概率：綜合評估

1. 先描述樣本空間及事件集合，再計數或使用概率公式。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$P=1/10$$

3. 等可能是題定條件，不能單憑標號推定。

所求值為 0.1。

檢查與易錯點：等可能是題定條件，不能單憑標號推定。

1. 只在有理據時使用獨立性，並與互斥區分。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$P=(k/(k+1))^2=49/64$$

3. 「至少一個」描述的是另一種系統。

所求值為 0.765625。

檢查與易錯點：「至少一個」描述的是另一種系統。

1. 區分觀察相對頻率及模型概率，並描述試驗。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$E(N)=np=140/4=35$$

3. 實際整數次數不必等於期望。

所求值為 35。

檢查與易錯點：實際整數次數不必等於期望。

1. 先描述樣本空間及事件集合，再計數或使用概率公式。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$P(A\cup B)=1/11+2/11=3/11$$

3. 互斥不等於獨立。

所求值為 0.27272727。

檢查與易錯點：互斥不等於獨立。

1. 只在有理據時使用獨立性，並與互斥區分。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$0=P(A\cap B)\ne P(A)P(B)=1/(k+2)^2$$

3. 正概率互斥事件並不獨立。

否，交集的概率為零，但兩事件的概率乘積為正。

檢查與易錯點：正概率互斥事件並不獨立。

1. 區分觀察相對頻率及模型概率，並描述試驗。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$\text{same seed}\Rightarrow\text{same deterministic sequence}$$

3. 可重現有價值，但不會增加獨立運行數。

否；相同數列重現只是重複同一批模擬觀察。

檢查與易錯點：可重現有價值，但不會增加獨立運行數。

1. 先描述樣本空間及事件集合，再計數或使用概率公式。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$1+1/k>1$$

3. 所有事件概率須在[0,1]內。

它大於一，超出概率範圍。

檢查與易錯點：所有事件概率須在[0,1]內。

1. 只在有理據時使用獨立性，並與互斥區分。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$P(A\cap B)=1/2\cdot1/11=1/22$$

3. 相乘由獨立假設支持。

所求值為 0.04545455。

檢查與易錯點：相乘由獨立假設支持。

1. 區分觀察相對頻率及模型概率，並描述試驗。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$f=(18+27)/(45+90)=1/3$$

3. 直接平均兩批百分率會忽略不同樣本量。

所求值為 0.33333333。

檢查與易錯點：直接平均兩批百分率會忽略不同樣本量。

1. 先描述樣本空間及事件集合，再計數或使用概率公式。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$P(A^c)=1-10/12=2/12$$

3. 補事件以題定樣本空間為準。

所求值為 0.16666667。

檢查與易錯點：補事件以題定樣本空間為準。

1. 只在有理據時使用獨立性，並與互斥區分。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$P(A|B)=P(A\cap B)/P(B)=P(A)$$

3. 此模型中，已知B不改變A的概率。

兩者相等。

檢查與易錯點：此模型中，已知B不改變A的概率。

1. 區分觀察相對頻率及模型概率，並描述試驗。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$p=1/10$$

3. 增加模擬改善經驗證據，不改變題定概率。

所求值為 0.1。

檢查與易錯點：增加模擬改善經驗證據，不改變題定概率。

1. 甲部推理

2. 先描述樣本空間及事件集合，再計數或使用概率公式。

3. 計算或化簡此關係式。

   $$A=\{HT,TH\}$$

4. 事件是集合，概率是數值。

5. 乙部推理

6. 區分觀察相對頻率及模型概率，並描述試驗。

7. 計算或化簡此關係式。

   $$E(N)=np=140/4=35$$

8. 實際整數次數不必等於期望。

甲：{正反、反正}。 乙：所求值為 35。

檢查與易錯點：事件是集合，概率是數值。 實際整數次數不必等於期望。

1. 只在有理據時使用獨立性，並與互斥區分。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$P(A\cap B)\ne P(A)P(B)\text{ in general}$$

3. 數值邊際比率不能證明獨立。

不能；共同原因可能造成相依。

檢查與易錯點：數值邊際比率不能證明獨立。

1. 區分觀察相對頻率及模型概率，並描述試驗。

2. 計算或化簡此關係式。

   $$f=33/110=0.3$$

3. 觀察頻率是數據，不是未來結果的精確保證。

所求值為 0.3。

檢查與易錯點：觀察頻率是數據，不是未來結果的精確保證。