塗出允許輸入
紙本起始模型拖動手柄，或先選取物件，再點按目的地。
先講出理由，再檢查。
數值記錄
| x | 屬於已塗集合 | 原例目標允許 |
|---|---|---|
| 2 | 是 | 是 |
點選及鍵盤操作
按 Tab 選取物件；方向鍵移動手柄，Enter 選取卡片或放到目的地。
選取物件
選取目的地
本次課堂作品
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第三章・函數
用區間寫出允許的輸入
把實數輸入限制轉成不等式、區間及空心或實心端點。
第三章・函數
用區間寫出允許的輸入
班別 ______ 姓名 __________________ 日期 __________
端點包括或不包括，會改變甚麼？無窮大可以被包括嗎？
我的預測與理由
先預測 1/(x−2) 可否輸入 2，及 √(x−3) 可否輸入 3；說明兩個邊界判斷為何不同。
證據與觀察
對 1/(x−2) 測試 x＝1、2、3，在 2 畫空心點，並塗出兩邊允許範圍。
對 √(x−3) 測試 x＝2、3、4，在 3 畫實心點，並塗出允許的一邊。
用文字、不等式及區間記號各寫一次定義域，核對三種表示對端點的判斷一致。
解釋或提出反例
遷移
寫出 √(5−x) 的定義域，再加入 x≠2 的限制，用數線正確表示兩種端點。
課末檢核
寫出 1/(x＋1) 及 √(x＋1) 的定義域，分別說明是否包括 −1。
第三章・函數 · 教師參考
用區間寫出允許的輸入
3.1.1(第3課時) · 03_用區間寫出允許的輸入.docx
5 分鐘預測邊界；12 分鐘測試及畫區間；8 分鐘連結記號；12 分鐘紙本練習；3 分鐘課末檢核。
端點包括或不包括，會改變甚麼？無窮大可以被包括嗎？
先預測 1/(x−2) 可否輸入 2，及 √(x−3) 可否輸入 3；說明兩個邊界判斷為何不同。
證據任務
- 對 1/(x−2) 測試 x＝1、2、3，在 2 畫空心點，並塗出兩邊允許範圍。
- 對 √(x−3) 測試 x＝2、3、4，在 3 畫實心點，並塗出允許的一邊。
- 用文字、不等式及區間記號各寫一次定義域，核對三種表示對端點的判斷一致。
參考說理
實數分母不可為零，所以 1/(x−2) 允許除 2 外的所有實數。實數平方根的被開方數可以為零，所以 √(x−3) 允許 x≥3。圓括號不包括有限端點，方括號包括端點。無窮大表示無界方向，不是可取得的端點，因此一律用圓括號。
求倒數式的自然實數定義域。
- 分母限制為 x−2≠0，即 x≠2。
- 定義域為 (−∞,2)∪(2,∞)，不包括 2。
求平方根式的自然實數定義域。
- 實數平方根要求 x−3≥0，所以 x≥3。
- 定義域為 [3,∞)；輸入 3 被允許，輸出為 0。
遷移與課末檢核
寫出 √(5−x) 的定義域，再加入 x≠2 的限制，用數線正確表示兩種端點。
寫出 1/(x＋1) 及 √(x＋1) 的定義域，分別說明是否包括 −1。
倒數的定義域為 (−∞,−1)∪(−1,∞)，不包括 −1；平方根的定義域為 [−1,∞)，包括 −1。
- 分母用不等於零，平方根被開方數用大於或等於零。
- 區間括號符合端點判斷，無窮大處用圓括號。
追問
- 被禁止的是輸出為零，還是這個分母為零？
- 你能說出到達無窮大前的最後一個實數嗎？
預期回應
- 學生常把平方根邊界剔除；代入可得 √0＝0。
- 有學生在無窮大用方括號；說明它不是最後一個實數端點。
混淆
- x≠2 是兩個區間的聯集，不是包括 2 的單一區間。
- 測試表可示範限制，卻不能代替對所有實數輸入解限制條件。
板書
- 分母≠0；平方根被開方數≥0。
- 空心點↔圓括號；實心點↔方括號。
- 無窮大一律用圓括號。