Kenneth Cheng數學・模型・思考
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前沿模型工作室

用一個小模型，提出值得研究的大問題。

六個瀏覽器實驗把研究概念拆成可改變、質疑及延伸的機制。它們是概念實驗室，不表示相關開放問題已被解決。

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實驗地圖

先從問題開始。

每個實驗隔離一項機制；標籤指出數學視角，問題則提示首先應改變甚麼。

  1. 01臨界轉變逐步增加的壓力何時會引發突然改變？分岔理論中階
  2. 02方程發現能否由帶雜訊觀測重建控制方程？稀疏迴歸進階
  3. 03集體運動局部對齊如何形成全域秩序？代理人系統中階
  4. 04高階傳播群組而非只有成對關係傳遞影響時，結果有何改變？單純複形動力學進階
  5. 05算子學習模型需要學會甚麼，才能把一個函數映射到另一個函數？科學機器學習進階
  6. 06持續同調哪些形狀特徵會跨越觀測尺度而保留？拓撲數據分析進階

01・分岔理論

臨界轉變與路徑依賴

x′=a+x−x3x'=a+x-x^3

一項控制參數令勢能景觀傾斜。穩定狀態可在折疊分岔處消失，因此緩慢改變的壓力也可能造成突然跳躍及不同的返回路徑。

最後狀態
—
穩定勢阱數
—
局部恢復率
—

研究追問把 a 由負值緩慢移到正值，再反向調整；狀態會否沿同一路徑返回？接近哪個壓力時，恢復會變慢而呈現類似預警訊號的現象？

這個正規形展示一項機制，並非預測。觀測不符合假設的分岔結構時，實證預警指標也可能失效。

研究依據 [1] [2] [3]

02・數據驅動動力學

由帶雜訊數據發現方程

x′≈Θ(x)ξx'\approx\Theta(x)\xi

稀疏識別由候選項庫開始，尋找能解釋量得導數的最精簡方程。這裡隱藏的規律是 x′ = x − x³。

保留項數
—
曲線均方根誤差
—
重建規律
—

研究追問增加觀測能否彌補不合適的稀疏閾值？甚麼情況下，視覺上吻合的曲線仍會給出錯誤的符號方程？

示範使用直接導數觀測及多項式候選庫。實際實驗還須處理微分誤差、隱藏變數、相關候選項及模型庫設定錯誤。

研究依據 [4] [5]

03・活性物質

由局部對齊形成集體運動

θi(t+1)=arg⁡ ⁣(∑j∈Nieiθj(t))+ηξi\theta_i(t+1)=\arg\!\left(\sum_{j\in\mathcal{N}_i}e^{\mathrm{i}\theta_j(t)}\right)+\eta\xi_i

自推進粒子只觀察附近粒子的方向。重複的局部對齊可打破旋轉對稱，即使沒有領袖，也可能形成一致的全域運動。

全域有序度 Φ
—
平均鄰居數
—
觀察到的狀態
—

研究追問增加交互作用半徑是否總能抵消雜訊？障礙、混合物種或延遲反應會如何改變轉變？

這是固定種子、有限大小的 Vicsek 類模擬。所見轉變取決於密度、邊界條件、系統大小及所選雜訊規則。

研究依據 [6] [7]

04・高階網絡

經成對關係與群組傳播

ρ′=−ρ+λ1ρ(1−ρ)+λ2ρ2(1−ρ)\rho'=-\rho+\lambda_1\rho(1-\rho)+\lambda_2\rho^2(1-\rho)

成對接觸帶來與 ρ 成比例的項；群組強化則帶來非線性的 ρ² 項。這個額外階數可產生臨界規模效應及突然的採用轉變。

所選初值的最後狀態
—
小初值的最後狀態
—
初值敏感度
—

研究追問找出一組參數，使 2% 初始採用會消失，但較大的初始比例能持續。哪些實證觀測能分辨成對影響與真正的群組強化？

這個平均場社會傳播模型不能用作傳染病預測。群組作用、記憶、網絡結構及因果識別各需要獨立證據。

研究依據 [8] [9]

05・科學機器學習

學習函數之間的映射

G:u0(x)↦u(x,t)\mathcal{G}:u_0(x)\mapsto u(x,t)

算子學習希望為一族輸入建立可重用映射，而非只求一個網格上的解向量。本實驗用熱算子隔離頻譜表示的問題。

相對 L² 誤差
—
保留頻譜
—
輸入族
—

研究追問為何粗糙輸入在短預測時間需要更多模態？聲稱解像度不變性或分佈外泛化前，還需要哪些測試？

這裡沒有訓練神經網絡。精確熱算子與截斷傅立葉表示，用來展示 FNO 等架構嘗試從數據學習的逼近問題。

研究依據 [10] [11]

06・拓撲數據分析

跨尺度尋找形狀

β0=components,β1=loops\beta_0=\text{components},\qquad\beta_1=\text{loops}

Vietoris–Rips 過濾把距離不超過 ε 的點連起，並填入每個完整三角形。跨多個尺度保留的特徵，可作為區分訊號與抽樣雜訊的候選依據。

連通分量 β₀
—
環 β₁
—
邊數／三角形數
—

研究追問預期的環在哪些尺度存在，又能持續多少尺度？若聲稱某拓撲特徵是真實的，應如何納入統計不確定性？

顯示的 Betti 數只針對目前有限 Rips 複形計算。研究分析還會檢查完整持續圖、抽樣變異及適合領域的虛無模型。

研究依據 [12] [13]

參考文獻

由機制連到文獻。

基礎表述配合近期延伸或實證限制。文獻支持研究問題的定位，不表示瀏覽器模型中的每項簡化都已獲驗證。

  1. Scheffer, M., et al. (2009). Early-warning signals for critical transitions. Nature, 461, 53–59. https://doi.org/10.1038/nature08227
  2. Dylewsky, D., Anand, M., & Bauch, C. T. (2024). Early warning signals for bifurcations embedded in high dimensions. Scientific Reports, 14, 18277. https://doi.org/10.1038/s41598-024-68177-1
  3. O’Brien, D. A., et al. (2023). Early warning signals have limited applicability to empirical lake data. Nature Communications, 14, 7942. https://doi.org/10.1038/s41467-023-43744-8
  4. Brunton, S. L., Proctor, J. L., & Kutz, J. N. (2016). Discovering governing equations from data by sparse identification of nonlinear dynamical systems. Proceedings of the National Academy of Sciences, 113(15), 3932–3937.
  5. Rosafalco, L., Conti, P., Manzoni, A., Mariani, S., & Frangi, A. (2024). EKF–SINDy: Empowering the extended Kalman filter with sparse identification of nonlinear dynamics. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 431, 117264.
  6. Vicsek, T., Czirók, A., Ben-Jacob, E., Cohen, I., & Shochet, O. (1995). Novel type of phase transition in a system of self-driven particles. Physical Review Letters, 75(6), 1226–1229.
  7. Lardet, E., Chen, L., & Bertrand, T. (2026). Flocking beyond one species: Novel phase coexistence in a generalized two-species Vicsek model. Physical Review Letters, accepted paper. https://doi.org/10.1103/lt6f-yjpd
  8. Iacopini, I., Petri, G., Barrat, A., & Latora, V. (2019). Simplicial models of social contagion. Nature Communications, 10, 2485.
  9. Lin, Z., et al. (2024). Higher-order non-Markovian social contagions in simplicial complexes. Communications Physics, 7, 175.
  10. Li, Z., et al. (2021). Fourier neural operator for parametric partial differential equations. International Conference on Learning Representations.
  11. Cao, Q., Goswami, S., & Karniadakis, G. E. (2024). Laplace neural operator for solving differential equations. Nature Machine Intelligence, 6, 631–640.
  12. Edelsbrunner, H., Letscher, D., & Zomorodian, A. (2002). Topological persistence and simplification. Discrete & Computational Geometry, 28(4), 511–533.
  13. Chen, Y., et al. (2024). EMP: Effective multidimensional persistence for graph representation learning. Proceedings of the Second Learning on Graphs Conference, PMLR 231, 24:1–24:12.