同一法則，兩種定義域
紙本起始模型拖動手柄，或先選取物件，再點按目的地。
先講出理由，再檢查。
數值記錄
| 定義域 | x | 輸入 | 公式計算 | 函數輸出 |
|---|---|---|---|---|
| — | — | — | — | — |
點選及鍵盤操作
按 Tab 選取物件；方向鍵移動手柄，Enter 選取卡片或放到目的地。
選取物件
選取目的地
本次課堂作品
作品留在本次頁面。要保存筆記，可在研習室選擇保存共用筆記。
第三章・函數
讀懂函數符號與三要素
把 f（輸入）讀成輸出，代入完整輸入，辨認定義域、對應法則及值域。
第三章・函數
讀懂函數符號與三要素
班別 ______ 姓名 __________________ 日期 __________
公式一樣，就一定是同一個函數嗎？
我的預測與理由
在投影模型 f(x)＝x²＋1，於有限定義域 {−2,−1,0,1,2} 與實數區間 [−2,2] 之間切換；先預測兩種設定可否輸入 0.5 及 3。
證據與觀察
在有限定義域的投影模型 f(x)＝x²＋1，記錄 −2、−1、0、1、2 的輸出，再寫實際值域。
在模型的兩種定義域測試 0.5 及 3，把按公式計算的結果與該輸入是否被允許分開記錄。
對區間定義域模型，記錄最小及最大輸出，說明值域為何是 [1,5]，而不只是 {1,2,5}。
解釋或提出反例
遷移
比較 p(x)＝x＋1、定義域 {0,1} 與 q(x)＝x＋1、定義域 [0,1]。寫出一個可區分它們的輸入及兩者值域。
課末檢核
h(x)＝3x＋2，定義域為 {−1,0,2}。求 h(−1) 及值域；h 與實數上的 k(x)＝3x＋2 相同嗎？
第三章・函數 · 教師參考
讀懂函數符號與三要素
3.1.1(第2課時) · 02_讀懂函數符號與三要素.docx
5 分鐘預測函數是否相同；12 分鐘比較對應；8 分鐘整理符號；12 分鐘代入練習；3 分鐘課末檢核。
公式一樣，就一定是同一個函數嗎？
在投影模型 f(x)＝x²＋1，於有限定義域 {−2,−1,0,1,2} 與實數區間 [−2,2] 之間切換；先預測兩種設定可否輸入 0.5 及 3。
證據任務
- 在有限定義域的投影模型 f(x)＝x²＋1，記錄 −2、−1、0、1、2 的輸出，再寫實際值域。
- 在模型的兩種定義域測試 0.5 及 3，把按公式計算的結果與該輸入是否被允許分開記錄。
- 對區間定義域模型，記錄最小及最大輸出，說明值域為何是 [1,5]，而不只是 {1,2,5}。
參考說理
投影模型 x²＋1 在有限定義域的值域為 {1,2,5}；在實數區間 [−2,2] 的值域為 [1,5]，因為每個 y∈[1,5] 都可由 x＝√(y−1) 取得。0.5 只在區間版本被允許；3 在兩種版本都不被允許，即使按公式計算可得 10。紙本例題使用不同規則：對 f(x)＝2x−3 的 f(a＋1)，a＋1 是完整輸入；紙本兩個 x² 函數雖然值域同為 {0,1}，定義域卻不同，所以不是同一函數。函數包括定義域及對應法則，兩者決定值域。
紙本例題：求這個一次規則的數值輸入及代數輸入函數值。
- f(−2)＝2(−2)−3＝−7。
- f(a＋1)＝2(a＋1)−3＝2a−1。
紙本例題：這兩個平方函數相同嗎？
- 兩者值域均為 {0,1}。
- −1 在 f 的定義域內，卻不在 g 的定義域內。定義域不同，所以不是同一函數。
遷移與課末檢核
比較 p(x)＝x＋1、定義域 {0,1} 與 q(x)＝x＋1、定義域 [0,1]。寫出一個可區分它們的輸入及兩者值域。
h(x)＝3x＋2，定義域為 {−1,0,2}。求 h(−1) 及值域；h 與實數上的 k(x)＝3x＋2 相同嗎？
h(−1)＝−1；值域為 {−1,2,8}。定義域不同，所以不是同一函數。
- 代入 −1 時保留負號。
- 只列實際輸出，並以定義域不同作理由。
追問
- 在 3 按公式計算得 10，但 3 實際在任何一種模型定義域內嗎？
- 0.5 如何區分投影的兩個版本？−1 又如何區分紙本兩個 x² 函數？
預期回應
- 有學生把 f(x) 看成 f 乘 x；用輸入框及一條指向結果的箭頭說明。
- 學生可能因公式可計算而接受 3；要求另外檢查是否屬於定義域。
混淆
- 不可寫成 f(a＋1)＝2a＋1−3；係數須乘完整輸入。
- 公式或值域相同，單憑這點不足以說明函數相同。
板書
- f（輸入）＝輸出；括號內是完整輸入。
- 三要素：定義域、對應法則、值域。
- 同一函數：定義域相同，每個允許輸入的輸出也相同。