這個課程是我數學建模教學的主幹。工作檔案包含 12 節主課、10 節數學基礎補充、5 節競賽寫作課、189 個完整例題、82 組練習及 8 個小型教學資料集。課堂檔案仍屬教學材料；本頁呈現課程設計，而非公開整個檔案庫。
課程反覆追問：在一個數學結果成為可辯護模型前，學生必須理解、產生及檢查甚麼？
課程架構
路線 A — 問題定義與經驗模型
首四課由含糊情境走到可與證據比較的模型。
| 課節 | 核心數學 | 建模判斷 |
|---|---|---|
| 1. 離散模型 | 比例、遞推、離散 logistic 與 SIR | 決定狀態變數與更新規則代表甚麼 |
| 2. 尺度關係 | 煞車距離、變數轉換、相似性、強度與重量 | 把寬泛問題變成可量度目標 |
| 3. 模型擬合 | 最小二乘、殘差、誤差量、線性化 | 分開擬合質素與結構合理性 |
| 4. 插值 | 線性及多項式插值、差分、樣條 | 按資料形狀與用途選方法 |
教學資料涵蓋彈簧—質量、煞車距離、感測器、容量曲線、Kepler、logistic 增長與 SIR 介入。每個資料集都足夠細小，學生可先手算檢查，再進入程式。
路線 B — 約束與不確定性下的決策
第五至八課把計算視為比較決策的方法，而非單純製造輸出。
| 課節 | 核心數學 | 建模判斷 |
|---|---|---|
| 5. 模擬 | 隨機輸入、Monte Carlo、離散事件排隊 | 分辨一次運行與穩定決策 |
| 6. 線性最佳化 | 可行域、約束、鬆弛、整數決策 | 解釋每項約束的情境意義 |
| 7. 決策理論 | 期望值、決策樹、Bayes 更新、EVPI、後悔值 | 令建議配合可用資訊 |
| 8. 博弈論 | 純策略、混合策略、優勢、Nash 均衡 | 指出模型表示誰的誘因 |
每課均有核心練習、建模挑戰及延伸路線，讓學生共享概念主線，同時保持不同程度的數學自主。
路線 C — 動態、連續與定性模型
第九至十二課擴闊模型種類，並要求學生明確說明方法選擇。
| 課節 | 核心數學 | 建模判斷 |
|---|---|---|
| 9. 微分方程 | 增長、衰減、速率平衡、Euler、Heun、RK4、相平面 | 檢查步長、穩定性與外推 |
| 10. 連續最佳化 | EOQ、梯度、Hessian、Lagrange 乘子、數值搜尋 | 解讀局部最優與受限取捨 |
| 11. 量綱分析 | 量綱相容、Buckingham Pi、縮放與相似 | 用單位揭露不完整模型 |
| 12. 圖像模型 | 軍備競賽、企業行為、稅負、離散更新 | 對定性模型作有紀律結論 |
目的不是蒐集技巧，而是比較每種表示揭示甚麼、隱藏甚麼，以及如何失敗。
互動模型實驗室
互動模型實驗室提供可搜尋入口。三個基礎例子直接連接主課程：
- 離散 logistic 模型：均衡、越界與收斂；
- SIR 模型：傳播、康復、介入時間與需求峰值；
- 煞車距離模型：線性與二次尺度。
每個例子把控制器、即時圖像、計算量、解讀與測試問題放在一起。目的不是尋找最好看的曲線，而是先預測、只改一項假設、比較結果，再指出簡化模型仍遺漏甚麼。
前沿模型工作室再加入臨界轉變、稀疏方程發現、集體運動、高階傳染、算子學習及持續同調。每個實驗都有明確限制與編號參考文獻，讓學生分辨教學機制與研究文獻真正聲稱的內容。
按需要補充數學基礎
十個補充單元涵蓋：
- 集合、關係、函數、定義域與複合；
- 數系、絕對值、坐標與直線模型；
- 圖像解讀、變換、周期與漸近線；
- 極限、連續與漸近思維；
- 導數作斜率、速率及敏感度；
- 以導數作最佳化與曲線診斷；
- 積分作累積變化；
- 概率、分布、Monte Carlo 與 Markov 鏈；
- 向量、矩陣、方程組、最小二乘及特徵值；
- 多變量敏感度、梯度、Hessian 與受限最佳化。
它們不是孤立溫習紙；每個單元都把數學帶回建模決定、完整例子、分層活動與練習。
競賽寫作序列
五節寫作課與數學課並行：
- W1：結構與可追溯性。 由讀者需要出發安排論文，把評分準則映射到證據。
- W2：摘要作證據清單。 先建立證據庫，再濃縮任務、策略、發現與可信界線。
- W3：核實、驗證與不確定性。 分辨正確解出所寫模型與證明模型足以支援決策。
- W4：學術文字與修訂。 令聲稱力度配合證據，按結構、推理、流動與精簡逐層修訂。
- W5：圖表與提交工程。 把每張圖視為證據主張，建立可重現文件。
重複教學節奏
- 引發決策： 需要數量、比較或建議的情境。
- 數學基準： 令結構可見的最簡模型。
- 完整證據： 帶單位與中途檢查的例子。
- 模型批判： 殘差、敏感度、失敗情況或替代假設。
- 分層工作室： 產生可檢查成果的核心、挑戰與延伸任務。
學生產生的證據
按任務需要，學生提交模型簡報、變數表、假設表、擬合或模擬輸出、殘差或敏感度分析、驗證備忘、建議，以及可發布圖像或結果頁。
公開界線
公開教學區解釋課程、進程與評核邏輯。詳細講義原檔、解答及課堂資料集仍保留作教學資源；精選公開文章與案例可作配套，而不暴露完整 Notes 檔案。