局部很精準，為甚麼仍會找錯熱源？

想像在一條絕熱棒的正中央放置溫度計。棒內某處發生短暫熱脈衝，你記錄溫度如何隨熱量擴散而變化。曲線很平滑，模型擬合也很好；參數導數彼此獨立，局部不確定性計算看來相當理想。這是否代表已經找到熱源？

不一定。左邊一個位置的脈衝，與右邊的鏡像位置，可以在中央產生完全相同的溫度紀錄。問題不在小數位不足、抽到不幸的噪聲，或求解器少做了幾次迭代。在這個對稱實驗下，能夠區分左右的資訊根本沒有進入輸出。某個解釋的局部範圍很窄，仍可以與另一個遙遠、同樣合理的解釋並存。

以下是一個假想感測問題，不是真實火警實驗或工程部署。模型刻意保持簡單：一維區間、一次初始脈衝、反射邊界，以及可以獨立計算的熱核。簡單物理讓我們直接檢查一個較難的設計問題，而不是把它藏在大型模擬器裡。如果總共只能量八次，應該追求局部精度、平均分配測點與時間、打破某種對稱，還是防範相距很遠的競爭熱源？

這個有限研究的答案有條件。中心測點的反例是精確的，卻不代表普通設計方法一遇到非線性就會失敗。零延遲下，六種雙測點設計都沒有出現預先定義的大幅位置錯誤，等間距設計的中位誤差甚至低於 maximin。延遲量測才明顯增加困難，而較複雜的目標函數亦沒有消除困難。重點是按任務選擇實驗，而不是以一個新的通用分數，取代另一個通用分數。

溫度計究竟觀察了甚麼？

熱棒以無量綱區間 $0<x<1$ 表示，溫度遵從擴散係數為 $D>0$ 的熱方程。兩端不讓熱量流出；脈衝發生時間已知。正的熱源強度記作 $A$ ，位置記作 $a$ ，模型為

u_t=D u_{xx},\qquad u_x(0,t)=u_x(1,t)=0,\qquad u(x,0)=A\delta(x-a).

Delta 符號描述理想的局部初始輸入，不是說普通溫度計在零時刻量到無限溫度：本文每次量測的時間都嚴格大於零。它也不是持續開啟的加熱器。若熱源一直作用，便要把輸入寫進微分方程的 forcing 項，對應另一個前向映射。因此比較熱源重建文獻時，不能只看題目都有「熱方程」，就認為研究的是同一實驗 [6,8,9]。

絕熱區間的特徵函數是餘弦。把解展開成這些模態，得到

u(x,t;A,a,D)=A K_D(x,t;a),\qquad K_D(x,t;a)=1+2\sum_{n=1}^{\infty}\cos(n\pi x)\cos(n\pi a)e^{-Dn^2\pi^2t}.

每個模態都含三部分：測點在哪裡、脈衝在哪裡，以及觀察之前，擴散已把那個空間模式削弱多少。常數項保留總熱量。對整條棒積分，所有非常數餘弦模態都消失，所以 $u$ 的積分一直是 $A$ 。晚期溫度接近 $A$ ，與熱源位置資訊大量流失並不矛盾；保住總熱量，不等於保住每一項空間細節。

給定八個測點與時間組合，可以把預測讀數收成向量 $\mu_\xi(A,a,D)$ ，其中 $\xi$ 代表實驗配置。實際觀測寫成

y_i=A K_D(x_i,t_i;a)+\varepsilon_i,\qquad \varepsilon_i\ \mathop{\sim}^{\mathrm{iid}}\ N(0,\sigma^2).

固定的高斯標準差是本研究假設，不是經現場校準的感測器規格。測點位置已知，讀數保留通道標籤，脈衝起始時間也已知。這些選擇讓基準容易解讀，但同時限定了結論不能涵蓋的情況。

鏡像熱源在中心以外有不同分布，但中心時間序列重合；另格顯示浮點捨入殘差。 — 圖 1。這是兩個替代的初始脈衝假說，不是兩個同時存在的熱源。在反射邊界的單位區間，固定 A=1、D=0.05，t=0.24 的熱量分布不同，但 x=0.5 的時間序列解析上完全相同。最後一格只顯示有限精度計算殘差；中間兩條曲線有意重合。所有量皆為無量綱。

反射對稱移除了哪些資訊？

在中央，所有奇數 $n$ 都滿足 $\cos(n\pi/2)=0$ 。對偶數模態，把來源由 $a$ 反射到 $1-a$ ，來源的餘弦係數不變。因此

K_D(1/2,t;a)=K_D(1/2,t;1-a),\qquad t>0.

這個恆等式對每個正時間、每個正擴散率都成立。未知強度也不會打破它，因為兩個鏡像解釋可以使用相同 $A$ 。即使中央時間序列無限長、完全無噪聲，仍不能選出左右哪個位置。把同一種盲目量測做得更準，可能減少數值波動，卻不能移除觀測映射本身的結構對稱。

離開中央後，兩個鏡像來源的差值只含奇數模態：

K_D(x,t;a)-K_D(x,t;1-a) =4\sum_{\substack{n\ge1\\n\ \mathrm{odd}}}\cos(n\pi x)\cos(n\pi a)e^{-Dn^2\pi^2t}.

這條公式清楚指出，移動感測器可能取回甚麼線索。但它沒有說，每個偏心測點都能在噪聲下穩定識別所有連續位置。留下來的差值仍可很小，而另一個強度或擴散率組合，也可能模仿其中一部分。打破一個精確對稱，只是設計分析的開始，不是整個問題的終點。

還有第二個容易忽略的區別：兩個位於對稱位置、但保留標籤的感測器，不必然對鏡像來源失明。來源反射時，兩組輸出互換，而不是通常意義下的有序讀數向量不變。在數值控制裡，帶標籤響應距離約為4.50148；把對稱通道相加後，差異才縮到捨入精度。物理配置對稱，仍可以有資訊，因為儀器告訴我們每個讀數來自哪一邊。丟掉標籤，就改變了實驗。

餘弦權重顯示奇數模態被消去；對稱位置的有標籤通道可分辨鏡像，相加後則不能。 — 圖 2。奇數餘弦模態在中點的權重恰為零；移到 x=0.49 會保留部分線索。固定 A=1、D=0.05，比較 0.23 與 0.77 兩個替代熱源時，1/3、2/3 的有標籤讀數不同，反射會交換兩個通道；相加卻會消去這個差異。因此對稱排列的兩個有標籤測點並非必然混淆，聚合讀數是另一個觀測算子。

為甚麼滿秩Jacobian仍未解答全局問題？

局部資訊問的是：圍繞一個指定解釋，把參數稍為改動，輸出會如何變化？先假設 $D$ 已知，參數只有 $(A,a)$ 。Jacobian的兩欄是 $K_D$ 與 $A\partial_aK_D$ ；在獨立高斯量測誤差下，Fisher資訊矩陣為

J_i=\left[K_D(x_i,t_i;a),\ A\partial_a K_D(x_i,t_i;a)\right],\qquad F=\frac{J^{\mathsf T}J}{\sigma^2}.

固定的中央例子中，最小特徵值約為498.237，並不是零。改變脈衝強度與稍微移動來源，對所選時間讀數產生的局部影響可以獨立。但位置0.77，仍是位置0.23的精確替代解釋。兩件事可以同時成立，因為移動0.54並不是原解釋附近的無限小擾動。

可以把所有可能的觀測向量，想像成量測空間內的一個曲面。導數滿秩，表示曲面在某點有預期數目的局部切向方向，卻不阻止參數域中另一個遙遠部分，走到相同觀測。Pázman與Pronzato正是研究這類更廣的設計問題：非線性模型局部很有資訊，響應面仍可能折回、靠近遙遠解釋，因此需要不只看切線，也看跨越較大參數距離的割線 [1]。

把 $D$ 也列為未知，並不修復中央對稱。擴展Jacobian增加第三欄 $A\partial_DK_D$ 。同一固定例子的資訊特徵值約為119.854、3,874.053及235,504.067，仍全部為正，但鏡像恆等式保持成立。這些是該座標慣例下的局部量，不能直接與前面兩參數問題的最小特徵值比較大小，當成方法優劣分數。

這裡沒有推翻Fisher資訊。它很好地回答局部問題。真正的錯誤，是未檢查其他分支，就把曲率橢圓讀成完整而全局校準的信賴範圍。一個橢圓，不能展示局部近似從未考慮的、不連通的另一個解釋。

兩個窄小的局部資訊形狀與遠距剖面極小值並存；它們不是全局信賴集合。 — 圖 3。中點測量在兩個分離位置對未知 (A,a) 都有非奇異的局部 Fisher 資訊；這裏 D=0.05，使用八個固定時刻。上格是單位局部資訊形狀，不是經校準的全局信賴區域。下格將 A 在 [0.7,1.3] 內剖面最小化，資料來自 a=0.23 的無噪聲響應。中點保留兩個極小值，偏移至 0.49 則排除此特定鏡像擬合。Symlog 直接顯示零，不加入人為正殘差。

一個只知道兩個完整解釋的oracle

加入 nuisance parameters之前，有一個很有用的統計控制。假設只有兩個固定、完整指定的均值向量 $\mu_0$ 與 $\mu_1$ ，共同協方差為 $\sigma^2 I$ ，兩個先驗機率相同。最佳分類器比較兩個高斯概似，精確錯誤機率為

P_{\mathrm{err}}^*=\Phi\!\left(-\frac{\|\mu_1-\mu_0\|_2}{2\sigma}\right).

其中 $\Phi$ 是標準常態累積分布。兩個均值重合，錯誤率便是一半；均值相對噪聲相距很遠，錯誤率便小。這個距離使用整個觀測向量，不是只抽出某個時間最大的一次差異。

固定 $A=1$ 、 $D=0.05$ 、 $\sigma=0.05$ 及原來八個時間，把測點由0.5移至0.495，兩個指定鏡像假說的理論錯誤率由0.5變成約0.096995；移至0.49則約為0.004677。使用固定亂數的模擬，對應每10,000次分別錯4,979、956及47次。這是用一個獨立已知的機率公式核對程式，而不是證明高斯分類或熱源反演是新發現。

測點0.48與0.46的10,000次試驗都沒有誤判，但理論機率仍然大於零。零次錯誤不等於零風險。兩個零計數例子的雙側95% Clopper–Pearson區間，上端都是約0.00036882，而不是縮成零。這是固定測點、假說對及噪聲模型下，反覆分類試驗的普通有限樣本區間，類別標籤依相等先驗抽取。

Oracle獲得了真實反演未必擁有的資料：兩個來源強度、兩個擴散率，以及只有兩個可能位置。一旦這些量變成未知，上面公式就不再是新分類器的錯誤率。它是刻意簡化的參照，不是後續所有統計問題的答案。

已知兩假說的理論錯誤率與模擬一致；零誤判試驗仍保留正的區間上端。 — 圖 4。高斯精確公式只適用於兩個均值完全指定、等先驗的假說：A=1、D=0.05、a=0.23 或 0.77、八次讀數、sigma=0.05。各測點有 10,000 次固定 seed 試驗，誤差棒為逐點雙側 Clopper–Pearson 區間。零次誤判時，向下三角形只標示正的區間上端，不是該高度的機率估計；箭頭只表示區間向零延伸，箭頭端點不是正的區間下限。這不是未知強度／擴散率反演的錯誤保證。

未知強度，不只是把誤差棒畫闊一點

另一個位置，未必需要使用與真值相同的強度，才能模仿觀測。給定候選位置和擴散率，把單位強度響應記作向量 $k$ ，宣告範圍內的最佳強度可以直接寫成

\widehat A(a,D)=\operatorname{clip}_{[0.7,1.3]} \left(\frac{k(a,D)^{\mathsf T}y}{k(a,D)^{\mathsf T}k(a,D)}\right).

把它代回殘差，就得到 $(a,D)$ 上的剖面曲面。這一步精確消去一個線性 nuisance變數，卻沒有令其餘問題變成凸問題。多個盆地仍可存在；無噪聲中央量測即使已最佳化強度，也保留兩個相等的鏡像極小值。偏心資料可以改變地形，但某一候選的殘差很小，並沒有告訴我們其餘地形發生甚麼事。

擴散率提供另一種補償。 $e^{-Dn^2\pi^2t}$ 決定空間細節消失多快。相距很遠的候選，可以同時改變熱量及平滑速度。真正審核歧義時，替代解釋必須可以使用自己的 $A'$ 與 $D'$ ；若要求它沿用真實 nuisance值，便是在不聲不響之間，把題目變簡單了。

因此本研究限制 $A\in[0.7,1.3]$ 、 $a\in[0.15,0.85]$ 、 $D\in[0.04,0.06]$ 。這些是明確的先驗範圍，不是從現場資料學到的數值。正的強度下限很重要：若容許任意微弱的來源，所有設計都可能遇到近乎零的訊號。同樣，連續位置域一定包含任意接近的兩點；若不先說明要區分的來源相距多少，就不能要求最小響應距離嚴格為正。

數值反演先在81乘41的位置／擴散率網格剖面化強度，保留多個盆地及鏡像候選，再作有界連續refinement。最終每個殘差都直接重新計算。這比只報告一次optimizer執行更有說服力，但仍不等於已證明全局最小。成功停止訊息、很小的殘差，以及全局完備的搜尋，始終是三項不同成果。

未知強度點源重建本來已有大量研究。例如Huynh等人，在明確的噪聲及非退化假設下，以測度表示來源，分析與感測配置相關的重建誤差 [7]。這個三參數模型不取代該套理論；它的用途，是把少數物理參數如何補償的機制畫清楚，同時用獨立控制區分資料不足與數值失誤。

未知強度／擴散率剖面與16個位置外包絡；本次16個連通，16個保留生成位置。 — 圖 5。上格使用預先指定的首個未見真值、零號噪聲、Local-D 設計及零延遲；A 在 [0.7,1.3] 內剖面最小化。虛線是八維噪聲球門檻，不是一自由度的似然比等高線；超過 30 使用溢出色。D／M 指 Local-D／Maximin，標籤列出延遲與真值編號；實線是保留區間，黑圓點／菱形分別標示延遲 0／4 的生成位置。本次 16/16 個外包絡投影均連通，16/16 保留生成位置，0 個觸及資源上限；達到寬度停點的未決區間照實保留。模型條件下的 95% 覆蓋是逐例而非同時保證。

同樣八次讀數，可以怎樣花？

主比較固定硬件及量測預算：兩個不同而有標籤的感測器，各在四個共同時刻讀數。十一個候選位置為 $j/12$ ，其中 $j=1,\ldots,11$ ；七個候選時刻為 $\tau+0.08+0.92j/6$ ，其中 $j=0,\ldots,6$ 。選兩個位置及四個時間，每個dead time剛好有1,925種可行配置，可以完整枚舉，不必依賴某次佈局最佳化剛好運氣好。

Dead time $\tau$ 指最初不能量測的期間，不是兩次讀數之間的儀器恢復時間。主設定使用 $\tau=0,1,4$ ，啟動之後可觀察的窗口長度相同。原來單一中央測點的八次讀數，仍作為結構控制，但不會假裝使用相同雙感測器硬件，把它混進成本排名。

Local D-opt在固定名義參數 $(1,0.23,0.05)$ 最大化三參數資訊矩陣的log determinant；local E-opt最大化最小特徵值。兩者都不能看見預留真值後再重新定中心。參數尺度固定為0.3、0.35及0.01，令座標慣例明確；尤其E-opt若隨意改單位，哪個方向看來最弱、最佳設計選在哪裡，也可能跟著改變。

等間距基線把測點放在 $1/3$ 與 $2/3$ ，配四個等距時刻。另一個預先固定的中心＋偏心控制，使用 $1/4$ 與 $1/2$ ，時間相同。它測試一個直接的工程想法：保留中央共同參照，同時加入非對稱觀測，但不宣稱這是所有symmetry-aware設計之中最好的方法。

第五種是依據既有全局化設計理論的離散extended-E準則 [1]。它比較候選與名義錨點的響應，並除以縮放參數距離的平方。錨點及分母都有意義：不帶分母的兩兩響應距離，不能換個名稱就說成同一準則。有限參數網格亦是已披露的近似，不是完整重實作原論文的連續設計最佳化。

第六種maximin，在設計網格上最大化相距足夠遠的來源之間、已剖面化強度後的最小響應分離。穩健模型判別早已處理未知競爭參數 [2,3]，嚴格預算下的穩健PDE設計也已有成熟理論 [5]。這裡借用相關思想，回答模型特定的比較問題，不包裝成新的最佳設計原理。

「Global」本身也要讀清楚。Qi與Baker在帶噪時間設計中，比較Fisher資訊與Sobol全局敏感度 [4]；跨參數分布整合的敏感度，不等於已排除所有遠距參數重合。同樣，多類型PDE感測設計可在不同成本下最佳化資訊增益 [10]；本文刻意使用相同讀數成本，沒有借用那些框架的近似保證。名詞相近，不代表目標可以互換。

六種測點配對及四個共同採樣時刻，都恰好使用八次讀數。 — 圖 6。六種零延遲配置均使用兩個固定、有標籤測點與四個共同時刻，共八次讀數。Local-D、Local-E、離散 Extended-E 及 Maximin 只按凍結設計資訊，從相同 1,925 個候選中選取；等間距及中心加偏心則為預先固定的工程控制。重複配置照實保留，不當作獨立證據。上格每個測點都會使用下格該方法的全部時刻。

這裡的「全局分離」究竟指甚麼？

把關心的位置錯誤尺度固定為 $\Delta=0.2$ 。一個配置針對這項任務的分離量，定義為

\beta_\Delta(\xi)= \inf_{\substack{a,a'\in[0.15,0.85]\\|a-a'|\ge\Delta\\A,A'\in[0.7,1.3]\\D,D'\in[0.04,0.06]}} \frac{\|\mu_\xi(A,a,D)-\mu_\xi(A',a',D')\|_2}{\sigma}.

兩個擴散率代表同一未知實驗的競爭解釋，不是熱棒同時變成兩種材料。同一解釋的整個讀數向量，必須共用同一強度與擴散率；不能對每個觀測另選一組參數，否則便換成更靈活的模型。正的強度下限與非零位置分離，排除了令目標平凡地變成零的兩條路。若這個量為正，它能在宣告範圍內排除足夠遙遠、均值卻近重合的來源，卻不等於證明所有任意小位置尺度上的單射性。

給定核向量 $v,w$ ，兩個 nuisance強度可以用有界二次計算消去。至少有一個最佳強度可以取在下界：否則同時把兩個強度向下縮，便可減少非零響應差。檢查兩條下界邊即可得到最小值，不必把強度粗略網格化。但餘下的來源位置與擴散率，仍需要全局搜尋或包絡。

選擇設計時，位置網格由0.15到0.85、間距0.1的八點構成，另加0.23與0.77；擴散率是0.04、0.05及0.06。Maximin只是在宣告的有限配置族與這套參數網格準則內最佳，不是在任意測點軌跡、任意連續採樣時刻或所有參數不確定性下全局最優。

有一個不等式方向尤其重要。在有限子集取最小值，只要沒有數值錯誤，就不會比真正連續最小值更小。因此網格結果是連續最壞分離的上界，而不是下界。很大的網格分離可以支持下一步研究，但本身不能認證：那些尚未抽到的參數對，不會比網格上最難的一對更難。

零延遲下，未除以噪聲的網格距離約為：local D-opt 0.257568、local E-opt及extended-E 0.385917、等間距0.898403、中心＋偏心0.795387、maximin 1.735078。這些不是錯誤機率。Maximin在自己最大化的分數上勝出並不意外；科學問題是，換到未見參數及另一個推論任務，這個優勢是否仍存在。

最難的一對，也未必就是開首用來說明問題的鏡像來源。零延遲local D-opt把測點放在 $1/12$ 及 $1/3$ ；它的網格見證比較 $(A,a,D)=(0.7,0.65,0.04)$ 與 $(1.3,0.85,0.06)$ 。兩個位置相差0.2，第二個來源使用較強脈衝及不同擴散率補償，不是把0.23直接反射到0.77。Maximin則選擇 $1/3$ 與 $7/12$ ，最難來源對也隨配置改變。

這個例子讓抽象的「最壞情境」變得具體。Local D-opt的名義來源在0.23附近，兩個左側測點有理由對那個局部問題敏感；但設計允許的來源域一直伸到0.85，不能因為名義位置附近的導數很好，就假設遠端也有相同保護。反過來，也不能只憑測點分布不平均，就斷言它必然在測試中失敗。配置本身、熱核、強度範圍、時間及噪聲必須一起評估，幾何直覺只是幫助理解，不代替運算證據。

這也解釋為甚麼本文沒有只最佳化一組吸引眼球的左右鏡像。若只對那一對挑選測點，很容易得到漂亮分離曲線，但可能忽略來源域的其他角落。設計網格納入整個宣告範圍，預留測試再離開該網格，就是為了令「成功」不只代表成功排除了我們一開始已知道的那個反例。問題不是能不能畫出一個好例子，而是同一配置如何面對尚未用來挑選它的解釋。

離開設計網格後，實際發生了甚麼？

64個預先凍結的Sobol參數組合提供範圍內的預留真值，每組有32個獨立高斯噪聲向量，各方法配對使用相同噪聲。它們是固定基準案例，不是從真實熱棒母體獨立抽出的64個樣本。零延遲比較噪聲0.025、0.05及0.1；有延遲時使用0.05。六方法合共30個條件，產生61,440次連續反演。

主要的大幅錯誤指標為 $|\widehat a-a|\ge0.2$ 。這是預先宣告的研究尺度，不是普遍工程容許值。中位誤差呈現典型數值位置準確度，大幅錯誤計數則問程序有沒有選到相當遙遠的答案。兩者都值得看，因為目標一變，方法排名也可能改變。

在 $\tau=0$ 、 $\sigma=0.05$ 下，各方法都有2,048次反演，且大幅位置錯誤全部為零，但中位數不同。等間距約0.00246372，中心＋偏心0.00289780，maximin 0.00311622，local E-opt與extended-E均為0.00347328，local D-opt為0.00608662。按這個摘要，最簡單的配置最好，儘管它在最佳化網格上的分離分數較小。

對一個很容易被預先寫成「新準則較好」的故事，這是重要負面結果。中央反例說明局部秩不推出唯一性，但沒有預言：所有局部最佳化的帶標籤雙測點配置，都必定在這些預留案例失敗。最壞參數對設計，也未必最小化平均或中位反演誤差；它防範的是特定任務下、特定不確定性中的情況，是另一種目標。

當 $\tau=1$ ，六種配置仍全部沒有大幅位置錯誤，但中位誤差上升。當 $\tau=4$ ，每2,048次的錯誤計數變成：local D-opt、local E-opt及extended-E各31，等間距72，固定中心＋偏心124，maximin 29。不會把29與31這兩次之差，包裝成普遍或已建立統計顯著性的優勢。資料是配對的，部分方法的實際配置亦完全相同。

保留所有擬合後，未見參數的位置誤差第95百分位與遠距錯誤比例，隨延遲及噪聲而變。 — 圖 7。每個條件保留 64 個固定未見參數點，每點有 32 個配對獨立噪聲向量，共 2,048 次擬合。上格是有限基準的第 95 百分位，不是信賴上限；下格比例計算位置誤差達 0.2 的遠距錯誤。不把 Sobol 點推論成母體信賴區間；未收斂的數值擬合仍在分母內。部分局部／Extended-E 曲線有意重合，因為選中了相同實體配置，並非獨立重複證據。

另一個複合分類器知道只有兩個可能位置，但不知道強度及擴散率；它在每個假說下剖面化兩個 nuisance。三組鏡像位置、兩個標籤、兩個強度、兩個擴散率及128次噪聲，令每條件有3,072次決策，總數92,160。延遲四時，等間距誤判11次，中心＋偏心62次，另外四種準則均為零；更早的複合分類條件也全部為零。

這不與連續反演錯誤矛盾。只在兩個相距很遠、指定好的位置中選一個，可能遠比在 nuisance補償下估計任意連續位置容易。分類器與反演器擁有不同候選集，產生不同輸出。若不講任務，把兩者都叫作「識別準確率」，反而會藏起本研究要揭示的分別。

零也必須連同分母來讀。對一個固定真值，做 $n$ 次獨立噪聲試驗而沒有錯誤，雙側95%精確區間的上端是

p_{\mathrm{upper}}=1-0.025^{1/n}.

只有32次噪聲重複時，上端約為0.108881。這不是說真實錯誤率便有一成，而是說如此少的零計數，尚不足以把固定真值的錯誤機率壓到很小的上界。把同一配置的2,048個結果全部加起來，又混合了64個可能具有不同難度、不同錯誤機率的參數情境。總數比較大，不能自動轉成每一個來源都得到相同程度的保護。

逐真值區間與有限案例計數，回答的正是研究實際重複的問題。一次獨立重複是加入完整八維噪聲向量，然後重新反演或分類；八個時間讀數不是八次獨立的演算法成功試驗，64個Sobol位置也不是從真實熱源母體隨機抽出的64個新實驗。尤其在某些配置完全相同時，把各方法紀錄再合併，並不會憑空增加物理資訊。

因此圖上的零與非零都會保留，而結論的語氣取決於問題尺度。零延遲下各方法沒有大幅錯誤，是一個清楚的有限負面比較：沒有證據支持這次研究必須用更複雜方法，才能避免宣告的大幅誤判。但它既不是每個連續真值都不會出錯的定理，也不能掩蓋中位誤差、參數邊界與求解狀態之間仍有差別。

認證必須覆蓋網格點之間的空間

連續下界需要的不只是畫更密的圖。對選定配置，計算以向外捨入的實數球運算包絡熱核及導數，納入明確的無窮級數尾項，再細分四個非線性的來源／擴散率座標；強度仍維持有界剖面。每個保留區間單元提供下界，可行參數見證提供上界。

程序有固定50,000個區間單元的工作上限，原始距離包絡寬度目標為 $10^{-6}$ 。尚未處理的可行區域不會消失。如果下端為零而上端為正，結果在這個預算下就是unresolved，而不是已證明有精確別名。反過來，正下界也只認證宣告的分離問題，不會證明模型本身正確。

如果模擬已經很好，為甚麼還要付這筆成本？因為模擬檢查有限真值，而下界必須面對每一個容許的遠距競爭者。兩個程序用不同資訊，付出不同成本。數學上完全有效的下界，仍可能保守到統計上沒有幫助。交代這種限制是結果的一部分，不是應該刪走的尷尬。

假設獨立核對的原始距離下界是 $b$ 。對理想而精確的全局nearest-model estimator，三角不等式給出簡單而保守的推論：噪聲向量足夠小，就不會出現尺度 $\Delta$ 的位置錯誤。在凍結的高斯模型下，

\Pr\!\left(|\widehat a-a|\ge\Delta\right) \le \Pr\!\left(\chi^2_8\ge\frac{b^2}{4\sigma^2}\right).

它不是固定兩均值的高斯oracle，也不會自動成為實驗中數值剖面求解器的錯誤界，因為未證明後者對每個帶噪向量都找到精確全局最小。分開這兩件事，才能避免把有用的數學推論，接到尚未滿足其前提的算法上。

八項包絡計算全部先達工作量上限，尚未收窄至目標寬度；五項保留正分離下界，三項仍是零下界未決。零延遲時，局部D-opt的原始距離包絡為[0.178777,0.257569]，maximin則為[0.036311,1.134591]，顯示端點向外取整。兩個區間重疊，鬆緊亦不同，不能按下端大小排列設計優劣。Maximin在延遲一時反而有很窄的[0.388936,0.389382]包絡，但理想估計器的充分錯誤上界約為0.056719，仍高於5%目標；到延遲四，上界幾乎是一。八項均未證立5%目標。較緊的證書可以描述較差的實驗，而充分界限沒有判別力，也不代表分類本身不可能。

另一種不確定性展示直接使用觀測噪聲。以 $\Theta$ 表示宣告的緊緻參數範圍，定義

C(y)=\left\{(A,a,D)\in\Theta:\|y-\mu_\xi(A,a,D)\|_2^2 \le\sigma^2\chi^2_{8,0.95}\right\}.

這是噪聲球相容集合。八個自由度來自觀測向量，不是八減三個擬合參數。在精確模型下，真參數逐例以95%機率落在其中。向外包絡保留所有尚未證明在球外的區域，包括未決單元，所以位置投影可能包含幾個分離部分。它不是Bayesian credible set，也不是局部概似比區間；同時展示十六個例子，亦不會自動得到全體同時成立的95%保證。

這十六個固定例子的外包絡位置投影全部連通，亦全部包含生成來源；沒有出現不連通的位置集合。每項計算仍保留未決單元。零延遲時，maximin在這四個真值下的顯示投影均比局部D-opt窄；到延遲四，兩者保留寬度均約0.29至0.32。這些外集合揭示單一估計隱藏的不確定性，但不表示每個保留位置都已證明相容，更不把十六次保留真值當成同時95%保證的驗證。

理解這個門檻，可以暫時不要想「已擬合了幾個參數」。先固定真正生成資料的那組參數，在它的預測位置計算殘差，剩下的正好是八個量測噪聲。把每個噪聲除以已知標準差，再平方相加，才得到八自由度的卡方分布。這裡沒有先用同一批資料估計真值再扣掉參數數目，因此不能機械地套用線性回歸殘差自由度的口訣。非線性、邊界解與多個盆地，也令其他區間近似需要額外條件。

位置投影問的則是另一個存在性問題：對某個位置，是否仍有至少一組範圍內的強度與擴散率，令預測與觀測相容？某位置下部分參數已被排除，不代表整個位置都應刪去。只有當所有容許 nuisance組合都能被證明不相容，才可把那段位置剔除。如果計算尚未完成，寧願保留未決位置，也不能把求解器沒有找到候選，寫成那裡不存在候選。

這種做法可能產生較闊、甚至分成幾段的圖形，視覺上沒有單一橢圓那麼俐落。但那正是資訊結構的一部分。把所有區間連成一個大範圍雖可更保守，卻會遮掉兩個不同解釋之間其實已被資料排除的空隙；只挑最窄的一段則相反，可能丟失真正仍然合理的分支。本文保留不連通部分，目的不是令不確定性看來更大，而是讓讀者看見資料究竟排除了甚麼、仍容許甚麼。

有限網格估計與連續Arb包絡對照，並呈現有條件、可能無用的理想估計器錯誤界。 — 圖 8。八項預先指定認證工作容許連續且獨立的 A、A′、D、D′，位置分離至少 0.2。實心／空心方形為 Arb 向外包絡的下／上界；叉號是普通有限網格估計，不是連續下界。方法名稱後為延遲；較小的延遲四包絡另以向外取四位小數的端點列出。不同寬度反映有限認證工作，不能只以較高下端點判斷設計較好。下格把已驗證下界轉成理想、精確全局 nearest-model estimator 的保守八自由度錯誤界；本次沒有任何工作達到 0.05 目標。斜紋零下界仍屬未決，不是精確別名；數值 optimizer 的錯誤另列。

等待，可能移除線索，而不只是增加噪聲

擴散削弱高空間頻率的速度比低頻更快。鏡像來源的差值依賴奇數模態，而這些模態隨時間指數衰減。對固定偏心測點，把第一個奇數項抽出，再用幾何級數控制其餘尾項，可得一條基本界限；只要全部觀測都在 $\tau>0$ 之後，

|K_D(x,t;a)-K_D(x,t;1-a)| \le4|\cos(\pi x)\cos(\pi a)|e^{-D\pi^2\tau} +\frac{4e^{-9D\pi^2\tau}}{1-e^{-16D\pi^2\tau}}.

界限解釋機制，但品質取決於區域。在 $x=0.49$ 、 $a=0.23$ 、 $D=0.05$ ，界限除以真實單時刻差異，在時間0.08約為189.82，在0.1約84.50；到時間二約1.015，時間八則幾乎是一。有效的早期上界，可以鬆到完全無法協助判斷。

正中央的真實差異為零，但這條特定尾項界仍為正，因為推導時捨去了部分空間因子。在這裡除以真實差異沒有意義，因此比例記作不適用。這個具體例子說明，解析不等式、準確估計及可用的決策餘裕，必須分開。

原來測點0.49、八時刻的已知兩假說實驗，把整個窗口延遲四單位，理論錯誤率升至約0.378635；延遲八單位，則約0.482878。感測器的假定噪聲沒有改變，分類卻已接近擲硬幣。資訊是讀數到達之前，被物理擴散抹去的。這不是聲稱所有感測響應或每一個隨機噪聲實現，都必定隨延遲單調變差。

延遲削弱已知兩假說的判別；解析訊號界限早期可很鬆，晚期才變緊。 — 圖 9。上格保留原本已知兩假說實驗：a=0.23 或 0.77、A=1、D=0.05、sigma=0.05，八個時刻一起平移。曲線只描述所列延遲，不宣稱任意採樣安排都普遍單調。下格在 x=0.49 比較初等奇數模態訊號上界與實際對比；遠大於一的比例揭示界限鬆弛。中點訊號恰為零，因此不列其比例。有效不等式不會自動成為有用的統計或連續參數保證。

不成功的擬合告訴我們甚麼？

61,440次反演中，391個最終選出的有限估計，求解器狀態為不成功；所有盆地合共另有902次不成功refinement嘗試。這是不同計數：一個觀測可啟動多次refinement，一次不成功也可以與另一個有用候選並存。反過來，返回有限點並不代表已滿足停止準則。準確度摘要保留這些有限估計，不會為了改善數字而刪去不方便的狀態。

邊界解也是提示。延遲四、噪聲0.05時，local D-opt的2,048次反演中有1,715次碰到邊界，maximin則有1,753次。這個計數包括強度、來源位置或擴散率任何一項宣告邊界。它們不自動是錯的，因為約束本來就是估計問題的一部分。但如果估計經常貼著範圍邊界，就更不能把無約束的局部橢圓當成完整不確定性故事。

額外控制只在零延遲、sigma=0.05下，使用範圍外的擴散率0.03與0.07，每方法256次反演，不會看完結果再擴闊擬合範圍。六種配置在這些特定失配案例，都沒有超過0.2的位置錯誤，但大量估計碰到參數邊界。這不證明模型假設不重要：位置摘要可以看來尚可，物理解釋卻靠不正確的補償維持擬合。任何範圍內認證，都不會套到這些範圍外真值。

數值控制針對的是另一類潛在失敗。位置與擴散率導數有獨立核對，餘弦級數與images表示互相一致，總熱量守恆；60、120及240模態在7,623個宣告控制點一致。最高截斷的普通浮點尾項數值可以下溢，不能把它當作尾項精確為零，或升格成區間認證。兩種計算一致是有用證據，但意義取決於它們是否共享同一近似。

兩次完整執行所保存的科學結果一致，計時紀錄另存。

最後一幅圖的工作量，是refinement目標函數評估次數的平均，不包含粗參數網格、配置枚舉或區間驗證，因此不是端到端速度，也不是隔離硬件後的計時結果。某種設計可以較容易擬合，卻較難認證。這些成本應該分開保留，而不是縮成一句「某個準則比較快」。

比較未知nuisance分類、refinement運算量與未收斂擬合比例，保留所有失敗。 — 圖 10。複合分類剖面處理兩個未知 nuisance 參數，而非假設高斯均值已知：三組未見鏡像位置、兩個強度、兩個擴散率、兩個來源標籤及 128 組配對噪聲，每條件共 3,072 次分類。運算格列出 2,048 次反演的平均 L-BFGS-B refinement 目標呼叫數，不含粗網格預處理，亦不是全程加速宣稱。最後一格保留選中的網格回退或未收斂擬合；失敗的內層 refinement 照實計數，不被丟棄。相同實體配置重用相同評估，重合方法曲線並非獨立重複。

更好的實驗，應該嘗試排除甚麼？

核心不是determinant抽象地好不好，或maximin是否在所有情況比較先進，而是哪一類替代解釋對任務真正重要。若運作範圍本來已知道得很窄，局部設計可以很合適；若誤選遠距分支會造成嚴重後果，全局分離目標便可能更貼近需求；若廣泛覆蓋比名義局部方向更重要，等間距仍可以很有競爭力。

Nuisance假設值得與測點位置同等重視。若強度可趨近零，在本研究意義下，任何有限噪聲實驗都不能均勻分開所有容許訊號；若起始時間未知，擴散率與經過時間便可能以本文排除的方式互相補償；若感測器在空間取平均、反應有滯後、校準不確定，或噪聲彼此相關，前向映射與不確定性計算都會改變。這些是獨立擴展，不是曲線漂亮就自動獲得的額外可信度。

近期熱反問題理論也提醒我們必須具體。稀疏邊界熱通量，在與中央內部溫度截然不同的條件下，可以建立來源唯一性 [8]；持續空間熱源配終端觀測，會得到另一種感測配置問題 [6]；現代延遲觀測穩定性結果，也帶有自己的幾何、正則性及觀測假設 [9]。它們既沒有被簡單反射例子推翻，也不能直接貼到八次帶噪脈衝讀數上。

因此下一個有價值的實驗，應一次改一項宣告假設，例如有限感測寬度、不確定起始時間，或更廣的擴散率範圍。在加入複雜度之前，這個小研究先問：推論目標、資料標籤、nuisance處理與設計成本，是否已經比較得誠實？如果輸出已丟掉讀者需要的區分，再大型的模型也不能把它救回來。

結論

局部精度與全局唯一，是不同成果。中央熱量測令這個分別成為精確恆等式；同預算比較則說明，不能因此自動宣布較複雜設計準則勝出。早期有限基準中，幾種普通配置已有好表現；延遲與nuisance補償，才令後期反演更困難。合理做法是保留競爭解釋，在設計網格以外測試，並如實交代哪個保證仍保守到沒有實際幫助。

閱讀專案概覽，一併了解研究問題、方法及限制。

參考文獻

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