自主衛星避碰：多代理軌道動力學與微分博弈

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本文是合成 conjunction 的數學示範，沒有使用營運商的軌道協方差、指揮鏈或真實機動限制，不能用來發出避碰指令。

兩顆衛星預測接近時，若雙方都假定對方不動，可能過度耗油；若雙方都等待，又可能錯失窗口。這是一個具有共同安全目標、但燃料與責任各自不同的策略互動。

相對動力學

在近圓參考軌道的 LVLH 座標，可用 Clohessy–Wiltshire 線性模型：

\dot x=Ax+B_1u_1+B_2u_2+w.

$x$ 包含相對位置與速度， $u_i$ 是機動加速度。對高偏心、長時間或大機動情境，應改用非線性 Cartesian 傳播並加入 $J_2$ 、阻力及導航誤差。

最近接近時間由相對軌跡求得。安全不能只看名義 miss distance；需把兩物體位置協方差投影到 encounter plane，計算碰撞概率

P_c=\iint_{\mathcal B} \mathcal N(r;\mu,\Sigma)\,dr.

硬體半徑、協方差一致性及追蹤更新都會顯著改變 $P_c$ 。

玩家 $i$ 的成本可設為

J_i =x(T)^\top Q_{iT}x(T) +\int_0^T \left( x^\top Q_ix+u_i^\top R_iu_i \right)dt.

在線性二次情況，Nash 反饋策略由耦合 Riccati 方程產生。終端安全成本要以合適符號和座標構造；若只懲罰距離平方，反而會偏好接近原點。實務上可用安全橢球障礙或 chance constraint。

星座中每顆衛星只與威脅圖上的鄰居交換資訊。局部求解後仍要檢查機動是否製造新的 conjunction。分散式協議需處理通訊延遲、不同營運商優先級及一方不合作。

早期小幅機動通常比最後一刻大推力有效，但會增加軌道恢復與任務擾動。性能要同時報告：

以高保真軌道傳播器重播；對協方差尺度、推力誤差和更新延遲做蒙地卡羅；再與單邊機動和現行規則基準比較。任何自動化必須保留人工授權、可撤回命令與失聯安全模式。

Clohessy and Wiltshire, “Terminal Guidance System for Satellite Rendezvous,” 1960.
NASA, Spacecraft Conjunction Assessment and Collision Avoidance Best Practices Handbook.
Basar and Olsder, Dynamic Noncooperative Game Theory.
Chan, Spacecraft Collision Probability.