反函數與定義域限制

1. 指定單射定義域，解出輸入，再交換變量。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$y=2x+3\iff x=(y-3)/2$$

3. 反函數不是倒數 1/f(x)。

f⁻¹(x)=(x−3)/2。

檢查與易錯點：反函數不是倒數 1/f(x)。

1. 指定單射定義域，解出輸入，再交換變量。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$y(x-2)=1;\quad x=2+1/y;\quad y\ne0$$

3. 原值域成為反函數的定義域。

f⁻¹(x)=2+1/x，x≠0。

檢查與易錯點：原值域成為反函數的定義域。

1. 指定單射定義域，解出輸入，再交換變量。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$yx-y=x+2;\quad x(y-1)=y+2;\quad x=\frac{y+2}{y-1}$$

3. 輸出 1 會要求 2=−1，但此式不成立。

f⁻¹(x)=(x+2)/(x−1)，x≠1。

檢查與易錯點：輸出 1 會要求 2=−1，但此式不成立。

1. 指定單射定義域，解出輸入，再交換變量。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$y=3x+3\iff x=(y-3)/3$$

3. 反函數不是倒數 1/f(x)。

f⁻¹(x)=(x−3)/3。

檢查與易錯點：反函數不是倒數 1/f(x)。

1. 指定單射定義域，解出輸入，再交換變量。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$y(x-3)=1;\quad x=3+1/y;\quad y\ne0$$

3. 原值域成為反函數的定義域。

f⁻¹(x)=3+1/x，x≠0。

檢查與易錯點：原值域成為反函數的定義域。

1. 指定單射定義域，解出輸入，再交換變量。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$x-3\ge0;\quad x=3+\sqrt y$$

3. 不限制定義域的二次函數不能在整條實軸建立反函數。

f⁻¹(x)=3+√x，x≥0。

檢查與易錯點：不限制定義域的二次函數不能在整條實軸建立反函數。

1. 指定單射定義域，解出輸入，再交換變量。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$f(5)=18;\quad f^{-1}(18)=5$$

3. 離開相關定義域與值域時，複合次序及適用條件不可忽略。

所求值為 5。

檢查與易錯點：離開相關定義域與值域時，複合次序及適用條件不可忽略。

1. 指定單射定義域，解出輸入，再交換變量。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$1\ne-1;\quad f(1)=f(-1)$$

3. 對指定值域為滿射，並不代表單射。

不能：f(1)=f(−1)=1。

檢查與易錯點：對指定值域為滿射，並不代表單射。

1. 指定單射定義域，解出輸入，再交換變量。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$x-3=\pm\sqrt y$$

3. 沒有定義域而寫 ±，不能定義反函數。

x≤3：f⁻¹(y)=3−√y；x≥3：f⁻¹(y)=3+√y，y≥0。

檢查與易錯點：沒有定義域而寫 ±，不能定義反函數。

1. 指定單射定義域，解出輸入，再交換變量。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$yx-y=x+3;\quad x(y-1)=y+3;\quad x=\frac{y+3}{y-1}$$

3. 輸出 1 會要求 3=−1，但此式不成立。

f⁻¹(x)=(x+3)/(x−1)，x≠1。

檢查與易錯點：輸出 1 會要求 3=−1，但此式不成立。

1. 指定單射定義域，解出輸入，再交換變量。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$y=4x+3\iff x=(y-3)/4$$

3. 反函數不是倒數 1/f(x)。

f⁻¹(x)=(x−3)/4。

檢查與易錯點：反函數不是倒數 1/f(x)。

1. 指定單射定義域，解出輸入，再交換變量。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$y(x-4)=1;\quad x=4+1/y;\quad y\ne0$$

3. 原值域成為反函數的定義域。

f⁻¹(x)=4+1/x，x≠0。

檢查與易錯點：原值域成為反函數的定義域。

1. 指定單射定義域，解出輸入，再交換變量。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$x-4\ge0;\quad x=4+\sqrt y$$

3. 不限制定義域的二次函數不能在整條實軸建立反函數。

f⁻¹(x)=4+√x，x≥0。

檢查與易錯點：不限制定義域的二次函數不能在整條實軸建立反函數。