學習・解釋・訂正

一元函數的導數及其應用：混合複習

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

專題 01

一元函數的導數及其應用：混合複習

混合評量：辨認方法、說明理由，再訂正自己的推理。

學完之後，你能解釋

不依賴題目排列提示，綜合運用本章知識。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 基礎#獨立練習

由極限求 x² 在 x=t 的導數。

t=20

差商要求 h≠0；可微要求左右極限相同且有限。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先對指定函數求導，再代入指定值。

提示 2

使用此中間關係式。

[(t+h)^2-t^2]/h=2t+h

完整解答

先對指定函數求導，再代入指定值。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$f'(20)=\lim_{h\to0}(40+h)=40$
只有 h≠0 時才約去 h，再求極限。

所求值為 40。

檢查與易錯點：只有 h≠0 時才約去 h，再求極限。

先思考，待同學準備好再展開提示。

02 / 基礎#獨立練習

用乘積法則求 f′(1)。

f(x)=x^2(x+21)

商的分母須非零；實對數的真數須為正，三角函數求導使用弧度。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先對指定函數求導，再代入指定值。

提示 2

使用此中間關係式。

f\prime=2x(x+t)+x^2

完整解答

先對指定函數求導，再代入指定值。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$f'(1)=2(1+21)+1=45$
兩個因子均對導數有貢獻。

所求值為 45。

檢查與易錯點：兩個因子均對導數有貢獻。

先思考，待同學準備好再展開提示。

03 / 基礎#獨立練習

求遞增及遞減區間。

f(x)=x^2-44x

駐點須檢查符號或二階導數；閉區間全域極值亦須比較端點。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先對指定函數求導，再代入指定值。

提示 2

使用此中間關係式。

f\prime(x)=2(x-t)

完整解答

先對指定函數求導，再代入指定值。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$x<22:f'<0;\quad x>22:f'>0$
導數符號由負轉正。

所求關係或結論如下。

(-\infty,22):\searrow;\quad(22,\infty):\nearrow

檢查與易錯點：導數符號由負轉正。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

04 / 基礎#獨立練習

求 y=x² 在 x=t 的切線。

t=23

差商要求 h≠0；可微要求左右極限相同且有限。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先對指定函數求導，再代入指定值。

提示 2

使用此中間關係式。

m=f\prime(t),\quad P=(t,t^2)

完整解答

先對指定函數求導，再代入指定值。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$m=46$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$y-529=46(x-23)$
斜率本身不是直線方程；須包含切點。

所求關係或結論如下。

y-529=46(x-23)

檢查與易錯點：斜率本身不是直線方程；須包含切點。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

05 / 基礎#獨立練習

求 f′(1)。

f(x)=x^3+24x

商的分母須非零；實對數的真數須為正，三角函數求導使用弧度。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先對指定函數求導，再代入指定值。

提示 2

使用此中間關係式。

f\prime(x)=3x^2+t

完整解答

先對指定函數求導，再代入指定值。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$f'(1)=3+24=27$
逐項求導。

所求值為 27。

檢查與易錯點：逐項求導。

先思考，待同學準備好再展開提示。

06 / 基礎#獨立練習

求 f 在 [0,t] 的最大值。

f(x)=x^2,\quad t=25

駐點須檢查符號或二階導數；閉區間全域極值亦須比較端點。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先對指定函數求導，再代入指定值。

提示 2

使用此中間關係式。

f\prime(x)=2x\ge0

完整解答

先對指定函數求導，再代入指定值。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$f(0)=0,\quad f(25)=625$
比較閉區間兩個端點。

所求值為 625。

檢查與易錯點：比較閉區間兩個端點。

先思考，待同學準備好再展開提示。

07 / 鞏固#獨立練習

求 y=x² 在 x=t 的切線。

t=26

差商要求 h≠0；可微要求左右極限相同且有限。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先對指定函數求導，再代入指定值。

提示 2

使用此中間關係式。

m=f\prime(t),\quad P=(t,t^2)

完整解答

先對指定函數求導，再代入指定值。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$m=52$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$y-676=52(x-26)$
斜率本身不是直線方程；須包含切點。

所求關係或結論如下。

y-676=52(x-26)

檢查與易錯點：斜率本身不是直線方程；須包含切點。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

08 / 鞏固#獨立練習

求 f′(0)。

f(x)=e^{27x}

商的分母須非零；實對數的真數須為正，三角函數求導使用弧度。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先對指定函數求導，再代入指定值。

提示 2

使用此中間關係式。

f\prime(x)=te^{tx}

完整解答

先對指定函數求導，再代入指定值。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$f'(0)=27e^0=27$
自然指數函數求導後仍保留本身。

所求值為 27。

檢查與易錯點：自然指數函數求導後仍保留本身。

先思考，待同學準備好再展開提示。

09 / 鞏固#獨立練習

x>0 時，求 x+t²/x 的最小值。

t=28

駐點須檢查符號或二階導數；閉區間全域極值亦須比較端點。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先對指定函數求導，再代入指定值。

提示 2

使用此中間關係式。

f\prime(x)=1-t^2/x^2

完整解答

先對指定函數求導，再代入指定值。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$f'=0\Rightarrow x=28$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$f''=1568/x^3>0$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$f(28)=56$
負的駐點解不在正數定義域內。

所求值為 56。

檢查與易錯點：負的駐點解不在正數定義域內。

先思考，待同學準備好再展開提示。

10 / 鞏固#獨立練習

求 y=x² 在 x=t 的切線。

t=29

差商要求 h≠0；可微要求左右極限相同且有限。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先對指定函數求導，再代入指定值。

提示 2

使用此中間關係式。

m=f\prime(t),\quad P=(t,t^2)

完整解答

先對指定函數求導，再代入指定值。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$m=58$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$y-841=58(x-29)$
斜率本身不是直線方程；須包含切點。

所求關係或結論如下。

y-841=58(x-29)

檢查與易錯點：斜率本身不是直線方程；須包含切點。

推理清單・自評／教師評核

寫出有效的定義或模型及其假設。
展示中間數學關係，不只寫出結論。
檢查排除值、單位或結果的意義。

先思考，待同學準備好再展開提示。

11 / 鞏固#獨立練習

求 f′(0)。

f(x)=e^{30x}

商的分母須非零；實對數的真數須為正，三角函數求導使用弧度。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先對指定函數求導，再代入指定值。

提示 2

使用此中間關係式。

f\prime(x)=te^{tx}

完整解答

先對指定函數求導，再代入指定值。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$f'(0)=30e^0=30$
自然指數函數求導後仍保留本身。

所求值為 30。

檢查與易錯點：自然指數函數求導後仍保留本身。

先思考，待同學準備好再展開提示。

12 / 鞏固#獨立練習

x>0 時，求 x+t²/x 的最小值。

t=31

駐點須檢查符號或二階導數；閉區間全域極值亦須比較端點。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先對指定函數求導，再代入指定值。

提示 2

使用此中間關係式。

f\prime(x)=1-t^2/x^2

完整解答

先對指定函數求導，再代入指定值。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$f'=0\Rightarrow x=31$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$f''=1922/x^3>0$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$f(31)=62$
負的駐點解不在正數定義域內。

所求值為 62。

檢查與易錯點：負的駐點解不在正數定義域內。

先思考，待同學準備好再展開提示。

13 / 遷移#獨立練習

水箱體積 V(h)=3h²。求 h=t 時 dV/dh。

t=32

差商要求 h≠0；可微要求左右極限相同且有限。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先對指定函數求導，再代入指定值。

提示 2

使用此中間關係式。

dV/dh=6h

完整解答

先對指定函數求導，再代入指定值。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$V'(32)=192$
此導數是體積對高度的變化率，不一定是對時間的變化率。

所求值為 192。

檢查與易錯點：此導數是體積對高度的變化率，不一定是對時間的變化率。

先思考，待同學準備好再展開提示。

14 / 遷移#獨立練習

使用弧度，求 f′(0)。

f(x)=\sin(33x)+\cos x

商的分母須非零；實對數的真數須為正，三角函數求導使用弧度。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先對指定函數求導，再代入指定值。

提示 2

使用此中間關係式。

f\prime(x)=t\cos(tx)-\sin x

完整解答

先對指定函數求導，再代入指定值。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$f'(0)=33\cdot1-0=33$
常用正弦導數公式必須使用弧度。

所求值為 33。

檢查與易錯點：常用正弦導數公式必須使用弧度。

先思考，待同學準備好再展開提示。

15 / 遷移#獨立練習

x>0 時，求 x+t²/x 的最小值。

t=34

駐點須檢查符號或二階導數；閉區間全域極值亦須比較端點。

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

先對指定函數求導，再代入指定值。

提示 2

使用此中間關係式。

f\prime(x)=1-t^2/x^2

完整解答

先對指定函數求導，再代入指定值。
運用所列關係式，並保留適用條件。
$f'=0\Rightarrow x=34$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$f''=2312/x^3>0$
運用所列關係式，並保留適用條件。
$f(34)=68$
負的駐點解不在正數定義域內。

所求值為 68。

檢查與易錯點：負的駐點解不在正數定義域內。

先思考，待同學準備好再展開提示。

課末檢核與訂正

回看最近核對的答案及解釋；改動草稿後須重新核對。書面推理需要自評或教師評核。

啟用 JavaScript 後顯示本機作答摘要。

選擇需要重溫的補底知識 ↗

教師備課與評核

提問順序

計算前，先請學生指出適用條件。

板書重點

比較成立的方法，並標示各自條件。

預期想法

最終數值正確，仍可能遺漏假設。

評核清單

分別檢核方法、條件、推理與結果解釋。