← 高中數學研習室

學習・解釋・訂正

f(x)=x² 在實數上能否有反函數？給出反例。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

返回課節／試卷 ↗

2027 JM02 考試大綱 · 1. Functions · PDF 2 / 印刷頁 2

先重溫：函數的概念及其表示函數的基本性質

專題 01

反函數與定義域限制

透過定義、對照例子及有理據的應用，掌握反函數與定義域限制。

學完之後，你能解釋

計算前選取等價方法並交代排除條件。
連結不同表示法，說明每步理由，並處理邊界情況。
能解釋解法，並把概念用於改變了的情境。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 鞏固#獨立練習

f(x)=x² 在實數上能否有反函數？給出反例。

f:\mathbb R\to[0,\infty);\quad f(x)=x^2

依題目所列定義域、單位與抽樣假設作答。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

指定單射定義域，解出輸入，再交換變量。

提示 2

找不同輸入對應同一輸出。

完整解答

指定單射定義域，解出輸入，再交換變量。
計算或化簡此關係式。
$1\ne-1;\quad f(1)=f(-1)$
對指定值域為滿射，並不代表單射。

不能：f(1)=f(−1)=1。

檢查與易錯點：對指定值域為滿射，並不代表單射。

推理清單・自評／教師評核

寫出所用定義、條件或模型。
給出有效計算、證明或反例。
連同限制解釋結論。

先思考，待同學準備好再展開提示。

教師備課與評核

提問順序

使用「反函數與定義域限制」的主要法則前，須滿足甚麼條件？
哪一種表示法能使此題較易處理？為甚麼？
改變一項假設後，原結論還成立嗎？

板書重點

計算前選取等價方法並交代排除條件。
撤銷對應法則：反函數交換原定義域與值域，要求原對應為單射。
$f^{-1}(f(x))=x$
選取分支：把二次函數限制於頂點任一側，可建立可逆法則。
總結：條件 → 表示 → 推理 → 檢驗。

預期想法

預期理由：反函數交換原定義域與值域，要求原對應為單射。
預期理由：把二次函數限制於頂點任一側，可建立可逆法則。
預期修正：代數產生的候選解可能違反原定義域或符號條件。

評核清單

1：辨識已知條件及所求。
1：選取合適定義、表示或方法。
1：推理連貫且正確。
1：檢驗條件並解釋結果。