合併限制與求值域
紙本起始模型拖動手柄，或先選取物件，再點按目的地。
先講出理由，再檢查。
數值記錄
| x | 目前遮罩交集 | 原函數輸出 |
|---|---|---|
| 2 | 接受 | 未定義 |
點選及鍵盤操作
按 Tab 選取物件；方向鍵移動手柄，Enter 選取卡片或放到目的地。
選取物件
選取目的地
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第三章・函數
定義域的多重限制與值域
把同時成立的輸入限制取交集；化簡後保留原排除點；在指定定義域求實際值域。
第三章・函數
定義域的多重限制與值域
班別 ______ 姓名 __________________ 日期 __________
輸入要通過幾道關卡？化簡公式可否重新開放原本禁止的輸入？
我的預測與理由
對 √(x＋1)/(x−2)，先預測 −1 及 2 是否允許；對 (x²−1)/(x−1)，先猜想約去因子後 1 能否成為輸入。
證據與觀察
在兩條數線記錄 x≥−1 及 x≠2，再塗共同部分；明確檢查 −1、0、2。
比較原分式 (x²−1)/(x−1) 與 x＋1 在 0、1、2 的情況，記錄等式在哪些輸入成立。
對 [−2,1] 上的 x²，記錄端點值及 x＝0 的值，解釋 0 至 4 之間每個輸出如何取得。
解釋或提出反例
遷移
求 √(x＋2)/(x−1) 的定義域。再求 x² 在定義域 {−2,0,1} 的值域，解釋為何不可寫成區間。
課末檢核
求 √(x＋1)/(x−2) 的定義域，並說明 (x²−1)/(x−1) 與 x＋1 在各自自然實數定義域下是否同一函數。
第三章・函數 · 教師參考
定義域的多重限制與值域
3.1.1(第4課時) · 04_定義域的多重限制與值域.docx
5 分鐘預測關卡；12 分鐘疊加限制及比較空缺；8 分鐘整理值域理由；12 分鐘紙本例題；3 分鐘課末檢核。
輸入要通過幾道關卡？化簡公式可否重新開放原本禁止的輸入？
對 √(x＋1)/(x−2)，先預測 −1 及 2 是否允許；對 (x²−1)/(x−1)，先猜想約去因子後 1 能否成為輸入。
證據任務
- 在兩條數線記錄 x≥−1 及 x≠2，再塗共同部分；明確檢查 −1、0、2。
- 比較原分式 (x²−1)/(x−1) 與 x＋1 在 0、1、2 的情況，記錄等式在哪些輸入成立。
- 對 [−2,1] 上的 x²，記錄端點值及 x＝0 的值，解釋 0 至 4 之間每個輸出如何取得。
參考說理
輸入須符合所有限制，所以取交集：√(x＋1)/(x−2) 的定義域為 [−1,2)∪(2,∞)。平方根若在分母，便須嚴格大於零。約去因子只保留原式有定義處的值；x＝1 的空缺仍須保留。對 [−2,1] 上的 x²，輸出介乎 0 與 4；每個 y∈[0,4] 都可由 x＝−√y∈[−2,0] 取得，所以值域恰為 [0,4]。
平方根在分母，求定義域。
- 被開方數要求 x−1≥0；分母亦不可為零。
- 合併得 x−1>0；定義域為 (1,∞)。
求指定閉區間上的值域。
- x＝0 時最小值為 0；兩端點 f(−2)＝4、f(1)＝1，故最大值為 4。
- 對任意 0≤y≤4，輸入 −√y 在 [−2,0] 內，平方後得到 y。因此值域為 [0,4]。
遷移與課末檢核
求 √(x＋2)/(x−1) 的定義域。再求 x² 在定義域 {−2,0,1} 的值域，解釋為何不可寫成區間。
求 √(x＋1)/(x−2) 的定義域，並說明 (x²−1)/(x−1) 與 x＋1 在各自自然實數定義域下是否同一函數。
定義域為 [−1,2)∪(2,∞)。兩函數不同：原分式排除 1，而 x＋1 允許 1。
- 把兩個限制取交集，並包括 −1。
- 約去因子後仍保留原排除輸入。
追問
- 輸入只須過其中一道關，還是兩道都要過？
- 化簡式能否回答原式沒有定義的輸入？
預期回應
- 學生可能把限制取聯集；讓他們先嘗試代入 x＝2。
- 只查兩端點會漏掉 x² 在 0 的最小值。
混淆
- 不可把有限值域 {0,1,4} 寫成 [0,4]。
- 只有上下界不足以確立完整值域，還要說明可取得性。
板書
- 所有限制同時成立→交集。
- 化簡後仍保留原式排除點。
- 值域：界限＋每個所列輸出的可取得性。