學習・解釋・訂正

計數原理：混合複習

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

專題 01

計數原理：混合複習

混合評量：辨認方法、說明理由，再訂正自己的推理。

學完之後，你能解釋

不依賴題目排列提示，綜合運用本章知識。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#獨立練習

選一本書：有 t 本數學及3本歷史，沒有重複。共有多少選擇？

t=20

加法要求分類互斥；步驟數須對各分支成立，否則須分開計算。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

提示 2

使用此中間關係式。

N=t+3

完整解答

判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$N=20+3=23$
兩個學科分類是互斥的替代選擇。

所求值為 23。

檢查與易錯點：兩個學科分類是互斥的替代選擇。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 基礎#獨立練習

從 m 人中選沒有次序的三人委員會。

m=15

人數及項數為非負整數；須判斷標籤、次序及旋轉是否構成不同結果。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

提示 2

使用此中間關係式。

C_m^3=P_m^3/3!

完整解答

判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$N=15(14)(13)/6=455$
每個委員會曾被計為六種次序。

所求值為 455。

檢查與易錯點：每個委員會曾被計為六種次序。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 基礎#獨立練習

求 (2+x)^m 的所有係數之和。

m=4

指數 n 為非負整數；第幾項為 r+1，不是 r。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

提示 2

代入 x=1。

完整解答

判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$(2+1)^{4}=81$
完整係數和用 x=1；只有兩個基本係數都是一時才為2^m。

所求值為 81。

檢查與易錯點：完整係數和用 x=1；只有兩個基本係數都是一時才為2^m。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

t+8 名學生中，t 人學美術、8人學音樂、3人兩者都學。多少人至少學一科？

t=23

加法要求分類互斥；步驟數須對各分支成立，否則須分開計算。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

提示 2

使用此中間關係式。

|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|

完整解答

判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$N=23+8-3=28$
交集被計入兩次，所以減去一次。

所求值為 28。

檢查與易錯點：交集被計入兩次，所以減去一次。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

從 m 個不同的人中選主席及秘書。求分配數。

m=7

人數及項數為非負整數；須判斷標籤、次序及旋轉是否構成不同結果。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

提示 2

使用此中間關係式。

P_m^2=m(m-1)

完整解答

判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$N=7(7-1)=42$
兩個職位不同，因此次序重要。

所求值為 42。

檢查與易錯點：兩個職位不同，因此次序重要。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

求 (1+x)^m 中 x² 的係數。

m=7

指數 n 為非負整數；第幾項為 r+1，不是 r。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

提示 2

使用此中間關係式。

C_m^2=m(m-1)/2

完整解答

判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$[x^2]=21$
所選兩個因子的無序組合決定此項。

所求值為 21。

檢查與易錯點：所選兩個因子的無序組合決定此項。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 鞏固#獨立練習

t+8 名學生中，t 人學美術、8人學音樂、3人兩者都學。多少人至少學一科？

t=26

加法要求分類互斥；步驟數須對各分支成立，否則須分開計算。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

提示 2

使用此中間關係式。

|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|

完整解答

判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$N=26+8-3=31$
交集被計入兩次，所以減去一次。

所求值為 31。

檢查與易錯點：交集被計入兩次，所以減去一次。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

從 m 人選三人委員會，須包含指定的一人。共有多少選法？

m=10

人數及項數為非負整數；須判斷標籤、次序及旋轉是否構成不同結果。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

提示 2

使用此中間關係式。

C_{m-1}^2

完整解答

判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$N=C_{9}^2=36$
只須從其餘人中選另外兩位成員。

所求值為 36。

檢查與易錯點：只須從其餘人中選另外兩位成員。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

m≥1 時，求二項式係數的交替和。

\sum_{r=0}^{10}(-1)^rC_{10}^r

指數 n 為非負整數；第幾項為 r+1，不是 r。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

提示 2

在 (1+x)^m 中代入 x=−1。

完整解答

判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$(1-1)^{10}=0$
指數為正，因此此代入沒有歧義。

所求值為 0。

檢查與易錯點：指數為正，因此此代入沒有歧義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

t+8 名學生中，t 人學美術、8人學音樂、3人兩者都學。多少人至少學一科？

t=29

加法要求分類互斥；步驟數須對各分支成立，否則須分開計算。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

提示 2

使用此中間關係式。

|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|

完整解答

判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$N=29+8-3=34$
交集被計入兩次，所以減去一次。

所求值為 34。

檢查與易錯點：交集被計入兩次，所以減去一次。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

從 m 人選三人委員會，須包含指定的一人。共有多少選法？

m=13

人數及項數為非負整數；須判斷標籤、次序及旋轉是否構成不同結果。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

提示 2

使用此中間關係式。

C_{m-1}^2

完整解答

判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$N=C_{12}^2=66$
只須從其餘人中選另外兩位成員。

所求值為 66。

檢查與易錯點：只須從其餘人中選另外兩位成員。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 鞏固#獨立練習

m≥1 時，求二項式係數的交替和。

\sum_{r=0}^{13}(-1)^rC_{13}^r

指數 n 為非負整數；第幾項為 r+1，不是 r。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

提示 2

在 (1+x)^m 中代入 x=−1。

完整解答

判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$(1-1)^{13}=0$
指數為正，因此此代入沒有歧義。

所求值為 0。

檢查與易錯點：指數為正，因此此代入沒有歧義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

三位密碼使用 t 個符號，可重複。排除三位完全相同的密碼後，有多少？

t=32

加法要求分類互斥；步驟數須對各分支成立，否則須分開計算。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

提示 2

使用此中間關係式。

N=t^3-t

完整解答

判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$N=32768-32=32736$
每個符號各有一個全相同密碼，不是總共只有一個。

所求值為 32736。

檢查與易錯點：每個符號各有一個全相同密碼，不是總共只有一個。

先思考，待同學準備好再展開提示。

14 / 遷移#獨立練習

m 個不同的人排成一列，A、B 必須相鄰。共有多少排法？

m=5

人數及項數為非負整數；須判斷標籤、次序及旋轉是否構成不同結果。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

提示 2

把 A、B 視為一個區塊。

完整解答

判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$N=2(m-1)!=48$
把區塊內 AB、BA 的兩種次序乘入。

所求值為 48。

檢查與易錯點：把區塊內 AB、BA 的兩種次序乘入。

先思考，待同學準備好再展開提示。

15 / 遷移#獨立練習

m≥1 時，求二項式係數的交替和。

\sum_{r=0}^{5}(-1)^rC_{5}^r

指數 n 為非負整數；第幾項為 r+1，不是 r。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。

提示 2

在 (1+x)^m 中代入 x=−1。

完整解答

判斷選擇屬互斥分類或連續步驟，再檢查重複計數。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$(1-1)^{5}=0$
指數為正，因此此代入沒有歧義。

所求值為 0。

檢查與易錯點：指數為正，因此此代入沒有歧義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

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選擇需要重溫的補底知識 ↗

教師備課與評核

提問順序

計算前，先請學生指出適用條件。

板書重點

比較成立的方法，並標示各自條件。

預期想法

最終數值正確，仍可能遺漏假設。

評核清單

分別檢核方法、條件、推理與結果解釋。