一部分為零不足以令複數為零。

所求值為 7。

檢查與易錯點：只有一部分為零不足以令複數為零。

1. 展開時使用 i²=−1，分母含複數時乘共軛。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$(9+i)(2-i)=19+-7i$$

3. 把實數項與 i 的係數分開。

所求值為 19。

檢查與易錯點：把實數項與 i 的係數分開。

1. 使用模與幅角，並記得幅角可相差整周。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$|z_1z_2|=|z_1||z_2|=27$$

3. 幅角相加，長度相乘。

所求值為 27。

檢查與易錯點：幅角相加，長度相乘。

1. 使用 z=a+bi，a、b 為實數且 i²=−1，區分部分與項。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$|z|=\sqrt{(30)^2+(40)^2}=50$$

3. 模是到原點的非負距離。

所求值為 50。

檢查與易錯點：模是到原點的非負距離。

1. 展開時使用 i²=−1，分母含複數時乘共軛。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$i^{42}=(i^4)^{10}i^2=-1$$

3. 把指數按模四化簡。

所求值為 -1。

檢查與易錯點：把指數按模四化簡。

1. 使用模與幅角，並記得幅角可相差整周。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$|z_1/z_2|=|z_1|/|z_2|=10$$

3. 相除時幅角相減。

所求值為 10。

檢查與易錯點：相除時幅角相減。

1. 使用 z=a+bi，a、b 為實數且 i²=−1，區分部分與項。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$z^2=-121;\quad (±11i)^2=-121$$

3. 11>0，因此 11i 與 −11i 是兩個不同的根。

z=±11i。

檢查與易錯點：11>0，因此 11i 與 −11i 是兩個不同的根。

1. 甲部推理

2. 展開時使用 i²=−1，分母含複數時乘共軛。

3. 計算或化簡此關係式。

   $$1+i-1-i=0$$

4. 單位圓上四點以兩對相反點抵消。

5. 乙部推理

6. 使用 z=a+bi，a、b 為實數且 i²=−1，區分部分與項。

7. 計算或化簡此關係式。

   $$\overline z=8+3i$$

8. 只有虛數項變號。

甲：所求值為 0。 乙：8+3i。

檢查與易錯點：單位圓上四點以兩對相反點抵消。 只有虛數項變號。

1. 使用模與幅角，並記得幅角可相差整周。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$|z|=11,\quad\arg z=\pi/2+2n\pi$$

3. 所選幅角是無限多個代表之一。

11(cos(π/2)+i sin(π/2))。

檢查與易錯點：所選幅角是無限多個代表之一。