Kenneth Cheng數學建模

研究筆記

重新劃分星座：球面階層聚類與圖形辨識

以大圓距離、亮度權重、階層聚類及幾何特徵，探索另一種組織天球恆星的方法。

2025年11月22日 · 約 1 分鐘閱讀

封存文章

這是數學與視覺知覺實驗，不是取代國際天文聯會 88 星座邊界的提案。星座名稱與線條具有文化脈絡，不能由聚類分數裁定。

若把赤經、赤緯直接放進平面 Euclidean 聚類，會在 0∘/360∘0^\circ/360^\circ 邊界產生錯誤。天球上的自然距離是大圓距離。

球面表示

將赤經 α\alpha、赤緯 δ\delta 轉成單位向量：

x=(cos⁡δcos⁡α,cos⁡δsin⁡α,sin⁡δ).\mathbf x =(\cos\delta\cos\alpha, \cos\delta\sin\alpha, \sin\delta).

兩星的角距為

dij=arccos⁡ ⁣(clip⁡(xi⊤xj,−1,1)).d_{ij} =\arccos\!\left( \operatorname{clip}(\mathbf x_i^\top\mathbf x_j,-1,1) \right).

用 clip 可避免浮點誤差令反餘弦超出定義域。

亮度與聚類

星等越小越亮。若要讓亮星成為視覺錨點，可改變樣本權重或距離，但不能把星等本身當成線性亮度。通量比為

F1F2=10−0.4(m1−m2).\frac{F_1}{F_2} =10^{-0.4(m_1-m_2)}.

以預先計算的大圓距離進行凝聚式階層聚類，再掃描群數 KK。Silhouette score 可衡量群內與群間距離，但它偏好幾何緊密群，不等同人類看見有意義圖案。

約束

候選星座可限制：

  • 最少與最多恆星數；
  • 最大角直徑；
  • 至少一顆肉眼可見亮星；
  • 群之間最低分離；
  • 北極星等導航錨點的指定規則。

分裂過大群與合併過小群後，要重新計算所有指標；迭代修補未必保留原聚類最優性。

圖形辨識

把每群投影到局部切平面後，建立最小生成樹或近鄰圖。可提取：

  • 主成分長寬比；
  • 節點度數；
  • 轉角及邊長分佈；
  • 凸包面積與對稱度。

「線、三角、弧、十字」等名稱只是一個有限分類器。信心分數應由標註資料校準；自動生成文化名稱則需要人文審閱。

驗證

用合成球面群測試邊界與極區；對星等截點、連結方法和 KK 做穩定性分析；再讓不同文化背景的觀察者進行盲評。比較 IAU 系統時要承認 IAU 星座是完整天區邊界，而本模型只聚類選定恆星。

參考資料

  1. International Astronomical Union, The Constellations.
  2. Murtagh and Contreras, hierarchical clustering algorithms survey.
  3. Rousseeuw, “Silhouettes,” Journal of Computational and Applied Mathematics, 1987.
  4. Hipparcos/Tycho and Gaia catalog documentation.