輪流更新，為甚麼反而令系統不穩定？

想像四個群組共用兩項原本沒有差別的服務。每個群組只有在輪到自己時，才可以重新選擇使用哪一項服務。螢幕顯示兩邊有多擠迫，但資訊比當下慢了一個更新時段。沒有人希望加入較擠迫的一邊；每個人的決定，看起來都是在幫系統修正失衡。

最自然的安排似乎很清楚：先讓第一組更新，再到第二、第三、第四組，然後重複。沒有人插隊，每組得到相同數目的機會，而且機會之間的距離完全一樣。如果排程如此有秩序，系統的整體行為不是也應該慢慢有秩序嗎？

答案未必如此。更新時間不是附帶的行政安排，而是回饋機制的一部分。當一個群組根據舊資訊作出修正時，其他群組可能已經朝同一方向修正了。原本合理的反應，合起來可以變成過度反應。高度規律的更新順序，甚至可能反覆強化同一種過度反應。

稍為改變順序與間隔，就有機會改變這些修正互相組合的方式。這不一定需要增加總更新次數，也不一定需要長期偏袒某個群組。本文要檢查的，正是這種「次數一樣、時間結構不同」的差別。

以上是假想的動機，不是真實服務、學校或交通系統的實驗。下面研究的是一個刻意保持細小的數學模型。它的價值在於，令人意外的結論可以由精確證明、完整的有限搜尋與合成實驗分別核對，而不是只靠一條看起來很漂亮的模擬曲線。項目簡介提供較短的研究概要。

這個時間安排實驗發現了甚麼

在四個等大、成員固定的群組，以及一個時段的資訊延遲下，模型存在一個對稱平衡：每組都有一半選擇兩邊中的其中一邊。對整段經嚴格認證的反應強度區間

\beta\in\left[\frac{15}{4},\frac{17}{4}\right]=[3.75,4.25],

一般的輪流更新會令這個平衡不穩定。不過，改成重複以下八個時段的順序，

(1,2,3,1,4,3,2,4),

平衡便會局部指數穩定。每組仍然在八個時段內更新兩次；改變的是間隔，最長的相鄰更新間隔由四個時段增加至五個。

這個結果不只是找到一個可行例子，還有一個下界論證。四組共用每時段一次更新機會時，只要要求任何一組的最大更新間隔不超過四，排程就必須重複某個四組排列。在這個同質模型中，各種排列在動力學上等價。因此，在認證區間內，能容納平衡週期排程並使平衡局部指數穩定的最小最大間隔，確實是五。

這是一個條件清楚、範圍有限的定理，不是「少一點公平就會更好」的口號。這裏量度的是更新機會，不是服務等待時間，也不是每個群組最終得到的利益。局部穩定只處理平衡附近的小擾動，沒有保證任何起點都會回到平衡。

此外，最小間隔也不等於最快速度。上述八時段排程證明間隔五已經足夠，但我們的有限搜尋還找到另一個十二時段、同樣最大間隔五的排程，其局部收縮速度更快。先把這幾個問題分開，後面的數學與圖表才不會互相代替對方的結論。

一個可以逐項檢查的模型

令 $z_g(k)$ 表示更新時段 $k$ 開始前，第 $g$ 組選擇 A 的比例。由於四組大小相同，整體選擇 A 的比例是

x(k)=\frac14\sum_{g=1}^{4}z_g(k).

群組成員不會在每次更新時重新抽選。這一點很重要：每組當下的選擇，保留了它上一次更新留下的資訊。即使整體比例一樣，四組內部的分布也可能不同，而之後輪到不同群組更新，便會產生不同的演化。

若 $\sigma(k)$ 指定時段 $k$ 可以更新的群組，其新比例定義為

z_{\sigma(k)}(k+1)=p_\beta(x(k-1)), \qquad p_\beta(x)=\frac{1}{1+\exp[\beta(2x-1)]}.

其他三組維持原來的比例。當舊資訊顯示 A 比較擠迫，更新便偏向 B；當 A 看起來比較空，更新便偏向 A。若剛好一半人選擇 A，反應仍是一半。這是一種負回饋：反應的方向與觀察到的偏差相反。

非負參數 $\beta$ 控制反應對擠迫程度有多敏感。它不是根據真實人群估計出來的行為參數。反應曲線愈陡，輕微的擠迫差別便會引起較大的選擇變化；但反應愈強，不代表系統必然愈快恢復，因為反應所依據的資訊可能已經過時。

目前這是一個群組比例層面的確定性規則。稍後的有限人數實驗才會讓每個合成個體按照這個機率，實際選擇 A 或 B。兩個模型有關，但不能互換。尤其當反應函數非線性時，「先取平均再計算反應」通常不等於「先計算反應再取平均」。

上方反應曲線顯示反應強度四時，感知擠迫增加會降低選擇 A 的機率；下方比較當前比例與慢一個時段的比例。 — 圖 1．帶有資訊延遲的負回饋。（a）為 β=4 的指定反應函數，點線代表各佔一半。（b）從所有比例均為 0.51 開始，顯示間隔五排程最初 16 次更新的當前整體比例，以及決策使用的上一時段比例。兩幅都是模型計算，不是量度所得的人類選擇。圖例對應面板（b）。

一個很容易忽略的時間索引，會直接改變這個模型。當本時段的群組完成更新後，下一時段儲存的歷史值，必須是本次更新之前的整體比例。如果錯誤地存入更新後的新比例，就等於悄悄把原定的資訊延遲拿走。這種程式仍然可能輸出合理曲線，但它回答的是另一個問題。

因此，時段開始前的狀態包含五個數：四個群組比例，加上上一時段的整體比例。當前整體比例可以由四組計算，但舊比例需要另行保存。只要初始群組比例及歷史比例在零與一之間，這個反應規則便保持所有比例在合法範圍內。

這裏的一個時段，是讓一整組重新考慮選擇的機會，不是一分鐘、服務一名顧客，也不是完成一段旅程。各排程比較時保持這個單位不變。如果容許某個方法在同一時段多更新一組，就改變了資源預算，不能再把改善單純歸因於順序。

模型還刻意排除了其他因素：兩邊容量相同，群組大小相同，初始研究中各組反應強度相同；群組的選擇不會改變服務速度，排程也預先指定。這些簡化讓「時間安排」的影響可以被獨立檢查，但沒有證明相同參數適用於某個現實群體。

相同頻率，不等於相同間隔

「公平」一詞可以包含好幾種不同的要求。長期更新次數相同，不表示每一段時間都不會冷落某一組；限制最長間隔，也不一定要求各組更新次數相同。即使兩項都相同，如果不同群組承受的成本不一樣，仍然不能直接聲稱結果公平。

本文使用兩項可以精確計算的機會限制。第一，平衡週期排程要求每組在一個重複週期內出現相同次數。第二，硬性最大間隔 $W$ 是任何群組兩次相鄰更新索引之差的最大值，當中包括從本週期末端到下一週期開頭的間隔。

輪流更新的所有間隔都是四。指定的間隔五排程則讓每組交替經歷三及五的間隔，平均仍然是四。它沒有憑空增加機會，也沒有要求某組永久減少自己的份額；它只是容許某次機會稍早、另一次稍遲。

把週期接縫算進去不是小細節。否則，一組可以在紙面上一段排程的開頭連續得到幾次機會，看起來沒有等很久，卻把很長的空檔藏在那一段之後。真正的週期排程是不斷重複的時間序列，不是最後一個位置可以豁免檢查的一列符號。

兩個十六時段的排程都讓每組更新四次；輪流更新的最大間隔為四，替代排程包括跨週期接縫的最大間隔為五。 — 圖 2．更新預算一樣，時間安排不同。每個面板顯示 16 個時段，每組各更新四次；垂直點線分隔八時段區塊，讓跨界更新容易辨認。輪流排程重複 1,2,3,4；替代排程重複 1,2,3,1,4,3,2,4，各組循環間隔均為 3 及 5。縱軸表示被選中的群組，不是它佔用服務的比例。

最小間隔的下界，可以不用大型搜尋就看出來。假設 $W\leq4$ ，任何連續四個時段都必須包含四組。如果其中一組完全沒有出現，它前後兩次更新之間就會相隔超過四個時段。四個位置要放齊四組，所以每組恰好出現一次。

接着把這個四時段視窗向前移一格。離開視窗的是哪一組，另一端新進來的就必須是同一組，否則新視窗會有一組重複、另一組缺席。因此 $\sigma(k+4)=\sigma(k)$ ，排程必須每四個時段重複。原本看似有很多自由度的安排，其實只剩下四組的排列。

若要求 $W<4$ ，甚至無法在每個指定長度的視窗內放齊四組。因此四是機會限制上最緊而仍可行的界限。但是「可行」只表示能按時分配機會，沒有告訴我們得到機會後的反應會不會令系統穩定。

這是最佳化問題中一個值得保留的區分：先判斷哪些方案符合限制，再判斷這些方案產生甚麼動態。把公平限制本身當作穩定性保證，相當於省略了第二個問題。只有在特定模型下建立兩者之間的定理，才可以把它們連起來。

為甚麼順序會進入穩定性計算

對稱平衡是 $z_1=\cdots=z_4=x(k-1)=1/2$ 。研究小擾動時，把偏離一半的量寫成 $u_1,\ldots,u_4,h$ 。反應函數在平衡的導數為

p_\beta'(1/2)=-\frac{\beta}{2}.

因此，在一階近似下，被更新群組的新偏差等於 $-\beta h/2$ ；其他群組的偏差保持不變。下一個歷史偏差則是更新前四個群組偏差的平均。這五條關係構成每個被選群組所對應的五乘五矩陣 $A_g(\beta)$ 。

若排程週期為 $L$ ，相鄰週期邊界的小擾動滿足

u(k+L)\approx P_\sigma(\beta)u(k), \qquad P_\sigma=A_{\sigma(L-1)}\cdots A_{\sigma(0)}.

最早的更新先作用，所以矩陣寫在最右方。把乘法順序倒轉，不是相同計算的另一種寫法，而是把時間順序倒轉。一般而言，這些矩陣不交換；正因如此，只知道每組更新了多少次，並不足以知道一個週期後會發生甚麼。

可以把它類比為對一份文件作出兩個不同修訂：第二個修訂是在第一個修訂後的文件上進行。除非兩項操作互不影響，否則只說「兩項各做了一次」仍不足以重建結果。這裏，每次更新都改變某一組的狀態，而這個狀態之後會進入帶有延遲的整體資訊。

穩定性由整個週期映射的特徵值決定。若所有特徵值的模都小於一，足夠小的擾動會在反覆經過週期後指數縮小。若有特徵值在單位圓外，就有不穩定方向。剛好位於單位圓上的情況，需要額外分析，不應直接歸入穩定。

在 $\beta=4$ ，輪流更新與指定間隔五排程的每步譜半徑，數值上分別為 1.02867 及 0.97159。前者大於一，後者小於一。這些數字方便理解差別；真正建立嚴格分類的，是稍後的精確多項式計算。

微小擾動在輪流更新下逐漸形成持續震盪，間隔五軌跡則回到平衡；兩個週期映射的特徵值分別出現於單位圓外及全部位於圓內。 — 圖 3．β=4、延遲一個時段的確定性動態。（a）所有群組及歷史比例從 0.5001 開始，顯示 400 次更新。（b）比較四時段輪流排程與八時段間隔五排程的週期映射特徵值，點線是單位圓；實軸附近的相近標記可能重疊，沒有為了顯示而改動位置。比較不同週期的收縮速度時，必須換算成每步尺度，不能直接比較這些原始特徵值的大小。

每步換算尤其容易被忽略。週期較長的方法，在量度其週期映射之前，已經得到更多次更新機會。如果直接把它的原始譜半徑與短週期相比，就把收縮表現與經過的時間混在一起。因此本文比較

\gamma_\sigma=\rho(P_\sigma)^{1/L}.

這是平衡附近的漸近速度，不是保證每一組、每一時段的偏差都單調下降。不同模態可以互相干涉；即使矩陣穩定，有限時間內仍可能先放大某些擾動。精確特徵值檢查與軌跡測試不是互相取代，而是分別回答長期局部性質與具體暫態行為。

從有說服力的圖，走到精確結論

電腦報告譜半徑略低於一，不等於已經證明它嚴格低於一。接近邊界時，捨入誤差可以影響分類。更重要的是，即使幾個參數點都正確，也不能自動推出它們中間所有參數都有同一性質。

在中心值 $\beta=4$ ，兩個週期映射經非零常數縮放後的特徵多項式，分別是

f_{\mathrm{RR}}(r)=16r^5+24r^4+9r^3-3r^2+3r-1

以及

f_5(r)=256r^5-288r^4+257r^3-91r^2+11r-1.

多項式整體乘以非零常數，不會改變它的根。寫成整數係數的好處，是可以用精確算術處理穩定性，不必先把特徵值算成有限位小數。

Cayley 變換

r=\frac{1+s}{1-s}, \qquad \operatorname{Re}s=\frac{|r|^2-1}{|r+1|^2}

把「根是否在單位圓內」轉成「根是否在左半平面」的問題。代入並消去分母後，相應的縮放多項式為

h_{\mathrm{RR}}(s)=s^5+13s^3+24s^2+20s+6

以及

h_5(s)=113s^5+284s^4+309s^3+208s^2+92s+18.

對首項係數為正的實係數多項式，Routh–Hurwitz 判準透過係數組成的特定行列式，判斷所有根是否嚴格位於左半平面。間隔五多項式的五個行列式依次為

284,\quad 64252,\quad 6521720,\quad 291635812,\quad 5249444616.

五個都嚴格為正，因此中心參數的局部穩定性得到證明。這裏並不是把很多位特徵值小數當成證明，而是檢查有確定正負號的精確整數。

輪流更新的多項式則有另一個簡單論證。它沒有四次項，所以各根的和為零，各根實部的總和亦為零。如果每個實部都不大於零，就必須全部等於零。但是奇數次實係數多項式至少有一個實根；實根的實部為零，便表示根本身為零，與常數項不為零矛盾。因此至少有一個根的實部嚴格為正。

使用變換時也不能漏掉例外點。計算需要另外核對 $r=-1$ 、 $s=1$ ，以及多項式是否發生降次。若只引用變換形式卻忘記這些情況，一個看起來很完整的論證仍可能漏掉根。

精確證明在一個方向上比軌跡更強，在另一個方向上又更窄。它確定解決局部分類，卻沒有找出遠離平衡的所有吸引子，沒有證明圖中的震盪最後落在某個指定週期軌道，也沒有證明混沌。持續震盪的線圖，本身不能替這些不同的數學性質作證。

把單一參數點延伸成整段區間

本次主要擴充，是把中心值的結論延伸到有理端點的閉區間 $[3.75,4.25]$ 。選擇這兩個端點，是為了在四附近建立一段可處理的充分區間，不是預先知道它們就是穩定性的最大邊界。

對兩個排程，先保留 $\beta$ 作為符號，推導特徵多項式、Cayley 多項式及 Hurwitz 行列式。它們的係數都是有理數。要證明所需正負號在整段區間不變，計算會把多項式分解，並在有理端點使用 Sturm 序列檢查根的數目。

背後的想法並不難：若一個連續多項式在端點的符號已知，而且區間內沒有根，它就不能在中間偷偷變號。Sturm 定理讓「中間沒有根」成為精確的根數判斷，而不是把曲線畫得更密後作出的目測。端點本身為零、偶數重根等情況，都需要獨立處理。

間隔五排程的首項係數及五個 Hurwitz 行列式，在整段區間保持嚴格為正。輪流排程的第二個行列式則保持嚴格為負。後者不只是「某個嚴格穩定測試沒有通過」，而是可以用來排除所有根實部均不為正的可能。

理由是：假設所有根的實部都不大於零，把 $h(s)$ 改成 $h(s+\varepsilon)$ ，任何正的 $\varepsilon$ 都會令全部根嚴格移到左半平面。此時所有 Hurwitz 行列式都應為正；當 $\varepsilon$ 趨近零，連續性要求它們的極限不為負。原來第二個行列式嚴格為負，便構成矛盾。

數值每步譜半徑在不同反應強度穿越一，另一面板則單獨標示由精確多項式方法認證的 3.75 至 4.25 整段區間。 — 圖 4．數值探索與精確認證回答不同問題。（a）顯示每種排程各 161 點 β 掃描的一部分，點線為單位半徑，陰影標示 [3.75,4.25]；標記選出部分計算點，連線連接原有網格。（b）標示經精確多項式符號檢查認證的整段有理區間。這段區間沒有被稱為最大的可能穩定區間。

數值掃描為這兩個固定排程找到約 3.56033 及 4.43875 的穿越位置。它們是有用的探索線索，不是定理的精確端點。網格可能漏掉很窄的穩定區域，也可能漏掉只接觸邊界而沒有變號的情況；曲線看起來平滑，仍然不等於證明了單調性。

把區間認證與前面的排程論證結合，便得到整段區間內 $W_{\min}=5$ 。明確構造一個穩定排程，提供上界；證明 $W\leq4$ 必須是等價的輪流排程，提供下界。兩部分缺一不可，不能用「搜尋沒有找到更好的」替代不可能性的證明。

最小的放寬，不是最快的收縮

精確的最小間隔定理留下了另一個問題：在可接受的間隔限制之內，擾動到底可以多快消退？證明某個排程存在，只保證做得到，並沒有保證它是效率最好的安排。

我們完整枚舉每組各出現兩次的 2,520 個八時段平衡序列。在 $\beta=4$ ，數值分類有 1,344 個穩定、408 個不穩定，以及 768 個位於數值邊界。邊界個案完整保留，沒有因為想增加成功比例而把它們改列為穩定。

當精確最大間隔分別是四、五、六、七時，該有限集合中最好的每步譜半徑依次為 1.02867、0.97159、0.96388、0.89909。這些數字只描述指定長度的完整集合，不是任意長度排程的最佳值。

最大間隔決定哪些排程可以進入設計空間，但實際排列仍然決定矩陣乘積。放寬一個容許上限會增加候選，不表示每個新加入的候選都有好處。同一個最大間隔也可能對應不同的收縮速度；只用一個公平指標，無法還原完整的時間結構。

我們再檢查每組各出現三次的 369,600 個十二時段平衡序列，保留其中全部 1,488 個循環最大間隔不超過五的候選。這批候選有 1,176 個數值穩定、312 個不穩定，沒有個案被分類為數值邊界。

所有八時段排程按最大循環間隔分組，另一面板比較八時段與十二時段搜尋中最大間隔五的最佳每步譜半徑。 — 圖 5．間隔可行性與收縮速度是不同目標。（a）保留 β=4 時全部 2,520 個八時段平衡排程；細小水平偏移分開相同間隔的紀錄，相同半徑在垂直方向仍然重合。位於單位點線的個案未由數值分類器判定穩定。（b）比較已枚舉的最大間隔五最佳速度：八時段為 0.97159，十二時段為 0.90180。這兩次有限搜尋，不表示已證明對所有週期長度的趨勢。

較快的十二時段構造為

(1,2,1,3,4,3,2,1,2,4,3,4).

它的每步譜半徑為 0.90180，在 $\beta=4$ 的穩定性亦通過精確有理證書。它沒有改善最小可行間隔，因為間隔仍然是五；它改善的是所搜尋排程類別中的收縮速度。

這個例子提醒我們，不應在找到第一個成功構造後，就把它當成完整設計答案。存在性證明與效率最佳化是兩項工作。反過來，一個表現很好的搜尋勝出者，也不能因為贏過眼前的候選就被稱為全域最佳。

循環移動起點及重新標記群組，可能令搜尋中出現動力學等價的紀錄。這裏保留未約簡的枚舉，方便清楚交代每一個候選。把序列反轉卻不是自動成立的等價關係：它改變了延遲更新的時間方向，沒有另外證明之前，不能拿來縮減搜尋。

不再只是微小擾動，會發生甚麼

局部理論自然引出一個質疑：穩定的排程，會不會只在非常細小的鄰域內有用？我們用較多初值檢查這個問題，但不把有限次嘗試包裝成全域吸引的證明。

七個常數初始比例分別為 0.5001、0.51、0.49、0.7、0.2、0.95、0.05。常數初始表示四組及儲存的歷史比例一樣；當中既有非常靠近平衡的擾動，也有偏離一半很多的狀態。

另外加入三種非常數狀態：四組交替為 $0.51,0.49,0.51,0.49$ ；交替為 $0.7,0.3,0.7,0.3$ ；以及四組當前比例全部為 $0.5$ ，但歷史整體比例為 $0.6$ 。前兩種的歷史比例都是 $0.5$ 。這些是明確指定的合法初始狀態，不表示它們一定來自某條過去已達平衡的軌跡。

每種初始狀態都在輪流排程的四個起始相位，以及間隔五排程的八個起始相位下測試，合共 120 條主要軌跡。「相位」只是從重複順序中的哪個位置開始，不是新增一個獨立隨機樣本。

每條軌跡計算 6,000 個時段，以最後 2,000 個時段定義末段統計量。40 個輪流更新個案的末段 RMS 失衡介乎 0.12614 至 0.12622。80 個間隔五個案的記錄末段，全部到達數值上恰好各佔一半的狀態。

後面這個零需要小心閱讀。它是浮點計算的觀察，表示在電腦表示精度下，狀態已經與平衡相同；它不證明精確的數學軌跡會在有限時間內完全抵達平衡。以指數方式逼近平衡，與在某一步之後誤差嚴格為零，是不同的敘述。

四十個輪流排程初值與相位個案保留約 0.126 的失衡，八十個間隔五個案則到達浮點平衡，最大狀態誤差隨更新衰減。 — 圖 6．有限的穩健性檢查，不是全域定理。（a）保留 β=4、延遲一的全部 40 個輪流及 80 個間隔五個案，RMS 使用 6,000 個時段中的最後 2,000 個；水平展開只用於分開紀錄，相同數值仍垂直重合。（b）顯示每種排程所有個案中最大的狀態絕對偏差，截取最初 1,600 個時段；零誤差不放在對數曲線上，末段零值表示浮點平衡。

如果只看整體比例的時間平均，很容易看不出這個差別。系統可以在一半以上及以下停留差不多時間，平均非常接近一半，卻一直大幅擺動。RMS 先平方偏差再平均，因此不會讓正負偏差互相抵銷。

這批初值涵蓋大小不同的擾動，仍然只是有限集合。它們沒有窮盡所有群組分布與歷史狀態。若要建立全域結論，仍然需要控制整個非線性映射的額外數學工具，例如不變吸引區域或適當的 Lyapunov 函數。增加幾條看起來正常的軌跡，不能替代這一步。

當群組由一個個個體組成

確定性的群組比例可以恰好是一半。有限個體作出的卻是離散選擇，而且每次重新選擇都會引入抽樣波動。因此，比例模型的穩定不表示有限人數系統會完全沒有噪聲。

我們模擬 60、120、480 個合成個體，平均分成四個固定群組。當一組被選中，組內每個個體都按模型機率獨立選擇 A；未被選中的群組保持原選擇。每次運算為 3,000 個時段，以最後 1,000 個時段計算 RMS 與成本。

四種策略分別是輪流更新、指定的間隔五排程、每時段獨立均勻抽選下一組的 IID，以及在每個四時段區段開始時重新隨機排列四組。每個人數與策略組合都有 20 個獨立 seed 層面的運算，同質群組合共 240 次。

在相同 seed 與相同人數內，各策略共用初始選擇及對齊的行為亂數串流。排程的隨機性使用另一條串流，避免「抽選下一組」消耗了原本用來決定個體選擇的亂數。這種配對能減少比較中不必要的抽樣差異，但不同群組開始更新後，各策略的實際歷程仍然會分開。

這些 seeds 已經在開發階段使用，因此其結果繼續屬於探索性證據。把同一批已看過的情況重跑得更完整，並不會把它們變成新的獨立確認資料。統計上的重複單位是一條完整運算，不是其中每一個高度相關的時間點。

在 $N=120$ 時，各策略的 seed 層面 RMS 平均為：

策略	平均 RMS 失衡	硬性最大更新間隔
輪流更新	0.13056	4
間隔五	0.06772	5
IID	0.05052	沒有有限的確定性上限
每輪重排	0.07103	7

間隔五相對輪流更新有明顯改善，但不是這個實驗中 RMS 最小的方法；IID 更低。如果把這個結果刪掉，故事會比較簡單，科學資訊卻會更少。真正的問題是，我們願意用甚麼機會保證去換取較低的平均失衡。

間隔五、IID 及每輪重排的平均失衡隨人數增加而降低，配對區間顯示三種人數下間隔五均低於輪流更新。 — 圖 7．β=4、延遲一的有限人數比較。（a）報告每種策略與人數下 20 個 seed 層面末段 RMS 的平均，不是先混合軌跡再求 RMS。（b）為間隔五減輪流更新的配對差異，95% percentile bootstrap 區間由 20 對獨立 seed 結果重抽 2,000 次得到；負值表示間隔五在此指標較佳。人數是離散實驗設定，連線只作視覺引導。

在 $N=120$ ，間隔五減輪流更新的平均配對 RMS 差異是 −0.06284，探索性的 95% bootstrap 區間為 [−0.06570, −0.06014]。在 $N=60$ 及 $N=480$ ，平均差異分別為 −0.05250 及 −0.08847。

這些區間描述在重抽樣假設下，有限運算比較本身的不確定性。它們不是精確穩定性定理的信賴區間，也不是對未觀察人類群體的表現保證。確定性證明與隨機實驗都值得做，但不能因為同時出現在一篇文章，就把證據層次合併。

成本指標同樣刻意保持透明：

c(x)=x^2+(1-x)^2=\frac12+2(x-\tfrac12)^2.

對每次運算而言，平均成本等於一半，加上兩倍末段 RMS 的平方。計算直接核對了這項恆等式。因此「成本較低」與「RMS 較低」並不是兩項獨立支持，而是在這個假設成本函數下，代數上連在一起的結果。

這個成本可以用來比較模型內的失衡代價，卻不是量度所得的排隊時間。如果現實服務成本不是這種對稱二次形式，便需要重新定義目標函數，而不是把模型成本的下降直接翻譯成節省了多少分鐘。

隨機性的好處，也有其代價

IID 在機率上對四組一視同仁，但沒有有限的硬性最大間隔。某一組連續很多次都沒有被抽中的機率雖然愈來愈小，對任何有限長度仍然可以為正。長期期望頻率相同，不能代替一項每次都必須履行的機會保證。

每輪重排介乎完全規律與 IID 之間。每組在一個四時段區段中恰好出現一次，但某組可以在這一輪排第一、下一輪排最後；兩次更新索引便相隔七。因此它的硬性最大間隔是七，不是四。若只檢查每輪內部，這個最長空檔就會消失在兩輪之間。

在 20 條長度為 3,000 的 IID 排程中，每條最大的已完成觀察間隔介乎 22 至 42。這個統計排除了起點與終點尚未完整觀察到的間隔。因此它不能建立「最大不超過 42」的保證，也不能排除另一條運算出現更長空檔。

三種人數設定共用了同一批排程亂數串流，所以觀察到相同的間隔範圍是預期之內，不是三次互相獨立的間隔分布發現。個體選擇的抽樣波動，與分配更新機會的時間模式，是兩個不同的變異來源。

結論因此不是「一律隨機化」。如果要求任何一組兩次更新之間都不能相隔超過五個索引，那麼 IID 及每輪重排就不是滿足相同限制的替代方案。它們較好的平均表現仍有研究價值，但不能在比較時把較弱的機會保證省略。

這個結果在哪裏不再適用

我們再逐一改變兩項假設。第一，在 $N=120$ 時，把四組的反應強度分別乘以 0.85、0.95、1.05、1.15。使用相同四策略與 20 seeds，新增 80 次合成運算。平均 RMS 分別為輪流 0.12767、間隔五 0.06740、IID 0.04989、每輪重排 0.07252。

第二，在確定性模型中把資訊延遲改成零及二，從常數比例 $0.51$ 開始，仍然計算 6,000 個時段，取最後 2,000 個作比較。沒有延遲時，兩個週期策略都到達浮點平衡。延遲為二時，末段 RMS 分別是 0.24816 及 0.20366；原來的間隔五構造在這個測試中不再消除持續失衡。

三個面板分別比較反應異質性、零至兩個時段的資訊延遲，以及觀察更新間隔，顯示較低失衡和機會間隔保證是不同要求。 — 圖 8．模型改變與機會限制。（a）比較 N=120 的同質（實心）及異質（空心）群組，各策略各 20 次；反應倍率為 0.85,0.95,1.05,1.15。各策略的顏色及標記形狀在所有面板一致。（b）只改變確定性模型的資訊延遲，從 0.51 開始，取 6,000 個時段中的最後 2,000 個；輪流為圓點虛線，間隔五為方點實線。（c）保留每條 3,000 時段排程的最大已完成觀察間隔，垂直線是樣本範圍，不是信賴區間。RR 表示輪流，Shuffle 表示每輪重排。

這些結果阻止了兩個很容易出現的推論捷徑。一個異質設定中仍然維持大致相同的表現排序，不表示任意群組差異都有同一結論。反應強度不同會改變導數矩陣，也破壞同質模型下用來證明排列等價的群組標籤對稱性。

另一方面，當延遲增加，某個方法仍然比基準好，不表示它仍然穩定。相對改善與絕對穩定是兩件事。較小的持續震盪不是收斂，正如預測區間覆蓋率有所改善，也不等於已達到所要求的可靠程度。

這也是為甚麼穩健性測試應該保留不利結果。若只展示反應異質性下仍然好看的比較，卻省略延遲為二的情況，讀者就很容易把一個受條件限制的定理，理解成一項到處適用的排程建議。

與既有研究的關係

更新時間與延遲互動並不是沒有歷史的問題。Mosetti、Challet 與 Solomon 研究過如何在保留全局報酬結構下，讓 minority games 的互動不同步。他們的適應性策略學習，與這裏固定的 inverse-logistic 群組反應不同，但提醒我們時間組織本身會影響集體行為，不能只把它當作實作細節。非同步 minority games 原文。

Colombo 等人的工作把網絡系統同時穩定化，連到受限制排程與最長斷線間隔，並設計自行觸發的通訊規則。這提供了很接近的排程視角，但其分別受控的節點、Lyapunov 條件與通訊設計，不等於這裏透過同一個延遲整體比例耦合的群組。指出差別，是為了知道轉用定理前要核對甚麼，不是藉此宣稱本文構造具有原創性。受限通訊下的同時穩定化研究。

較近期的研究也討論分散式均衡搜尋中的隨機重排，以及負載平衡中「行動延遲」與「資訊延遲」的不同。不能因為它們都提到 delay 或 update，就把機制合併。本模型是決策使用舊資訊，一旦輪到該組，執行本身便立即完成。隨機重排研究、行動延遲研究。

本文呈現的是經獨立核對的模型結果、精確參數區間擴充，以及範圍清楚的計算比較。它不聲稱研究優先權，不是已接納論文，也不是一項已在現場驗證的干預。把數學工作做完整，與確認文獻原創性或實務有效性，仍然是不同任務。

下一個值得檢驗的問題

一個數學方向是擴大認證區間。這需要進一步處理精確邊界，而不是只在圖中增加掃描點。另一個方向是在保持間隔限制時改善收縮速度。十二時段例子已經說明週期長度值得研究，但沒有說明還剩下多少改善空間。

第三個方向是有限人數的理論。確定性定理描述的是沒有持續抽樣噪聲的比例模型；當個體不斷重新作出隨機選擇，較合適的目標可能是平穩失衡的上界，或者大偏離事件的機率。這需要隨機分析，不能直接以平均更新矩陣的特徵值替代。

如果想把模型連到實際情境，還需要反應規則與資訊結構的證據。人們反應的是當下擠迫、舊報告、預期服務時間，還是別人的選擇？群組成員是否固定？不同更新的成本是否相同？有用的模型擴充應該逐一處理這些問題，而不是把增加複雜度本身當成驗證。

在那些工作完成之前，已經有一個設計上的提醒：排程至少要同時回答誰得到機會、兩次機會之間可以隔多久，以及機會帶來的反應如何影響系統。某個方法可以改善其中一項，同時在另一項付出代價。如果沒有說明限制，就直接宣佈唯一勝出者，真正需要作出的取捨反而被藏起來。

結論

在這個帶資訊延遲的雙選項模型中，最均勻的輪流更新可行、對稱，卻不能穩定系統。把最大更新間隔由四放寬至五，能提供足夠的排程自由度，在 $\beta\in[3.75,4.25]$ 整段區間內令對稱平衡局部指數穩定，而且不需要增加任何群組的長期更新份額。

最有力的部分，是下界論證與明確穩定構造互相配合。最有用的補充，則是更快的十二時段排程、IID 較低失衡背後缺少硬性間隔保證的代價，以及資訊延遲改變後原來表現不再成立的反例。

公平的排程不只有次數。在回饋系統中，機會出現的順序與間隔，也會共同決定這些機會究竟帶來甚麼。

參考文獻

Mosetti, G., Challet, D., and Solomon, S. (2009). Structure-preserving desynchronization of minority games. European Physical Journal B, 71, 573–577.
Colombo, A., Bahraini, M., Zanon, M., and Falcone, P. (2024). Simultaneously Stabilizing Networked Systems with Minimal Communication. IEEE Transactions on Automatic Control, 69(6), 3589–3601.
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