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學習・解釋・訂正

對所列方程組，k、p、q、r 為常數。求使解唯一的所有 k。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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專題 01

2021 JM02

行列式為零時，須再檢查相容性，才能區分無解與無限多解。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 鞏固#獨立練習

對所列方程組，k、p、q、r 為常數。求使解唯一的所有 k。

(E):\begin{cases}kx+y-z=p\\x+ky+z=q\\-x+y+kz=r\end{cases}

官方試卷 · jm02-2021 · 5(b)(i) · PDF 7

官方原卷及參考答案 ↗ · 參考答案 PDF 頁 11

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

使用係數行列式。

提示 2

把 k 的三次行列式分解。

完整解答

沿第一行展開。
$\det A=k(k^2-1)-(k+1)-(k+1)=k^3-3k-2$
方陣系統對任意右方均有唯一解，恰好要求此行列式非零。
$\det A=(k+1)^2(k-2)\ne0\iff k\ne-1,2$

所有實數 k，但排除−1及2。

檢查與易錯點：行列式為零時，須再檢查相容性，才能區分無解與無限多解。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
沿第一行展開。
$\det A=k(k^2-1)-(k+1)-(k+1)=k^3-3k-2$
方陣系統對任意右方均有唯一解，恰好要求此行列式非零。
$\det A=(k+1)^2(k-2)\ne0\iff k\ne-1,2$

先思考，待同學準備好再展開提示。