兩個網絡，同一組特徵值，不同警報

想像把少量染料注入一組互相連接的水槽。出口附近裝有感測器：如果未來幾小時內有太多物質積聚，就發出警報。現在有兩個管道設計，注入的總量相同、各處移除物質的速率相同，連模型的整組特徵值也完全相同。長期穩定性檢查給出同一個答案。感測器是否也應該給出同一個答案？

未必。物質走哪一條路，決定它何時到達感測器；而移除過程一直沒有停止。短路徑可能讓很多物質及早到達，足以跨過門檻。較長路徑可能把到達時間攤開，讓更多物質在途中被移除。兩個網絡最後都會清空，但「最後都會清空」並沒有回答「接下來幾小時會否超標」。

這是一個假想的運輸實驗，不是經過校準的污染風險評估。狀態變數表示理想化區室中的非負物質量；警報門檻是預先指定的模型設定，不是法規標準。數學反例可以有啟發性，卻不需要假裝已經知道真實環境監測應採取甚麼行動。

背後的數學也不是新發現。Phase-type 分布研究物質通過 Markov 階段的時間；正值系統分析保留非負性與物質收支；nonnormal dynamics 說明特徵值為何不能概括所有暫態。Bao 等人的近期工作更直接把局部輸入、網絡暫態與有向遊走連起來 [1–4]。這裡的問題較窄：當路由改變，但物理帳目保持一致，哪些計算真正足以回答一個指定的有限時間警報？

Nazerian 等人在 2026 年把網絡作為開放系統研究，同樣明確處理輸入與輸出節點，使用頻率響應及 $H_2$ 範數 [5]。本文不是再問網絡結構會否影響轉移，而是問：指定物質量峰值，會否在期限前超過預設門檻，以及界限能否在公平路由改變下認證這個答案。不同績效量不能互相冒充。

預留比較的 6,912 筆配對門檻查詢中，有 172 筆警報改變，6,740 筆保持不變。路徑特定包絡認證了 6,473 筆不變決策，基本範數上界則認證 3,147 筆。這是受控的合成研究結果，不是新的暫態理論，也不是現實警報普遍性的估計。

感測器問的問題，不是穩定性問的問題

特徵值描述線性系統的一組指數速率。對所有特徵值實部均為負的自治模型，擾動最終會衰減。這是重要結論：模型不會持續指數增長。但它沒有交代一次局部釋放，會有多少物質在衰減成為主導之前，流到某一個指定區室。

門檻監測需要三個額外選擇：輸入在哪裏、輸出量甚麼，以及觀察多久。這裡的輸入是來源區室的一單位釋放；輸出是感測區室當時存有的物質量；觀察在固定期限結束。改變其中任何一項，都可能改變警報，卻不需要改變矩陣的特徵值。

設物質量向量為 $x(t)$ ，每個分量對應一個區室。我們採用「以欄為來源」的記法：非對角元素 $Q_{ji}$ 表示物質由區室 $i$ 轉移至區室 $j$ 的速率。每個區室總共轉走多少，就在該欄的對角項扣回多少；另外，各處都以相同速率 $d>0$ 移除物質：

\dot x(t)=Ax(t),\qquad A=Q-dI,\qquad Q_{ji}\geq0\ (j\ne i),\qquad \mathbf1^\top Q=0.

非對角元素非負，使 $Q$ 和 $A$ 都是 Metzler 矩陣：由非負物質量出發，矩陣指數不會產生負物質。每欄總和為零，則表示轉移只重新分配物質，沒有憑空創造或消滅物質。加上統一移除後，總量有一條精確收支式，而不是事後「看起來差不多守恆」的數值檢查：

\mathbf1^\top x(t)=e^{-dt}\mathbf1^\top x(0).

如果初始總量是一，時刻 $t$ 的總存活量就是 $e^{-dt}$ 。任何一個區室的量都不能超過這個總數。不過，其他區室正在減少時，終端區室仍可以正在增加。感測器讀數上升，不等於總物質增長，也不一定是數值不穩定；它可以只是正在衰減的系統內部，物質重新分配的正常結果。

這個限制讓研究與任意矩陣的放大例子有清楚分別。如果可以任意選擇非對角符號或欄總和，很容易靠不符合運輸意義的方程製造大響應。這裡不能用那些捷徑：物質始終非負，總量始終遵守同一收支。值得解釋的是，在這些物理限制之下，警報差異仍然存在。

用 $e_s$ 表示在來源 $s$ 注入一單位，用 $e_o$ 選出感測區室 $o$ 。來源至感測器的響應，以及期限內的峰值，分別為

g_{so}(t)=e_o^\top e^{At}e_s,\qquad P_A(T)=\max_{0\leq t\leq T}g_{so}(t).

警報定義為 $P_A(T)>\theta$ 。嚴格大於是定義的一部分：剛好碰到門檻，不會悄悄改算成超越。若計算誤差還分不清真峰值在門檻哪一邊，就應保留未能判定，而不是把四捨五入後的一個正負號當成確定答案。

固定來源與終端感測器的正值運輸網絡，具有相同特徵值但採用不同路由。 — 圖 1．六節點構造控制：(a) 直接路由；(b) 五次跳躍的鏈。來源 0、終端感測器 5、單位釋放、跳躍率 1 與移除率 0.1 全部配對。非對角速率非負，生成矩陣每欄總和為負移除率。這不是實際基建重建；感測量是物質量，不是到達通量或濃度。

路線變了，整組特徵值仍可以不變

概念導讀 · 假設

建立模型或推論時採用的條件；結論取決於相關條件是否成立。

本文例子：配對網絡構造採用無環路由、暫態節點相同的總轉移率，以及均勻移除。

常見誤解：假設合理，就等於已經觀察證實。

適用範圍：這些限制屬於該網絡構造；其他模型與方法需要各自的假設，沒有一份清單適用於所有分析。

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考慮六個由來源排至終端的區室。所有連線都只指向排序較後的位置，因此沒有有向循環。前五個區室各自以總速率 $r$ 把物質向後轉移；最後一個區室沒有轉移出口，但仍以相同的 $d$ 移除物質。路由機率只決定每次轉移要送往哪個較後區室。

這樣建立的生成矩陣是下三角矩陣。它的對角線永遠有五個 $-(r+d)$ 和一個 $-d$ 。三角矩陣的特徵值就是對角項，因此任何容許的路由機率變化，都保持整組特徵值相同，而不只是保持最大實部相同：

\operatorname{spec}(A)=\{-(r+d),\ldots,-(r+d),-d\},\qquad \alpha(A)=-d.

這讓「只看特徵值」的資訊限制很乾淨。同一族網絡的頻譜沒有任何路由資訊可以用來區分設計。若一個確定性的篩選規則只接收特徵值與共同監測設定，它就必須對所有成員給出相同答案。一旦有兩個有效路由產生相反警報，這種規則就不能同時分對兩者。問題不是還未找到夠聰明的頻譜門檻，而是輸入資訊根本沒有包含差別。因此比較中的特徵值方法只報告漸近穩定，對警報棄權；我們不替它編造二元預測。

兩個極端路由容易看出原因。直接設計把來源物質一步送到終端；鏈式設計則需要連續完成五次轉移。每次轉移的等待時間都是速率 $r$ 的指數分布。直接旅程只有一個等待階段，鏈式旅程有五個。相同的局部離開速率，不會把不同階段數的首次到達時間變成相同。

這個例子刻意簡單。它用來核對矩陣方向、物質帳目及封閉形式，並讓機制變得可見。它不是新定理，也不足以證明一套新網絡分析方法。更有價值的比較必須離開這一對極端例子，保留物理上的公平條件，再問其他預留路由結構是否仍出現同一類差異。

還要留意：相同特徵值不等於相同特徵向量、Jordan 結構或 transfer function。重複特徵值可以伴隨乘在指數前的時間多項式，描述訊號逐步傳播的延遲。因此不能把這裡說成「所有動力學相同，只有一個神秘暫態例外」。真正相同的是一組頻譜速率，不是完整的時間演化映射。

Nonnormality 是重要背景，但不是這個構造唯一被隔離的原因。當矩陣不與其轉置交換，就稱為 nonnormal；網絡的結構性 nonnormality 已有深入研究 [9]。交換子範數可以量化這個性質，卻沒有記住哪裏釋放、哪裏觀測。兩個診斷值接近的網絡，仍可能有不同來源至感測器響應；診斷值改變，也不會直接告訴我們是哪條路造成超標。所以這裡保留它作結構診斷，不把它當成經校準的風險分數。

跟住物質走，可以得到另一個精確答案

同一個模型有機率上的解讀。跟住一個代表性物質單位：它在非終端區室等待速率 $r$ 的指數時鐘，然後按照路由機率選擇下一個區室；另一個獨立、速率 $d$ 的移除時鐘，則可以在任何位置把它消除。因為模型線性，很多單位的機率分布就對應區室中的物質量。

假設到達終端前剛好要完成 $m$ 次轉移。條件在這個階段數之下，旅行時間是 $m$ 個獨立指數等待時間之和，也就是 Erlang 分布，一種經典的 phase-type 分布。它的累積分布函數為

F_m(t)=1-e^{-rt}\sum_{k=0}^{m-1}\frac{(rt)^k}{k!}.

這個函數描述未考慮移除前，物質在時間 $t$ 之前已經到達的機率，不是到達密度。終端收到物質後，除了統一移除之外不會再把它送走，因此 $m$ 階段路徑的終端物質量是 $e^{-dt}F_m(t)$ 。存活因子包含整段已經過去的時間，也包括到達後留在終端的時間。

對一般向前路由，令 $p_m$ 表示 embedded jump chain 剛好經 $m$ 次轉移首次到達終端的機率。計算時可以每次推進一跳，把到達終端的機率取出，不再讓它繼續被當作新到達。終端的精確響應就是

g_{so}(t)=e^{-dt}\sum_{m=1}^{n-1}p_mF_m(t).

在這個無環、相同等待率的模型中，有限加總是精確表示，不是擬合，也不是 Monte Carlo 形成的包絡。矩陣指數與路徑公式用不同計算方式描述同一動力學，因此適合互相核對。核對應報告宣告時間點上的誤差，而不只是兩條線「看起來重合」。

目前所有非終端節點都指向較後節點，唯一終端就是感測器，所以不計移除時最終到達機率為一。更一般的網絡可能有其他出口，路徑權重總和未必為一。如果強行把它們重新正規化，就等於條件在「最後成功到達」之下再計算，會高估無條件的感測器物質量。這不是修飾數字，而是換了一個問題。

相同等待率也不是可有可無的便利。若不同區室有不同離開速率，只知道轉移次數就不足以決定 Erlang 分布，還要知道實際經過哪些速率。若有循環，遊走可以任意長，這個短的有限加總也不再適用。一般 phase-type 工具仍能處理許多情況，但不能把本文的簡式不加修改地搬過去 [2,3]。

這種機率解讀還幫助分清兩個看似相近的量。「曾經到達」與「現在還在」不同。沒有移除時，吸收終端的累積到達機率單調上升；有移除時，終端物質量先上升後下降完全合理。若把累積到達率當作當前庫存，便會把晚期響應與峰值的意義都改掉。

直接及多階段路由的有限時間終端物質量，與共同總存活量和警報門檻比較。 — 圖 2．六節點控制，跳躍率 1、移除率 0.1、期限 3：(a) 終端物質量與門檻 0.55；圓點標示經驗證的直接路由首次跨越。(b) 兩者總存活量相同，重合是有意的。總量提供物理上包絡，不是終端峰值預測。警報不同，仍可與最終衰減並存。

為甚麼較長路徑可能避過早期警報？

直接路由與鏈式路由的不同，集中在到達時間分布。直接路徑把較多機率放在早期；較長路徑則要等多個階段完成，讓到達變遲、變分散。在此同時，統一移除持續減少存活物質。因此峰值由到達與損失的競爭決定，不是單看一個衰減特徵值就知道。

對一步路徑，把 $e^{-dt}(1-e^{-rt})$ 微分，可以得到不限制期限的峰值時間 $\log((r+d)/d)/r$ 。如果這個時間超過觀察期限，期限內最大值就在右端點。這個小分別很重要：總有一天的最大值，與未來三個時間單位內的最大值，不是同一個決策量。

對多階段混合，短路徑與長路徑分量可以影響曲線不同部分。平均路徑長度有助直覺，卻不能決定整條響應。兩個混合分布可以有同一平均數，一個把機率集中在中間，另一個把較多機率放在很短與很長的兩端。早期門檻對很短路徑的少量權重，可能特別敏感。

較遲到達也不代表設計必然較好。它可能避開第一個監測窗，卻進入第二個監測窗；換一個感測位置，原本隱藏的路線可能直接經過感測器；降低門檻，兩個網絡可能都發出警報。這些不是機制失效，而是提醒我們，必須先定義要回答哪一個監測問題。

所以，每次等頻譜比較都固定來源、感測器、注入量、移除與轉移速率。如果某個設計本來就注入較少物質，或漏失較快，它的低峰值不需要路由來解釋。受控反例先排除這些捷徑，再測其他結構與參數，而不是只選最戲劇化的一對網絡。

這裡的「等頻譜」亦有精確範圍。同一比較對之內，兩個矩陣有同一組特徵值；若整個參數掃描改變了 $r$ 或 $d$ ，共同特徵值也會跟着改變。把所有掃描情況一概說成同一個固定頻譜，會抹去參數本身的作用。

路徑長度機率及各個 Erlang 到達分量，解釋物質何時進入終端感測區室。 — 圖 3．精確路徑長度機率：(a) 直接路由與鏈分別需要一次及五次跳躍；(b) 各預留族第一個預先指定的十節點網絡。連線連接離散機率，不是擬合密度。相同停留率下，每個分量具有 Erlang 到達律。這些是模型機率，不是實地調查頻率。

可靠比較不止要一條平滑曲線

說矩陣指數是精確解，指的是數學表示。電腦求值仍有浮點誤差；同樣，有封閉公式也不會令時間網格上的峰值，自動成為連續時間精確峰值。尖峰可能在兩個採樣點之間；局部求解器找到一個駐點，也不等於已證明沒有其他更高的峰。

驗證因此分成三件事。先核對生成矩陣的符號、欄總和、對角頻譜和共同輸入輸出；再比較獨立計算的響應；最後控制時間最大化與門檻分類。第二件事做對，不能代替第三件事。兩套程式在同一批採樣點重合，仍可能一起漏掉採樣點之間的最大值。

如果函數值本身有可靠包圍，時間網格可以給峰值下界：真峰值不可能比所有採樣值都小。要有上界，還要控制採樣點之間的變化。導數界限可以限制變化幅度；區間細化則把計算集中在仍可能藏有更高值的時間小格。上下界的價值，正是把尚未知道的部分明確留下。

當峰值下界已高於門檻，可以驗證警報；當上界不高於門檻，可以驗證沒有警報。若門檻仍夾在包圍內，就先保留未能判定，再按既定資源與精度細化。這個三值判斷不會把數值捨入的方向，冒充成研究結論。

首次跨越時間還需要額外處理。若初值在門檻下、響應連續，而峰值已驗證在門檻上，就知道存在跨越；但未知道最早何時跨越。稀疏的符號變化搜尋，可能漏掉更早的短暫超越或接觸。時間應附有效的驗證方法與區間，否則只能稱為數值診斷，不能稱為已認證的最早事件。

嚴格控制還需要說明「精確」是相對哪個模型。電腦中的路由小數可以被視為已凍結的有理數，再對這個量化模型作向外捨入的區間計算。這證明的是宣告係數模型的數學結果，不會順便消除真實參數的量測誤差。係數表示誤差與物理模型誤差，是兩種不同的不確定性。

完整評估把全部 2,880 個連續時間峰值，以及 2,304 個最大響應差，包圍至寬度不超過 $10^{-9}$ 。存在首次跨越時，時間範圍寬度不超過 $10^{-8}$ ；正式門檻決策與跨越檢查均沒有未定個案。獨立矩陣指數核對的最大差異為 $7.33\times10^{-15}$ 。路由係數先量化，再作為指定模型的精確數值處理。兩次完整運算的科學記錄一致。另有刻意貼近峰值的控制耗盡細分預算，保留為未定；它與正式基準分開，不會暗中加入或刪除。

八節點構造響應有兩個局部峰值；導數多次變號，顯示單一局部最大值不是全域證書。 — 圖 4．刻意設計的多峰控制，以 1/4 機率走一次跳躍、3/4 機率走七次跳躍；跳躍率 1、移除率 1/4、期限 10。(a) 物質量與門檻 0.125；(b) 導數局部放大揭示多次變號。全域峰值與最早跨越的證書獨立於繪圖網格計算，找到一個 stationary point 並不足夠。

界限回答的問題，與預測不同

概念導讀 · 穩健性

情況按指定方式改變後，某個結果或表現能維持到甚麼程度。

本文例子：比較兩個符合假設的路由時，若有效響應差界限小於名義決策裕量，便可證明兩者警報相同。

常見誤解：證書未能判定就代表失敗；對一種擾動穩健就涵蓋所有擾動。

適用範圍：此保證只適用於指定模型假設下所比較的一對路由；要涵蓋整個路由族，需有對該指定族一致成立的界限。

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假設名義路由矩陣為 $A$ ，修訂後或不確定的路由為 $B$ 。對兩者都算精確響應，可以知道這一對網絡是否有不同警報。穩健性界限問的是另一個問題：名義峰值離門檻是否夠遠，讓宣告大小的擾動無法改變決策？

起點是 Duhamel 恆等式。正值系統及 Markov 鏈擾動分析已有成熟理論 [6–8]；以下只是把它們用於指定來源、感測器與期限：

e^{At}-e^{Bt}=\int_0^t e^{A(t-u)}(A-B)e^{Bu}\,du.

恆等式本身不需要運輸解讀。真正有用的簡化來自物理限制：兩個生成矩陣的欄總和同為 $-d$ ，所以其非負傳播矩陣的欄總和及誘導一範數，都恰好等於 $e^{-dt}$ 。每欄描述由一個單位釋放得到的存活分布。

在積分內使用誘導範數，就得到任何共同來源與感測器的響應差界限。兩段傳播的存活因子，在整個積分區間都相乘成 $e^{-dt}$ ，因此

|g_A(t)-g_B(t)|\leq \|A-B\|_1\,t e^{-dt}.

在固定期限內，右方於 $t_* = \min(T,1/d)$ 取最大值。峰值差不超過整段時間的響應差上界，所以

|P_A(T)-P_B(T)|\leq \varepsilon_D,\qquad \varepsilon_D=\|A-B\|_1t_*e^{-dt_*}.

兩條曲線的峰值不需要發生在同一時刻。因為每一個時刻的差都不超過同一上界，把第一條曲線的最大化時間代入第二條，得到一個方向的不等式；再交換兩者，便得到另一方向。這個論證沒有偷偷假設峰值時間不變。

名義決策 margin 是峰值到門檻的距離。如果距離比有效擾動界限大，修訂後峰值就不可能跨到另一邊：

|P_A(T)-\theta|>\varepsilon_D\quad\Longrightarrow\quad \operatorname{alarm}(A)=\operatorname{alarm}(B).

這是單向推論。不滿足不等式，不代表警報會改變，只代表這個證書未能回答。精確比較可能仍顯示兩者相同，也可能由更緊的界限認證。若把「證書不知道」寫成「系統危險」，整個分析便會系統性地誤導讀者。

數值包圍亦要放進 margin，而不是只比較四捨五入的峰值。當名義峰值只有一段區間，能使用的距離應取離門檻最近的可靠一側；界限自己若有區間誤差，也應取保守上端。這樣得到的結論較少，卻不會把尚未控制的數字誤差藏在嚴格不等式裏。

固定參數下的預留峰值範圍與警報數目顯示路由相關決策，特徵值方法則對所有警報棄權。 — 圖 5．從已凍結基準選取的說明切片：跳躍率 1.6、移除率 0.075、期限 4.5、門檻 0.55，用以展示兩種警報結果。(a) 每個結構族／尺寸格內八個網絡的平均峰值，鬚線是觀察範圍，不是信賴區間。(b) 每個尺寸合併三族，共 24 個網絡。頻譜只在相同尺寸內一致；叉號是特徵值方法棄權，不是錯誤二元預測。

不等式是真的，也可能沒有實際用途

誘導一範數界限刻意一般。它為改變最大的那一欄付出代價，不論物質是否及時到達那裏；之後又容許下游影響以對感測器最不利的方式貢獻。這些放寬讓證明有效，同時丟掉很多路由幾何資訊。

因此，界限可以遠大於實際峰值差，甚至大於物理上可能的最大差。這不令證明變錯，只代表界限很鬆。用物質量的平凡範圍截緊上界，可以改善數字，卻不能憑空補回足以判定貼近門檻個案的資訊。

評估要同時包括 sharpness 與 vacuity。這裡前者比較上界與整個期限內最大的響應絕對差，兩個峰值的高度差另行報告；峰值相同，不代表曲線相同。後者問界限是否大到無法認證名義警報。當經驗證的響應差範圍包含零，上界除以差值的比率就保留為未定義，並報告加性鬆弛量；不能隨意加一個分母下限，然後把修飾後的比例當成精確證據。

決策相關性也不同於絕對誤差。一個百分之一的界限，對離門檻很遠的峰值可能非常有用；對只差千分之一的峰值則完全無法判定。反過來，相對很鬆的上界，也可能足以證明舒適的 margin。因此，研究同時看響應尺度上的鬆緊，以及真正可認證多少決策。

還有已知兩個矩陣與整個不確定族的分別。比較 $A$ 和一個已知 $B$ 的證書，不會自動涵蓋鄰域內所有容許路由。要認證一整族，界限必須對整個集合一致有效；非負機率、每欄總和及指定擾動範圍都需要保留在集合定義之內。

在 2,304 對路由中，上界／響應差比率的中位數依次為：Duhamel 27.38、total variation 13.69、coupling 11.47、path envelope 1.00045。正式集合沒有未定分母。但 path envelope 並非處處貼近：最大比率仍達 48.50。中位數大幅改善，不代表可以把它當成精確響應差。

嚴格擾動上界與實際峰值差、名義門檻距離比較，保留很鬆及無法認證的個案。 — 圖 6．四種上界與整個期限內最大的響應絕對差比較。點線對角線代表相等；經驗證差值範圍以中點顯示，上界用上端點。只有經驗證且嚴格為正的差值進入對數軸；未排除零或未定個案仍有記錄。上界只在正值、物質收支一致模型內有效，不是工程安全保證。

保留路由資訊，可以怎樣改善界限？

物質守恆已經可以改善全域範數估計。兩個守恆轉移矩陣之差，每欄總和是零，因此正部與負部有相同總量。指定輸出分量對兩者的區分，不會超過機率響應的取值範圍。設共同擾動大小為 $\varepsilon=\|Q_A-Q_B\|_1$ ，就得到 total-variation 容許量

|g_A(t)-g_B(t)|\leq \frac{\varepsilon}{2}t e^{-dt}.

Coupling 的解讀再保留一個事實：兩條已經分開的隨機軌跡，不需要被重複當成新分開的機率。先把兩個過程配對，直到路由第一次不同；最壞分離率為 $\varepsilon/2$ ，得到

|g_A(t)-g_B(t)|\leq e^{-dt}\left(1-e^{-\varepsilon t/2}\right).

小擾動時，把指數展開，會回到半範數的一階結果。較大擾動時，coupling 容許量會飽和，不會隨範數無限增長。不過它仍然是最壞情況的輸入輸出上界，不是這一對網絡的精確差。每個隨時間變化的表達式，都要在相同監測期限內取最大值，才可用來包住峰值差。

對無環、相同等待率的模型，路徑機率可以再提供更具體的計算。令 $L=n-1$ ，用 $H_k$ 表示長度不超過 $k$ 的累積路徑機率之差。兩個完整分布總和都是一。把 Erlang 公式代入，再整理相同次方，可以得到

H_k=\sum_{m=1}^k(p_{A,m}-p_{B,m}),\qquad g_A(t)-g_B(t)=e^{-(r+d)t}\sum_{k=1}^{L-1}H_k\frac{(rt)^k}{k!}.

把有符號係數改取絕對值，就有路徑特定的包絡：

|g_A(t)-g_B(t)|\leq e^{-(r+d)t}\sum_{k=1}^{L-1}|H_k|\frac{(rt)^k}{k!}.

這保留哪些路徑長度機率改變，卻丟掉不同貢獻之間的抵消。如果累積差有正有負，丟失抵消可能令界限變鬆。如果兩個網絡的路徑長度分布完全相同，即使內部走線不同，這個包絡仍是零。終端這一個輸出，本來就不一定能辨認所有微觀路由改變。

這些改善不等於宣稱新方法。機率距離、Markov coupling、輸入輸出增益及路徑分解，都有成熟理論。這個基準問的是：在固定定義及預留測試之下，選定界限有甚麼表現？一個經過驗證的應用與負面結果，可以有研究價值，而不需要把所有推導包裝成新定理。

資訊成本也要公開。用到完整路徑分布的計算，知道的路由資訊多於特徵值篩選。如果它的前處理成本接近精確響應，價值可能是解釋或多次查詢重用，而不是加速。不能只展示最後一行公式有多快，卻把建立該公式所需資料的成本隱藏。

決策數目顯示這些差別有多大用途：

界限	全部 6,912 筆查詢中獲認證	6,740 筆不變查詢中獲認證
Duhamel	3,147（45.53%）	46.69%
Total variation	4,029（58.29%）	59.78%
Coupling	4,284（61.98%）	63.56%
Path envelope	6,473（93.65%）	96.04%

沒有任何證書與已驗證決策矛盾。Path envelope 仍對 439 筆查詢無法認證：全部 172 筆實際翻轉，以及 267 筆其實不變的個案。它認證相同，不認證不同；而且使用兩套路徑律，不只是兩組頻譜。

四個路由混合權重的上界／響應差比率中位數及認證比例，分清界限鬆緊與決策用途。 — 圖 7．路由混合權重為 0.005、0.02、0.1、0.3。(a) 上界／響應差比率的中位數；陰影是經驗中間一半，不是信賴區間。(b) 每個權重的充分決策證書比例，分母保留所有配對門檻記錄，包括不變、改變及未定個案。有效上界一旦大於決策 margin，仍可毫無判斷用途。

預留網絡測試，應該考驗甚麼？

一對直接與鏈式網絡足以說明，特徵值在原理上不足。它不能告訴我們這個限制在更廣路由族有多常見、界限通常有多保守，或程式離開最初例子後是否仍可靠。這些問題需要把開發與評估分開。

結構預留不是只在同一條熟悉曲線多取幾個時間點，而是換路由形態。開發個案可以暴露程式錯誤，並形成預先指定的比較規則；之後固定規則，才問不同短長路徑混合是否仍得到可信答案。如果先看完所有預留結果，再挑最戲劇化的圖，測試就退回示範集。

參數預留則考另一件事。改變 $r$ 、 $d$ 、 $T$ 或 $\theta$ ，會改變旅行、移除與監測之間的競爭。同一比較對仍然等頻譜、物理一致；不同參數區域的共同頻譜則可以不同。結構泛化與參數泛化應分開呈現，而不是用一個總百分比掩蓋兩者。

無量綱量能幫助整理區域。 $rT$ 描述期限內一般有機會完成多少轉移階段； $dT$ 描述期限內有多少移除； $d/r$ 比較移除與轉移。只換時間單位時，速率與期限應一起縮放，不應產生新的物理結論。敏感度檢查若忽略這點，很容易把同一情境重複當成多個獨立發現。

門檻也屬於評估設計。高於所有峰值的門檻，會讓所有個案都沒有警報；低於幾乎所有峰值的門檻，則讓所有個案都有警報。兩者都容易得到漂亮的一致率，卻沒有證明篩選有辨識能力。因此，簡單與貼近門檻的情況都要保留，並交代門檻如何預先選定，而不是事後調整來幫某個方法勝出。

這些是構造網絡，不是實地隨機樣本。成功比例只描述指定基準分布，不能轉寫成水務設施、疫情傳播或供應鏈的危險盛行率。同一網絡用三個門檻評估，也不是三次獨立物理試驗；同一條曲線的很多時間點更不是。報告數字時，必須讓比較單位保持可見。

評估在九個結構族／尺寸區塊各使用八個獨立網絡：dense、sparse、skip-layered 路由，節點數為 6、10、20。跳躍率取 0.7、1.6，移除率取 0.075、0.15，期限取 2、4.5。每個基準與另一套路由作凸混合， $Q_\lambda=(1-\lambda)Q_A+\lambda Q_{\mathrm{alt}}$ ，權重取 0.005、0.02、0.1、0.3；門檻取 0.15、0.35、0.55。三族的查詢改變數依次為 60、67、45，各自分母均為 2,304。這些是配對基準查詢，不是母體失敗率。

預留路由結構與參數區域，在固定評估規則下比較警報差異和非空泛證書比例。 — 圖 8．預留 dense、sparse、skip-layered 結構，節點數 6、10、20。(a) 警報改變比例；(b) 充分 path-envelope 證書比例。每個結構／尺寸格涵蓋固定參數、擾動與門檻的 768 筆配對記錄。格內數字承載量化比較。同一網絡的重複門檻是配對查詢，不是獨立實地樣本。

哪些失敗值得保留下來？

決策不變是有用的負面結果。有些路由變化幾乎不改終端響應；另一些會改峰值，但沒有跨過指定門檻。兩者都限制故事的普遍性：路由影響 transfer function，不代表每一對路由、每一個監測規則都必然翻轉警報。

空泛證書也是有內容的失敗。它指出界限保留的資訊，與感測器真正問的問題不匹配。如果離門檻很遠仍經常無法認證，可能是全域範數為不可達或無關改變付了太多代價；如果只在極小 margin 失效，困難可能來自決策本身，而不是界限設計很差。

數值未能判定也應留在結果中。提高精度或細化時間區間可能解決，但只能按預先指定的資源限制作。超出限制後，不應悄悄繼承名義峰值的正負號。否則最困難的個案，反而會得到最缺乏保障的確定標籤。

運算時間亦需要同樣紀律。路徑權重算好後，公式可能很快；矩陣指數則可能一次服務多個輸出。是否重用前處理會改變成本模型。合理報告分開前處理、響應求值、峰值驗證與證書建立，並區分操作次數與受硬件影響的實際秒數。

若一個方法給出較緊界限，卻需要更詳細路由與更多運算，便不能只用「較好」概括。它可能更適合需要保證的少量關鍵決策；簡單範數可能更適合大量快速初篩。研究應把資訊與成本放在同一張比較圖，讓讀者知道多得的結論是用甚麼換回來。

最有力的結論可以很克制：簡單頻譜篩選沒有能力區分某些決策；精確、路由感知的計算可以回答；嚴格 margin 只在部分區域成功。失敗若能指出每種方法丟掉哪一層資訊，便比宣布某個方法處處勝出更有用。

Coupling-bound 棄權隨跳躍率、移除、期限及門檻改變；第三面板比較 coupling 與 path-envelope 在名義 margin 分箱中的棄權。 — 圖 9．跳躍率 (a) 0.7、(b) 1.6 的 coupling-bound 未定比例；每個移除率／期限／門檻格有 288 筆配對記錄。(c) 按名義 margin 的描述性分箱，比較 coupling 與 path-envelope 棄權。分箱沒有改動固定門檻；空箱保留缺值，不畫成零失敗。無法認證既不證明危險，也不證明相同。

便宜的篩選，可能剛好刪掉決策最需要的資訊。因此，成本不應只與算出一個數字的秒數比較，還要與未能判定或錯誤標籤的後果一起理解。如果同一名義路由會被很多門檻重複查詢，預先計算的響應包圍可以重用；如果每次查詢都改圖，這種重用可能不存在。先定義工作量，才有資格談加速。

數值參照與可部署規則也不是同一角色。驗證階段可以刻意用兩套獨立表示重複核對，這不代表未來每次警報都必須支付兩套計算；但報告產生已驗證基準的成本時，又不能把核對工作全部省略。分清「建立可信結果」與「重複使用結果」，才能知道比較到底在計甚麼。

時間資料還有另一個限制。同一程式在不同電腦、不同線性代數程式庫、不同核心數上，實際秒數可能改變；操作次數則可以較直接反映算法做了多少事，卻仍不等於各種操作成本相同。一次矩陣指數與一次標量多項式求值，不能只因都叫一次就當作相等。本文把兩者並列，而不把其中一欄包裝成唯一效率答案。

若嚴格峰值驗證耗盡細化上限，這筆工作仍然已經發生。把失敗個案從平均時間刪掉，會讓方法看來較快，也會讓成功率看來較高。公平的比較保留完整嘗試，並說明哪些成本只服務特定保證。這不保證圖表會漂亮，但能避免把計算上最困難的一部分變成看不見的帳。

其中一次完整運算，每條曲線的峰值驗證時間中位數為 36.24 ms，三門檻跨越檢查為 89.45 ms，矩陣指數參照為 7.06 ms。這些組件給出不同保證，也未包含所有前處理，因此相除不等於端到端加速。另設的近邊界控制也提醒我們：典型時間不能取代細分預算及保留未定結果的政策。

運算工作與決策覆蓋並列，分清前處理、響應求值和嚴格驗證所需成本。 — 圖 10．實測組件成本的中位數與中間一半，不是信賴區間或端到端加速。(a) 峰值驗證、三門檻首次跨越及矩陣指數核對；(b) 每個基準的路徑律前處理，以及每對網絡的重路由、差值與上界成本；(c) 未定或失敗個案，刻意貼近邊界的控制與正式基準分開。時間仍依賴實作與硬件。

模型刻意沒有回答甚麼？

區室狀態是物質量。要把它解讀成濃度，需要相同區室體積或明確體積正規化；要解讀成劑量，需要暴露模型；要解讀成工程安全，需要校準參數、量測不確定性與適當標準。單位釋放的數學圖，不會自動完成這些轉換。

統一移除也是刻意限制。它讓總存活量與路由無關，並提供乾淨的傳播範數。如果各區室移除率不同，換路由會同時改變旅行與接觸移除的位置。那可能值得研究，但需要另一套公平比較與修改後的證明，不能把平均移除率直接塞進現在的證書。

真實網絡可能有循環、隨時間變化的流量、依庫存而變的轉移、非線性反應、未知路由或感測位置誤差。這些都可能改變到達分布與固定生成矩陣的意義。現在的模型建立一個受控的資訊缺口，不是聲稱已驗證所有這類系統的近似。

我們也沒有試圖把 nonnormality 當成唯一解釋。全域放大範數問的是最壞狀態方向；指定釋放後的一個感測器問的是輸入輸出。正值收支限制可以禁止總一範數增長，同時容許某個區室明顯增加。不同範數與不同觀測量，不應被當成同一種物理風險互相比較。

這個焦點補充了先前的衰減證書研究：證明最終衰減，與檢查有限時間門檻，是不同工作。它亦補充正值數值建模：可信暫態首先要遵守非負性與物質收支，之後才有資格解讀警報。這裡再問，當基本物理條件都做對之後，哪些資訊仍然被頻譜摘要藏起來？

結論

兩個網絡可以有完全相同的特徵值，損失完全相同的總物質，卻在有限時間內給出不同感測讀數。缺失的資訊不是一種新不穩定性，而是從指定釋放至指定觀測的路由相關轉移。經典 phase-type 計算把這個機制寫清楚，也為矩陣指數提供獨立核對。

因此，最強的實證結論仍有條件：路徑資訊令更多決策可以得到認證，但沒有消除棄權，也沒有令每次路由變化都變得重要。

嚴格決策 margin 可以比畫曲線多做一步：在明確模型假設之下，排除門檻翻轉。但有效不等式仍要接受用途測試。如果幾乎所有個案都只能回答不知道，就未算解決監測問題。預留結構、參數變化、界限鬆緊、空泛比例與保留失敗，決定結果能走出教學反例多遠。

因此，遇到一組令人安心的特徵值時，值得先追問：對哪一次釋放、哪一個感測器、哪個門檻，以及多長期限而言安心？當問題定義清楚，穩定性分析、精確暫態計算與穩健性證書，就成為互補工具，而不是彼此取代的口號。

研究問題與有限度解讀見專案概覽。

參考文獻

Bao、Dai、Nagler 與 Lin。Quantifying Transient Dynamics in Heterogeneous Networks under Various Inputs（2025）。有向遊走與輸入相關暫態是密切先行研究，不是本文提出的新機制。原始預印本。
Hurtado 與 Richards。Building mean field ODE models using the generalized linear chain trick and Markov chain theory（2021）。正式論文。
Metzler 與 Sierra。Linear Autonomous Compartmental Models as Continuous-Time Markov Chains: Transit-Time and Age Distributions（2018；2017 年先於網上刊出）。正式論文。
Trefethen 與 Embree。Spectra and Pseudospectra: The Behavior of Nonnormal Matrices and Operators（2005）。出版社。
Nazerian、Asllani、Tyloo、Ku 與 Sorrentino。The frequency response of networks as open systems（2026）。輸入輸出及頻率響應分析是密切先行研究；本文的有限期限物質量門檻是另一個績效問題，不是首次引入網絡轉移。正式論文。
Rantzer。Distributed Control of Positive Systems（2012 年預印本，2014 年修訂）。正值系統的輸入輸出分析。原始預印本。
Mitrophanov。Ergodicity coefficient and perturbation bounds for continuous-time Markov chains（2005）。正式論文。
Mitrophanov。The Arsenal of Perturbation Bounds for Finite Continuous-Time Markov Chains: A Perspective（2024）。正式綜述。
Asllani、Lambiotte 與 Carletti。Structure and dynamical behavior of non-normal networks（2018）。正式論文。