為甚麼重新開始，反而更快找到目標？

一個搜尋程序已經運行了很久。它沒有報錯，也沒有宣布失敗，只是遲遲找不到目標。你可以繼續等，或者把它送回初始狀態，再試一次。重新開始似乎很浪費：之前走過的路、累積的運動，都不再算數。繼續前進則好像更合理，畢竟已經找了這麼久，總應該比剛出發時更接近成功吧？

問題恰好藏在「總應該」這三個字裏。有些搜尋確實會累積有用進度，有些卻只是四處游走。一段漫長而沒有結果的歷程，可能不是即將得到回報的投入，而是一次特別不幸的遠行。返回起點，既可能放棄一個很有希望的位置，也可能讓搜尋者離開一個比起點更不利的位置。我們不能只憑已經花掉多少時間，就知道現在屬於哪一種情況。

不妨想像一個假想搜尋裝置，在一條狹窄、向遠方無限延伸的通道上移動。目標位於其中一端，裝置可以被還原到原來的出發位置，但我們不利用它當前的位置來決定甚麼時候還原。這是一個數學思想實驗，不是已測試的機械人，也不是實際搜救程序。刻意簡化環境，是為了單獨研究一個看似矛盾的問題：主動打斷搜尋，能否令搜尋更快完成？

答案取決於「更快」究竟指甚麼。某項介入可以改善平均完成時間，卻不代表每一次搜尋都因此受益。由平均值選出的策略，也不一定由中位數選出。假如重啟完全免費，一個策略可能很好；一旦每次重啟都要等待，同一策略便可能變差。如果搜尋本身已有相當可靠的方向性，回到起點更可能是在破壞進展，而不是拯救一段不幸的歷程。

以下會用一個可推導、可獨立核對的模型，以及精確抽樣的模擬，逐步分開這些問題。目的不是勸人多試幾次，而是釐清：重啟失去了甚麼、更新了甚麼，以及我們真正想改善的是等待時間分布的哪一部分。只要這幾點沒有說清楚，「不要放棄」與「重新出發」都還只是直覺，而不是能夠接受檢驗的策略。

這個搜尋實驗發現了甚麼

在沒有方向性漂移的情況下，一個從不重啟的搜尋，最終找到目標的機率是一，期望完成時間卻是無限大。兩句話並不矛盾。幾乎每一次搜尋都會結束，但是極少數、極漫長的搜尋，足以令整體等待時間沒有有限的平均值。這不是電腦計算溢位，而是該機率模型本身的性質。

適量的隨機重啟會改變這個結果。當初始距離與擴散係數都設為一，而且重啟不花時間，理論上最好的重啟率約為 2.539638，相應平均完成時間為 1.544139。在相近的測試速率 2.5 下，50,000 次獨立搜尋得到的樣本平均為 1.545443，Monte Carlo 標準誤為 0.006903；同一速率的理論平均為 1.544195。模擬與推導在抽樣誤差範圍內吻合。

實驗亦保留了重啟沒有那麼吸引的情況。每次重啟加入固定成本後，較合適的重啟率下降。如果向目標前進的漂移已經夠強，在所研究的固定速率策略中，不重啟反而有最好的平均表現。這些結果不是要藏起來的反例，而是理解重啟為甚麼有效所必需的另一半。

本文是文獻引導的機制解說與合成實驗，不是新的定理，也沒有宣稱已驗證某個真實搜尋系統。經典擴散重啟結果來自 Evans 與 Majumdar 的研究；這裏著重把同一個可控制的比較拆開，讓讀者看見哪個機制改變了結果，以及哪個效能指標改變了決策。Evans 與 Majumdar，2011。

一個可能愈走愈遠的搜尋

把目標放在零點，搜尋者從正距離 $x_0$ 出發。在還未被重啟之前，位置遵循

\begin{aligned} dX_t&=-v\,dt+\sqrt{2D}\,dW_t,\\ X_0&=x_0>0. \end{aligned}

其中 $D$ 控制擴散強度：在一段短時間內，隨機位移的變異數等於 $2D$ 乘以該段時間。布朗運動 $W_t$ 提供彼此獨立的隨機增量。參數 $v\geq0$ 則加入朝向目標的平均運動；因為目標在左方，所以漂移項帶負號。 $v$ 愈大，方向性進展愈強； $v=0$ 時，只剩下沒有固定方向的擴散。

零點是吸收邊界，也就是搜尋者第一次到達那裏，整個實驗便立即結束。我們關心的是首次到達時間，而不是找到目標後還繼續移動的粒子位置。如果搜尋者曾經跨過目標，其後又回到原來一側，那次搜尋早已算作成功，不能因為後來的位置而把成功取消。這個定義會直接影響模擬應該如何處理兩次觀測之間發生的事件。

通道向遠離目標的一側無限延伸，這不是無關緊要的背景設定。若在遠方加上一面反射牆，搜尋者便不可能走到任意遠的位置，等待時間分布也會改變。同樣地，會移動的目標、只能以某個機率被偵測的目標，以及會記住已搜尋區域的裝置，都需要不同模型。我們保留無界、無記憶的設定，是因為它的首次到達分布能夠在模擬之外獨立求得。

搜尋進行時，另一個獨立的指數時鐘以速率 $r$ 觸發重啟。每次觸發，位置返回 $x_0$ ；未來的布朗增量與新時鐘都獨立於之前的歷程。固定成本 $c$ 表示恢復初始條件所需要的時間。在這段等待期間，搜尋與重啟時鐘都暫停。成功時不用支付重啟成本，第一次嘗試之前也不另外收取準備時間。這些安排把「重新開始」變成一個明確的隨機操作，而不只是文字上的比喻。

圖 1。模型把空間位置與經過時間分開處理。下方時間軸是明確指定的示意歷程，不是模擬軌跡。藍色代表主動搜尋，斜線區段代表重啟成本；會打斷搜尋的時鐘只在主動搜尋期間運行。

數值實驗採用無量綱單位，設 $x_0=D=1$ 。這不是說每個真實搜尋都具有相同距離或擴散強度。自然的擴散時間尺度是 $x_0^2/D$ ，所以把結果用到有物理單位的情境，必須先估計該情境自己的距離與擴散係數。重新標示座標軸可以轉換單位，卻不能證明布朗運動適合描述某個應用；單位換算與模型驗證是兩件不同的工作。

幾乎必然成功，不等於平均等待有限

先考慮 $v=r=0$ ，即沒有漂移，也沒有重啟。用 $T_0$ 表示這個不受打斷的搜尋第一次到達零點的時間：

T_0=\inf\{t\geq0:X_t=0\}.

此時首次到達時間的機率密度為

\begin{aligned} f_0(t)&=\frac{x_0}{\sqrt{4\pi D t^3}}\\ &\quad\times\exp\!\left(-\frac{x_0^2}{4Dt}\right),\quad t>0. \end{aligned}

理解這個式子的一種方法，是在布朗軌跡首次碰到目標後，把它反射過來。反射所產生的對稱關係，讓「曾經跨過目標」的機率，可以用高斯位移的機率表示。對到達機率隨時間的變化取導數，便得到上面的密度。值得留意的是，這裏是「時間」的分布，不是固定某個時間後「位置」的分布。後者呈高斯形狀，並不代表前者也具有高斯分布那種快速衰減的尾端。

尚未完成的機率，也稱存活機率，等於

\begin{aligned} S_0(t)&=\Pr(T_0>t)\\ &=\operatorname{erf}\!\left(\frac{x_0}{\sqrt{4Dt}}\right)\\ &\sim\frac{x_0}{\sqrt{\pi D t}}. \end{aligned}

這裏的「存活」只表示搜尋仍未結束，沒有任何生物存亡的意思。由於 $S_0(t)$ 最終趨近零，所以搜尋者最終找到目標的機率是一。然而，趨近零的速度很慢：在長時間尺度下，未完成比例只按時間的平方根倒數下降。把等待時間增加很多倍，剩下來的困難搜尋仍可能佔據不能忽略的比例。

對任何非負等待時間，期望值都等於存活曲線下方的面積：

\mathbb E[T_0]=\int_0^\infty S_0(t)\,dt=\infty.

曲線高度雖然一路下降，整片面積卻沒有有限上限。幾何上可以這樣想：尾端愈來愈低，但同時向右延伸得無限長；高度下降得不夠快，便無法把那片面積壓成有限值。這正是「最終會成功」與「平均要等多久」的差別。期望值不只在乎是否有終點，也在乎有多少機率被分配到極大的時間位置。

無重啟搜尋的存活曲線緩慢下降，而限制平均等待隨觀測期限延長持續增加，顯示有限期限不等於有限母體平均。 — 圖 2。零漂移、不重啟、初始距離與擴散係數皆為一。曲線是解析結果，標記來自 50,000 次完整模擬。下圖只把等待積分至指定期限；得到有限值，並不代表不設期限的平均也有限。

只要抽出的時間都是有限值，有限次模擬仍然會給出有限的算術平均。這不會推翻理論，因為電腦只從一個母體平均無限大的分布中，取出了有限個樣本。加入下一批搜尋，可能剛好抽到一個罕見而巨大的時間，令樣本平均突然改變。若在這裏照常報告一個「有限母體平均」的信賴區間，便是在估計模型根本不存在的量，而不是單純把誤差算得不夠準。

對有限時間的決策，更合適的問題是：在指定期限之前，我們實際要花多少時間等待？可以定義限制平均

m(\tau)=\mathbb E[\min(T_0,\tau)] =\int_0^\tau S_0(t)\,dt.

所有尚未完成的搜尋，都貢獻完整的觀測期限，而不是從平均值中消失。這個量最多等於 $\tau$ ，也有清楚的實際解讀：完成得早的搜尋計入真正所花時間，未完成的搜尋則計入截至期限已花的時間。不過，它仍然不同於最終完成時間的期望。對短期限最有利的策略，不一定也是對整個等待分布最有利的策略，兩者不能因為都帶有「平均」二字便互相替代。

這裏尤其容易出現一種選擇偏差。假如研究在固定時間停止，只對已完成的搜尋取平均，最慢的搜尋便會被系統性排除。結果看起來很好，可能恰恰因為最麻煩的觀測沒有被計入。把未完成比例與限制平均一起呈現，才能讓讀者看見期限的影響，而不是把被挑選過的成功樣本當成整體表現。圖 2 的下半部因此不是附加裝飾，而是在提醒我們比較的量究竟是甚麼。

新的一次嘗試，如何改寫等待時間

令 $R$ 表示一次嘗試期間的指數重啟時間。它的存活機率為

\Pr(R>t)=e^{-rt},\qquad r>0.

這個時鐘與搜尋獨立，既不偵測某一次嘗試是否沒有前景，也不會因為等待已久而愈來愈不耐煩。在每一刻主動搜尋期間，它都具有相同的瞬時重啟率。因此，有些很快就能成功的嘗試，也會不幸被打斷。重啟仍可能改善平均，是因為避免極長失敗遠行所節省的時間，有機會補償失去這些成功機會的代價，而不是因為時鐘總能作出聰明選擇。

以 $T_{r,c}$ 表示包括所有重啟成本的總完成時間。觀察第一次嘗試，便得到更新關係：

T_{r,c}=\min(T_0,R) +\mathbf 1_{\{R\leq T_0\}}\bigl(c+T'_{r,c}\bigr).

右上角的撇號表示一個獨立、但分布完全相同的新副本。如果成功先發生，後面的項便是零；如果重啟先發生，我們先花掉時鐘所指出的時間，再付出成本 $c$ ，然後重新面對同一個完整問題。這個角度稱為更新，也就是 renewal：每次重啟之後，統計上的起點恢復原狀。Pal 與 Reuveni 的研究提供了處理此類問題的一般框架，不需要先畫出搜尋在空間裏的每一個中間位置。Pal 與 Reuveni，2017。

令 $p_r=\Pr(T_0<R)$ ，表示一次嘗試能夠在時鐘觸發之前成功的機率。對更新關係取期望，再把未知的總平均移到同一側，得到

\mathbb E[T_{r,c}] =\frac{\mathbb E[\min(T_0,R)]+c(1-p_r)}{p_r}.

分子是一次嘗試所花的平均主動時間，加上該次嘗試可能造成的重啟成本；分母則把「可能需要重複很多次才成功」計算進去。平均嘗試次數並不是一，因為每次失敗都會把過程送回同一個起始分布。這也說明，不能在無成本的平均搜尋時間上只加一次 $c$ ，就當成已計入重啟代價。真正應該付多少次，取決於成功之前發生了多少次失敗。

利用兩個時鐘的獨立性，一次嘗試的平均主動時間可以寫成

\begin{aligned} &\mathbb E[\min(T_0,R)]\\ &\qquad=\int_0^\infty S_0(t)e^{-rt}\,dt\\ &\qquad=\frac{1-p_r}{r}. \end{aligned}

第一個等號仍然使用「平均等於存活曲線下面積」的原理；只是這次必須同時滿足搜尋未成功、重啟未觸發，兩個機率因此相乘。最後一個等號可以透過對首次到達密度作積分分部得到。另一方面，若先給定一個未受打斷的搜尋原本需要多久，再問重啟時鐘能否等到那時，便有

p_r=\mathbb E[e^{-rT_0}].

這就是首次到達分布在重啟率處的拉普拉斯變換。它出現在這裏，不是為了把推導寫得更抽象，而是因為有明確的機率解釋：原本能在時間 $t$ 成功的嘗試，要先避過獨立時鐘，而避過的機率正是 $e^{-rt}$ 。原本需要愈久的嘗試，完整避過重啟的機會便愈小。重啟因此改變了哪些嘗試有機會走到原來的終點。

對漂移擴散模型，這個變換也可以透過後向方程求出。若 $u(x)$ 是從位置 $x$ 出發、趕在重啟之前到達目標的機率，則

\begin{aligned} Du''(x)-vu'(x)-ru(x)&=0,\\ u(0)=1,\qquad u(\infty)&=0. \end{aligned}

零點的邊界值是一，因為已經在目標位置就算立即成功；當起點愈來愈遠而重啟率保持為正，及時到達的機會則趨近零。選取符合這兩個條件的有界指數解，便得到

p_r=\exp\!\left[\frac{x_0}{2D} \left(v-\sqrt{v^2+4Dr}\right)\right].

代回更新關係，得到本文實驗最重要的平均時間預測：

\mathbb E[T_{r,c}] =\frac{1-p_r}{p_r}\left(\frac1r+c\right).

這個式子把提高重啟率的兩種相反作用放在一起。單次嘗試會變短，但每次嘗試成功的機會也會下降。較快的打斷時鐘，並不是一個移動得更快的搜尋裝置；它只是以另一種方式，把可用時間分配給多次獨立嘗試。理解了這點，便不難預期「愈常重啟愈好」不可能是普遍結論。

模擬實際比較了甚麼

我們測試漂移 $v=0,1,4$ ，以及重啟率 $r=0,0.1,0.5,1,2.5,5,10$ 。21 個參數組合，每組各有 50,000 次獨立、完整的搜尋，合共 1,050,000 次。所有長時間等待都被保留，沒有因為超出圖表的橫軸或某個展示期限，就把那次搜尋停止或刪除。繪圖期限決定我們展示哪一段分布，不決定哪些搜尋可以進入資料。

模擬沒有把布朗軌跡切成一小格一小格的時間步，而是直接從精確分布抽出不受打斷時的首次到達時間。沒有漂移時，使用 Lévy–Smirnov 分布；有正漂移時，使用逆高斯分布。這個抽出的到達時間，再與獨立指數時鐘競賽，較早發生的事件決定搜尋是結束，還是進入下一次嘗試。因為重啟確實恢復同一分布，這個事件層次的模擬與模型相容。

這種做法避免了一個具體的數值問題：在離散時間記錄的位置之間，軌跡可能已經穿過吸收目標。較粗的積分器若只檢查兩個端點，就可能漏掉成功，憑空加上一段其實不應存在的等待。精確首次到達抽樣消除了這個模型內的時間步誤差，但並沒有消除「模型是否適用於真實情境」的不確定性。精確計算一個假設模型，和證明那個模型描述現實，仍然是不同層次的問題。

模擬分別記錄主動搜尋時間與重啟次數，再把四種成本 $c=0,0.1,0.5,1$ 套用到同一批歷程。這是配對比較，不是四個獨立實驗。它成立的原因是成本期間時鐘暫停，而且每次嘗試都從原狀態重新開始；在這些假設下，改變成本不會改變主動嘗試的先後序列。成本只是增加每次重啟之間的等待，而不會偷偷改變下一次成功的機率。

平均時間的解析預測，一方面與模擬的 Monte Carlo 標準誤比較，另一方面也與不重啟存活函數的獨立數值積分比較。所有有限平均案例都在五個估計標準誤之內，最大絕對差距約為 2.65。這種吻合核對的是實作與抽樣的一致性，不能把一條假想通道變成已通過實地驗證的環境。文中的信心來自清楚知道哪一層已被檢查，而不是把不同層次的證據混在一起。

經驗存活曲線比較不重啟與速率 0.5、2.5、10，顯示適量重啟減少長尾，但過密打斷會失去部分改善。 — 圖 3。零漂移、零成本下的完成時間尾端，每個速率有 50,000 次搜尋。曲線較低，表示在該時刻仍未完成的搜尋較少。圖中是沒有信賴帶的經驗估計；對數軸不畫零存活觀測，並不表示母體風險等於零。

在重啟率 2.5 下，時間 5 的未完成比例是 0.04018，時間 10 則是 0.00166。到時間 30，這一組已經沒有未完成的搜尋。最後一句描述的是 50,000 次觀測，不是任何搜尋都必定在時間 30 之前完成的保證。模型仍然容許一連串異常多的失敗嘗試；有限資料沒有看見這些情況，不等於它們在機率上已被排除。

圖中亦不能回答另一個更強的問題：某一次重啟搜尋，是否一定比「擁有完全相同未來」的某一次不重啟搜尋更快？這裏比較的是獨立樣本所描述的策略分布，不是逐條軌跡的因果配對。即使某個統計指標在分布層次改善，也不能保證每位搜尋者、每次執行都會親身得到相同好處。這個區分在解讀介入策略時尤其重要。

為甚麼太少與太多重啟都可能很慢

設 $v=c=0$ ，平均時間便簡化為

\mathbb E[T_{r,0}] =\frac{e^{x_0\sqrt{r/D}}-1}{r}.

當 $r$ 非常小，時鐘很少打斷一次異常漫長的遠行。於是，隨著 $r$ 趨近零，平均時間再次沒有上限。另一端，當 $r$ 非常大，每次嘗試幾乎還未來得及穿越初始距離，就已被時鐘打斷。雖然每次失敗都很短，但這些短失敗會大量累積，最後同樣形成很長的總等待。單次嘗試縮短，與整個問題更快完成，不能被看成同一件事。

兩個極端之間存在一個平衡。引入無量綱速率變數 $z=x_0\sqrt{r/D}$ ，對平均時間微分，可以得到正的駐點所滿足的條件：

z_*=2(1-e^{-z_*}), \qquad r_* = \frac{D z_*^2}{x_0^2}.

非零解約為 1.593624。這個方程同時也有零解，但零不是具有有限平均時間的最小點；不能只因為數值求根找到零，就把它報告為最優速率。回到 $x_0=D=1$ ，便得到前面提到的結果。這裏的尺度關係與數字本身同樣重要：初始距離改變時，適合的重啟率按距離平方的倒數改變；擴散係數改變時，則按比例改變。

平均完成時間對重啟率呈中間較低的解析曲線，模擬點與誤差棒核對曲線，星號標示解析最優點。 — 圖 4。零漂移、零成本的平均完成時間。曲線是解析結果；方形標記是每組 50,000 次搜尋的平均，誤差棒為平均加減 1.96 個 Monte Carlo 標準誤所構成的逐點近似 95% 區間。星號是解析最優點，不是從帶抽樣雜訊的點擬合出來的最低點。部分誤差棒比標記本身更小。

如果真實應用的參數本身不確定，就沒有理由把操作設定調到數值上極其精確的最優點。一段相對平坦的低值區域，有時比很多位小數更有決策意義。這次測試的速率 2.5 已經非常接近解析最優率，兩者對應的理論平均差距很小。實驗核對的是權衡的形狀與量級，不是證明第六位小數對實際操作具有重要意義。結果寫得精細，並不表示模型輸入已經知道得同樣精細。

最優化亦必須有清楚的策略範圍。我們只調整與位置無關、具有固定速率的泊松重啟，沒有比較所有確定時間表、位置感知規則或自適應策略。若直接把它稱為「最好的搜尋策略」，便會把一個精確但有範圍的結論，擴張成沒有被支持的全面主張。圖上的最低點，只回答這一族時鐘之間應該怎樣選擇，並不把其他可能的決策方法一併排除。

平均的搜尋，與特別不幸的搜尋

平均值只是描述分布的一種方法，並不是效能的唯一意思。中位數是有一半搜尋已完成的時間；第 90 百分位留下十分之一未完成，第 99 百分位則留下百分之一。對期限敏感的應用，可能更在乎其中某個尾端機率，而不是總體平均。研究者若沒有先說清楚目標，就可能在計算完全正確的情況下，選出一個不符合實際需求的策略。

零漂移、零成本的模擬得到以下經驗摘要。每一列都是 50,000 次完整搜尋；第一列的「無限大」指理論平均，而不是把某個有限的樣本算術值改成無限大。

重啟率	平均	中位數	第 90 百分位	第 99 百分位
0	無限大	1.113	30.936	2611.378
0.1	3.678	1.094	10.183	32.623
0.5	2.045	1.032	5.308	12.130
1	1.709	1.016	4.204	8.751
2.5	1.545	1.047	3.537	7.247
5	1.672	1.171	3.779	7.581
10	2.259	1.573	5.153	10.214

最明顯的變化發生在尾端，而不是原本很快就完成的搜尋。不重啟時，觀測中位數約為 1.113，第 99 百分位卻超過 2600；在重啟率 2.5 下，中位數仍接近一，第 99 百分位則降至約 7.247。換句話說，重啟最顯著的作用，是重新安排漫長等待的機率，而不只是令每一次原本已經很快的搜尋再快一點。

兩個面板分別比較樣本平均與中位數，以及完成時間的高百分位；不重啟的母體平均明確標為無限大。 — 圖 5。同一批零漂移、零成本搜尋，用不同摘要看見不同部分。橫軸位置代表七個已測試速率，不是連續線性速率刻度；連線只連接這些摘要。下圖使用對數時間軸。百分位是經驗估計，不是經證明的完成期限。

在這批測試值中，最小的觀測中位數出現在速率 1，最小的觀測平均則出現在速率 2.5。這只是在指定網格與指定樣本上的描述比較。我們沒有連續最優化母體中位數，也沒有替每個百分位建立不確定性區間。因此，相鄰中位數之間的小差距，不應被提升成「已精確找出普遍最優值」。圖 5 的價值在於提醒讀者，不同摘要可以提出不同問題，而不是利用小數點製造過度確定的排序。

尾端估計尤其需要小心。50,000 次觀測的第 99 百分位，大致對應約 500 個位於其後的觀測；這不是完全沒有尾端資訊，但也不是整條罕見事件分布都已被充分測量。當尾端下降得很慢，機率位置的一點不確定性，可能對應很大的時間差。表格顯示三位小數，只表示計算後作了這樣的四捨五入，不表示物理上已建立三位小數的準確性。

因此，正確的問題應該先於最優化器出現：我們想降低平均資源使用，讓大部分搜尋更早完成，還是減少違反期限的機會？這幾個目標可能在大部分參數區域方向一致，卻在最優點附近出現分歧。一起報告相關摘要，能讓這種分歧被看見，而不是藏在一個綜合分數後面。對決策而言，承認目標不同，比把所有表現壓成同一個排行榜更有用。

回到起點，並不是免費的

一次重啟可能需要重新設定裝置、重建狀態，或者等待下一次嘗試具備啟動條件。我們的 $c$ 只代表經過時間，不是金錢或能源。如果希望把時間成本轉成這些其他成本，便需要額外假設，例如重啟期間的耗電功率，或每次操作造成的損耗。不能因為圖上寫了「成本」，就把不同單位的代價視為同一件事。

對每一條保留下來的歷程，都有一個精確的時間分解：

T_{r,c}=T_{\mathrm{active}}+cN_{\mathrm{reset}}.

首次成功之前的失敗次數服從幾何分布，所以

\mathbb E[N_{\mathrm{reset}}]=\frac{1-p_r}{p_r}.

重啟得頻密，就會頻密地支付成本。零漂移、速率 2.5 的觀測平均重啟次數為 3.864080，解析值為 3.860488；到了速率 10，觀測平均次數升至 22.588180。單看一次操作，每次多等一小段時間似乎不算嚴重；但當它在成功之前反覆出現，總完成時間便可能主要由這些等待構成。這也是為甚麼了解「每次花多少」還不足夠，必須同時了解「平均發生幾次」。

四條解析平均完成時間曲線呈現不同重啟成本，下方面板顯示成本增加時，合適的重啟速率逐步下降。 — 圖 6。零漂移下，成本 0、0.1、0.5、1 的解析平均時間。上圖曲線的標記是最優化得到的速率，下圖則連接四個已算出的最優點作視覺引導；它不是另一批模擬，也不是擬合所得的普遍定律。

零漂移時，最優化得到以下比較：

每次重啟成本	最優速率	最小平均時間
0	2.539638	1.544139
0.1	1.510998	1.842512
0.5	0.705919	2.523783
1	0.454764	3.079879

成本愈高，給每次嘗試多一點時間便愈合理。在這幾個無漂移例子中，最優化器沒有完全放棄重啟，因為不重啟的平均仍然無限大，而任何正的有限速率都給出有限平均。然而，這個結論綁定了特定基準與平均目標，並不表示有限成本就無關痛癢，更不表示為免費重啟調好的速率，在加入成本後仍然合適。比較「有限」與「無限」只能回答一部分問題，不能替代有限值之間的實際權衡。

重啟成本從甚麼時候開始收取，也必須清楚交代。如果每次嘗試之前都收取，包括第一次，便會多出初始準備成本；如果環境在重啟期間持續改變，下一次嘗試的分布便可能與前一次不同；如果時鐘在準備期間仍繼續運行，更可能出現新的打斷方式。關於不應期的重啟文獻討論了這些區別。本文採用較簡單的安排：只在每次失敗後支付一段固定暫停時間。Evans、Majumdar 與 Schehr，2020。

搜尋時間，究竟花在甚麼地方

圖 7 不再加入另一個總分，而是拆開總時間的來源。在 $c=0.5$ 時，圖中分開呈現主動搜尋的樣本平均，以及平均重啟次數的一半。兩部分來自同一批已完成歷程，因此它們相加後恰好等於總時間的樣本平均，不需要假設兩部分彼此獨立，也不是用不同實驗的平均值勉強拼接而成。

堆疊柱把平均時間分成主動搜尋與重啟等待，下圖再把平均重啟次數與幾何分布理論比較，說明時間成本的來源。 — 圖 7。零漂移、成本 0.5 的時間分解，每個速率有 50,000 次搜尋。斜線區段是成本乘以重啟次數，不是不確定性區間。下圖比較經驗次數與幾何分布預測。柱高使用配對歷程，所以分解在樣本層次精確成立。

當某個策略表現不好，這種分解有助於找出原因。總時間很大，可能是主動遠行太久，可能是反覆準備太多，也可能兩者同時發生。不同原因指向不同的修改方向。提高重啟率，在某段範圍內可能縮短主動搜尋，卻同時增加重啟等待；只看最後的總時間，便難以分辨改善與惡化是在哪一部分產生。圖中的分解把這種抵銷直接放到讀者面前。

配對方式亦避免了一種不必要的比較雜訊。如果不同成本使用不同亂數歷程，我們看到的差距會混合兩部分：確定性的計時改變，以及兩批搜尋剛好抽得不同。固定主動歷程，便能單獨看成本效應。不過，若成本本身會改變搜尋動力學，同樣的配對就不成立。配對的理由來自模型假設，而不是因為研究者偏好更整齊、更容易比較的曲線。

甚麼時候，繼續前進才是較好的決定

現在加入方向性進展。對 $v>0$ ，不受打斷的漂移擴散搜尋具有

\mathbb E[T_0]=\frac{x_0}{v}, \qquad \operatorname{Var}(T_0)=\frac{2Dx_0}{v^3}.

無限平均的基準消失了。重啟現在必須擊敗一個有限的替代方案，而不只是把發散的期望變成有限。當 $v=1$ ，不重啟的平均是一；若重啟免費，最佳固定速率約為 1.372008，平均為 0.850953。適量重啟仍然有幫助，但改善幅度已遠小於無漂移時那種由無限變成有限的鮮明比較。基準變得可靠，介入能帶來的好處也跟著改變。

當 $v=4$ ，不重啟的平均為 0.25。對這次檢查的四種成本，最優化都選擇不重啟。例如在速率 2.5、零成本下，解析平均約為 0.292961，已經比繼續前進更慢；若成本為一，同一速率的平均則變成約 1.025365。原本能拯救漫遊搜尋的機制，現在正在打斷相對可靠的進展。並不是重啟的定義變了，而是它所介入的基礎過程變了。

漂移一與漂移四的兩個面板，將不同成本的重啟策略與有限的不重啟平均比較，保留重啟反而拖慢的結果。 — 圖 8。具有方向的搜尋控制組，初始距離與擴散係數皆為一。曲線是解析平均，標記是每組 50,000 次搜尋的平均；配色、線型與標記區分四種成本。黑色虛線是不重啟的精確平均 1 與 0.25。同一速率的各種成本重用相同主動歷程。

一個局部計算可以解釋這種轉變。假設不重啟的完成時間有有限平均 $m$ ，也有有限二階矩。把它的拉普拉斯變換在零附近展開，就能得到剛開始加入少量重啟時，平均時間的變化方向：

\left.\frac{d\mathbb E[T_{r,c}]}{dr}\right|_{r=0} =\frac{m^2-\operatorname{Var}(T_0)}{2}+cm.

用 $\mathrm{CV}=\sqrt{\operatorname{Var}(T_0)}/m$ 表示變異係數，則少量重啟改善平均的條件為

\mathrm{CV}^2>1+\frac{2c}{m}.

較大的相對變異，可以令重啟有利；準備成本則把所需的變異門檻提高。對本例， $\mathrm{CV}^2=2D/(vx_0)$ ，所以 $v=1$ 與 $v=4$ 分別位於零成本局部條件的不同兩側。當 $v=1,c=0.5$ ，一階導數恰好是零，單靠這個結果不能判斷全域最優點，仍然必須檢查完整平均曲線。導數告訴我們起步時往哪邊走，不會自動代替整條曲線的比較。

這個展開不適用於零漂移、平均無限大的情況，因為推導需要的矩在那裏並不存在。它也只是在說「加入很小的重啟率」會怎樣，不是在證明更大的速率都會更好。把這些條件保留在解釋裏，不是額外加上的管理限制，而是公式本身的意義。忽略條件，便可能把一個正確的局部判斷用到完全不同的問題上。

建議重新開始之前，應該先量度甚麼

開首的問題像是在談堅持，模型卻把它轉化成資訊與時間分配的選擇。若要把結果帶到另一個情境，首先必須確認：令每次嘗試成為「更新」的那些假設，在那個情境中是否合理。單純見到一個重新啟動按鈕，並不足以證明按下它之後，統計上的問題真的回到原點。

第一，重啟是否確實恢復同一個起始分布？會保留學習資訊的求解器、電池持續耗損的裝置，以及在準備期間不停改變的環境，都不會開始一個與原嘗試完全獨立、同分布的新副本。這些記憶可能提高重啟的價值，也可能降低它的價值。它們需要進入模型，而不是因為更新公式很好用，就把不能更新的狀態默默忽略。

第二，決策者真的只能看見已經經過多少時間嗎？本文的時鐘不看位置，也不看進展證據。如果搜尋者知道自己已接近目標，依狀態決策的策略或許能避免一次特別可惜的打斷。如果觀測只有完成時間，估計尚未完成者的剩餘等待分布便更重要。最好的策略取決於作決定當下能取得的資訊，而不只取決於事後我們可以算出的整體平均。

第三，成功究竟如何定義？我們假設目標固定而且完全吸收，第一次到達就算完成。偵測失敗、移動目標、多個可能結果，都會改變完成時間的分布。如果重啟只把搜尋者送回去，卻沒有把目標或環境恢復，整個問題就未必重新開始。「回到出發點」只是空間上的描述，真正需要恢復的是影響未來成功機會的統計狀態。

第四，真正受限制的是哪一種成本？重啟所花時間只是其中一種。能源、磨損、通訊限制，以及失去一個仍可恢復狀態的風險，都可能重要。最小化平均經過時間的策略，未必同時最小化這些代價。在不同目標之下選擇一個較慢的策略，沒有任何邏輯矛盾；矛盾只會出現在把不同目標當成同一個指標，卻又期望它們永遠選出同一答案。

最後，要怎樣分辨重啟真的有用，還是資料選擇造成了好看的結果？紀錄中應保留失敗與尚未完成的嘗試，清楚交代觀測期限，並在可比較的起始條件下比較政策。觀測樣本的不確定性，亦應與模型本身的不確定性分開處理。即使把一個不適當的更新模型模擬得非常精確，所得策略仍然可能在實際應用中給出錯誤建議。數值精度不能彌補問題定義的錯位。

結論

重新開始之所以可能令隨機搜尋更快完成，是因為累積運動不一定等於累積進展。在無漂移模型中，重啟阻止少數罕見而漫長的遠行支配平均時間；適中的速率，則在這種好處與打斷潛在成功嘗試的損失之間取得平衡。它沒有令搜尋者每一步走得更聰明，而是改變了時間如何分配給不同嘗試。

同一套計算也解釋了它的限制。過密打斷會製造大量失敗，準備時間令這些失敗變得昂貴，方向性進展則降低放棄當前嘗試的價值。而一個針對平均值的最優化器，不會自動回答期限或最慢一批搜尋的問題。把這些差別分開，才可以理解為甚麼同一個重啟動作，在不同條件下有完全不同的意義。

因此，下一個有用的問題，不只是「要不要再試一次」，而是：新的一次會從甚麼分布出發？為了得到它，要付出甚麼？我們究竟想改善哪些等待？ 這幾個問題，讓重新開始成為可檢驗的建模決策，而不只是關於堅持或放棄的一句口號。

參考文獻

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