求 y=−x²+3x 與 y=2x³−x²−5x 圍成的總面積。

01 / 鞏固#獨立練習

官方試卷 · jm02-2021 · 2(b) · PDF 4

考點與先備課節

計算過程與解釋

逐步建立思路

提示 1

求所有交點橫坐標。

提示 2

上方曲線在 x=0 處改變，須分段積分。

完整解答

令兩縱坐標相等並分解。
$2x^3-8x=2x(x-2)(x+2)=0\implies x=-2,0,2$
(−2,0) 上三次曲線在上；(0,2) 上二次曲線在上。
$A=\int_{-2}^0(2x^3-8x)\,dx+\int_0^2(8x-2x^3)\,dx$
計算兩個非負面積部分。
$A=[x^4/2-4x^2]_{-2}^0+[4x^2-x^4/2]_0^2=8+8=16$

總面積為16。

檢查與易錯點：只在 [−2,2] 作一次有向積分，會令兩個區域相消。

推理清單・自評／教師評核

以下為自編教學評核清單；官方分值以原卷為準。
令兩縱坐標相等並分解。
$2x^3-8x=2x(x-2)(x+2)=0\implies x=-2,0,2$
(−2,0) 上三次曲線在上；(0,2) 上二次曲線在上。
$A=\int_{-2}^0(2x^3-8x)\,dx+\int_0^2(8x-2x^3)\,dx$
計算兩個非負面積部分。
$A=[x^4/2-4x^2]_{-2}^0+[4x^2-x^4/2]_0^2=8+8=16$

先思考，待同學準備好再展開提示。

2021 JM02