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學習・解釋・訂正

用數學歸納法證明此式對所有正整數 n 成立。

先理解概念，獨立嘗試，再解釋想法如何改變。

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專題 01

2021 JM02

歸納證明不須除以 sin x。

試一試，把思路寫下來。

每次只看一個提示。訂正時記錄想法如何改變，不只抄下答案。

01 / 鞏固#獨立練習

用數學歸納法證明此式對所有正整數 n 成立。

2\sin x[\cos x+\cos3x+\cdots+\cos(2n-1)x]=\sin2nx

官方試卷 · jm02-2021 · 4(c)(i) · PDF 6

官方原卷及參考答案 ↗ · 參考答案 PDF 頁 11

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

用正弦倍角公式檢查 n=1。

提示 2

歸納步驟新增 2sin x cos((2k+1)x)。

完整解答

起始情況對每個實數 x 成立。
$n=1:\quad2\sin x\cos x=\sin2x$
假設命題對某固定正整數 k 成立。
$2\sin x\sum_{j=1}^k\cos(2j-1)x=\sin2kx$
由和角公式得到可相消的增量。
$2\sin x\cos(2k+1)x=\sin(2k+2)x-\sin2kx$
把新增項加到歸納假設，原右方相消。
$2\sin x\sum_{j=1}^{k+1}\cos(2j-1)x=\sin2(k+1)x$
由起始情況及歸納推論，此式對所有正整數 n 成立。

此式對所有 n≥1 及每個實數 x 成立。

檢查與易錯點：歸納證明不須除以 sin x。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
起始情況對每個實數 x 成立。
$n=1:\quad2\sin x\cos x=\sin2x$
假設命題對某固定正整數 k 成立。
$2\sin x\sum_{j=1}^k\cos(2j-1)x=\sin2kx$
由和角公式得到可相消的增量。
$2\sin x\cos(2k+1)x=\sin(2k+2)x-\sin2kx$
把新增項加到歸納假設，原右方相消。
$2\sin x\sum_{j=1}^{k+1}\cos(2j-1)x=\sin2(k+1)x$
由起始情況及歸納推論，此式對所有正整數 n 成立。

先思考，待同學準備好再展開提示。