拓撲 · 滲流 · 觀測誤差

相機會否製造一個原本不存在的連通臨界點？

由一個已知的合成融池場開始，再加入模糊、降低解析度及分割邊界位移。Latent 幾何沒有改變，但量度所得的連通分量、洞、跨域狀態及最窄可分辨橋接未必保持不變。

數學對象

水位建立一族彼此嵌套的形狀。

把標量地形按閾值轉成二值融池 mask。提高水位會加入融池像素、合併分量、包圍冰島，並可能首次形成橫跨影像的路徑。

P_h=\{(x,y):z(x,y)\le h\}

控制項使用 rank-normalised 水位，因此 h 約等於 latent 融池面積比例。

\chi(P_h)=\beta_0(P_h)-\beta_1(P_h)

$\beta_0$ 計融池分量； $\beta_1$ 按所選 dual-connectivity 慣例計算被融池包圍的冰面洞。

\widehat P=\mathcal B_d\!\left(\mathcal D_r(K_\sigma * \mathbf 1_{P_h})\right)\oplus\varepsilon_\partial

先進行模糊及區塊平均，再作帶正負號的分割邊界位移與邊界錯標，然後才量度拓撲。

實驗預設配對融池 4-connectivity 與冰面 8-connectivity，避免一個對角接觸同時在兩個相位都被視為連通。你亦可以切換至 8/4 配對，作為明確的敏感度檢查。

互動拓撲模型

在同一個 96 × 96 合成融池場上改變水位、解析度和分割誤差，觀察連通、洞及喉道判斷何時改寫。

這是教學尺度的合成形態實驗，不是衛星分類器、實地滲流量度或北極氣候預測。

Latent 參考場96 × 96 未受觀測誤差影響的二值場

相機所見先模糊、降採樣及分割，再放大顯示

量	Latent	Observed	變化

同一組 fixture 依次經過這些步驟；改變控制項不會暗中更換底圖。

四組探究

先找 latent transition。把解析度設為 1，將模糊及錯誤歸零，再提高水位至融池首次橫跨影像。記錄首次出現的是左右、上下還是雙方向連通。
只降低解析度，不改融池。固定水位及 seed，把觀測由 96 × 96 依次降至 48 × 48、24 × 24及12 × 12。檢查連通會否出現、消失或改變方向。
分開模糊與位移。模糊可能填合窄小缺口；正位移會擴張分割所得的融池邊界，負位移則會侵蝕它。測試兩種誤差互相抵消還是共同放大。
壓力測試連通慣例。由融池 4／冰面 8 切換至融池 8／冰面 4。若判斷改變，所謂臨界點便依賴數碼拓撲定義，而不只取決於物理形狀。

模型界線

十二組 fixture 只包含確定性合成的 96 × 96 標量場：四組 Matérn-style 地形、四組 germ–grain 合併場及四組 Ising-style 形態偏移。瀏覽器不會載入任何衛星、無人機或實地調查像素。

邊界維數只是有限格點的 box-counting estimate，不能證明形態遵從跨尺度分形律；喉道量度是格點 widest-path clearance，而不是水力流量或排水預測；一幅影像內的 spanning path 亦不等於系統尺度的物理滲流證據。

重現契約

研究基礎

融池幾何與拓撲已有重要研究；本實驗把焦點收窄至觀測程序所造成的臨界點誤差。

Hohenegger 等（2012），〈Transition in the fractal geometry of Arctic melt ponds〉，The Cryosphere。
Popović 等（2018），〈Simple Rules Govern the Patterns of Arctic Sea Ice Melt Ponds〉，Physical Review Letters。
Offord 等（2022），〈Topological Data Analysis Detects Percolation Thresholds in Arctic Melt-Pond Evolution〉，arXiv。
Fuchs 與 Birnbaum（2023），〈Orthomosaics and surface type classifications of MOSAiC Leg 4 floe (2020-06-30, 2020-07-22)〉，PANGAEA。
Niehaus 與 Spreen（2022），〈Melt pond fraction on Arctic sea-ice from Sentinel-2 satellite optical imagery (2017–2021)〉，PANGAEA。