Kenneth Cheng數學・模型・思考
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互動教學例子

改變一個假設，觀察模型如何改變答案。

十四個互動實驗把方程連到行為、推論與決策。先按目的選擇，再改變一個假設，檢查哪些結論仍然成立。

模型索引

由問題開始，而非由公式開始。

按問題類型及學習階段篩選。每個入口直接開啟相應語言的互動實驗。

顯示 14 / 14 個實驗

01・離散動力學

Logistic 增長與承載量

Pn+1=Pn+rPn(1−PnK)P_{n+1}=P_n+rP_n\left(1-\frac{P_n}{K}\right)

種群較少時，增長項較大；當狀態接近承載量時，增長項減弱： K。較大的增長率可以造成超越平衡值及交替修正。

最後種群數量
—
最高種群數量
—
首次達到 K 的 90%
—

值得檢查的問題初始種群加倍，達到以下數量所需時間會否減半：承載量的 90%，即 K?以下參數在甚麼數值時： r 會令平穩收斂變成交替收斂？

02・耦合微分方程

指定介入時機的 SIR 動態

dSdt=−βSIN,dIdt=βSIN−γI,dRdt=γI\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=-\frac{\beta SI}{N},\qquad \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}=\frac{\beta SI}{N}-\gamma I,\qquad \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t}=\gamma I

模型把固定的 1,000 人分成易感、感染及移除三組。在指定介入日，傳播參數 β 按所選百分比減少。

初始 R₀
—
感染高峰人數
—
高峰日
—

值得檢查的問題較遲但較強的介入，會否產生比提早而適度介入更高的感染高峰？感染期不確定時，哪項結論會改變？

這是刻意簡化的教學模型，不能用作流行病預測或醫療建議。

03・尺度與分解

為何煞車距離增長得比速度更快

d(v)=vtr+v22μgd(v)=vt_r+\frac{v^2}{2\mu g}

反應距離隨速度線性增加；制動距離則隨速度的平方增加。把兩部分分開，可看出速度只增加少許，總停車距離也可能增加很多。

反應距離
—
制動距離
—
總停車距離
—

值得檢查的問題速度加倍，總停車距離會否加倍？甚麼情況下，反應時間比路面摩擦更重要？

公式是水平路面及固定摩擦下的課堂基準。實際停車距離還受坡度、輪胎、煞車、天氣、感知及駕駛行為影響。

由操作走到證據

滑桿改動提出一項假設，結論仍需證據支持。

每個例子記錄一項預測、一項參數改動、一項觀察及一項限制，把操作整理成一個小型建模實驗。

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