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學習・解釋・訂正

設 k=2，且方程組有多於一個解。求 p、q、r 的關係；再於 p=5、q=1、r=−4 時解方程組。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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專題 01

2021 JM02

須寫出自由參數範圍及相容條件；一組特解不是完整答案。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 鞏固#獨立練習

設 k=2，且方程組有多於一個解。求 p、q、r 的關係；再於 p=5、q=1、r=−4 時解方程組。

(E):\begin{cases}kx+y-z=p\\x+ky+z=q\\-x+y+kz=r\end{cases}

官方試卷 · jm02-2021 · 5(b)(ii) · PDF 7

官方原卷及參考答案 ↗ · 參考答案 PDF 頁 12

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

k=2 時，第二係數行等於第一及第三行之和。

提示 2

檢查右方關係後，以 z 為自由參數。

完整解答

係數的相依關係要求右方有相同關係。
$R_2=R_1+R_3\implies q=p+r\iff p-q+r=0$
前兩行獨立，因此此條件亦充分，並留下一個自由變量。
$\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}=3\ne0$
指定右方相容；設 z=t，解前兩式。
$5-1-4=0,\quad2x+y-t=5,\quad x+2y+t=1$
代入後也符合第三式。
$(x,y,z)=(3+t,-1-t,t),\quad t\in\mathbb R$

p−q+r=0；指定值的解為 (x,y,z)=(3+t,−1−t,t)，t∈ℝ。

檢查與易錯點：須寫出自由參數範圍及相容條件；一組特解不是完整答案。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
係數的相依關係要求右方有相同關係。
$R_2=R_1+R_3\implies q=p+r\iff p-q+r=0$
前兩行獨立，因此此條件亦充分，並留下一個自由變量。
$\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}=3\ne0$
指定右方相容；設 z=t，解前兩式。
$5-1-4=0,\quad2x+y-t=5,\quad x+2y+t=1$
代入後也符合第三式。
$(x,y,z)=(3+t,-1-t,t),\quad t\in\mathbb R$

先思考，待同學準備好再展開提示。