網格能否保留這個事件？

一幅數值圖可以看起來已經完成峰值分裂，但用來量度這次分裂的事件仍然不存在。這不是措辭上的差別，而是本專案在比較任何自適應網格之前必須先回答的邏輯問題。

原來的研究構想很直接：在一個按指定速率指數增長的一維區間上，Schnakenberg 反應擴散圖樣由一階空間模態轉移到二階模態；然後比較均勻有限元素、residual-based adaptivity 與 event-goal adaptivity，看看哪一種方法能用較少計算量保留首次 modal-transfer time。可是，這個比較從未獲准開始。

凍結的事件定義不只要求一條分數曲線穿過門檻。mode one 必須先同時滿足幅度與 modal purity 兩個條件，並連續維持五十個時間單位；只有在這段 establishment interval 之後，modal-transfer score 向上穿越 $S=0.5$ 才可稱為 $t^*$ 。所有 growing-domain FEM 與 FD 計算都在時間約五百四十出現明顯的 raw crossing，之後 $S$ 更接近一。然而，兩個 establishment 條件同時成立的最長時間只有十六。因此，所有 solver 都找不到符合申明定義的事件時間。

這就是 Phase-1A 的結果。專案沒有在看過曲線後縮短時間窗、移動門檻、改用 peak count，亦沒有把 raw crossing 重新命名為正式事件。終止判定是 STOP_PHASE1A。Residual adaptivity、adjoint、goal marking、estimator effectivity、matched-resolution comparison 與效率測試都沒有執行，所以本文不會對它們作出結論。

這個實驗發現了甚麼

問題	結果	為甚麼重要
測試了甚麼模型？	一個 prescribed-growth 一維 Schnakenberg 系統，計算至 $T=1200$	這是合成數值個案，不是生物校準。
兩種離散方法有否看見相同 dynamics？	三層 nested P1 FEM 與獨立組裝的 1024-cell conservative FD 高度一致	可見 transition 不像是單一 solver 的 assembly 錯誤。
可見分數何時穿越 $0.5$ ？	539.45 至 541.39	這是 refined diagnostic，不是正式事件。
mode one 事前是否建立得夠久？	最長 16；要求 50	predecessor condition 有明顯距離。
合格事件時間是甚麼？	所有 growing solves 都沒有合格事件	event-time error 與 mesh comparison 都未定義。
detector 會否在沒有 growth 時製造 transition？	沒有 raw crossing，也沒有 event	相同 detector 通過 negative control。
完全不改設定再算一次會否改變結果？	不會；兩次計算的科學結果相同，事件同樣不存在	結果在既定 setup 下可重複。

Operator-level verification 可以通過，FEM 與獨立組裝的 FD 亦可以在可見 transition 上高度一致，但預先申報的 event predicate 仍然是假。把 trajectory 算得更細，不能將一個未成立的條件變成成立。

既有研究如何改變問題

Growing-domain pattern formation 並不是空白領域。Crampin、Gaffney 與 Maini 在一九九九年推導 growing domain 上的 reaction–diffusion equations，並以 Schnakenberg system 展示 frequency doubling（DOI）。他們其後用 piecewise-linear analysis 更直接研究 mode doubling 與 tripling（DOI），並在相關模型中處理 nonuniform growth（DOI）。所以，本專案可以把 canonical mechanism 當作 benchmark，卻不能把 growth-induced peak splitting 包裝成新發現。

這類系統的有限元素離散也已有直接先例。Madzvamuse、Wathen 與 Maini 用 moving-grid FEM 模擬 biological pattern generator（DOI）。之後的研究分別處理 moving-grid Turing simulation（DOI）、fixed 與 growing domain 上的 time stepping（DOI），以及 grid velocity 對所選圖樣的影響（DOI）。最後一項尤其重要：一個看來合理的圖樣不一定是 mesh-independent 的圖樣。

對 evolving-domain discretization 的驗證亦已有成熟結果。MacKenzie 與 Madzvamuse 分析一維 growing domain 上有限差分的 stability 與 convergence（DOI）。Lakkis、Madzvamuse 與 Venkataraman 為 evolving domain 上的 implicit-explicit FEM 建立 error estimates（DOI）。MacKenzie、Rowlatt 與 Insall 後來提出二維 evolving domain 的 conservative ALE finite-element scheme（DOI）。因此，新 benchmark 必須驗證自己的 assembly 與 time treatment，不能把基本 solver correctness 當成貢獻。

Adaptivity 也不是新主意。Venkataraman、Lakkis 與 Madzvamuse 報告 growing-domain semilinear reaction–diffusion system 的 adaptive FEM（DOI）；Xie 與 Hu 亦在包括 growing-domain example 的反應擴散問題使用 adaptively moving finite elements（DOI）。Li 與 Yi 對 nonlinear reaction–diffusion problems 建立 goal-oriented a posteriori estimators（DOI）。這些文獻排除了「第一個 adaptive growing-domain solver」或「第一個 goal-oriented reaction–diffusion method」一類說法。

First-threshold time 本身也是特殊 quantity of interest。Chaudhry、Estep、Stevens 與 Tavener 對 differential equations 的 first time to a threshold 推導 error representation（DOI），後續 PDE work 把 adjoint-based estimate 延伸到 evolutionary semilinear parabolic equation（DOI）。Cliffe、Collis 與 Houston 則在 goal-oriented framework 中處理 nonsmooth travel-time functional（DOI）。

有限的 targeted search 沒有找到完全相同的組合：這個一維 frequency-doubling case、這個 smooth modal score、這個 establishment predicate、一套 independently assembled reference，以及 uniform、residual 與 event-goal marking 的 matched-resolution comparison。這種「沒有找到」不是不存在的證明。它只留下很窄的後續問題：在已宣告的 protocol 下，必要的 reference event 能否先被建立？

凍結的 growing-domain 模型

Reference coordinate 是 $x\in[0,1]$ ，兩端使用 homogeneous Neumann conditions。把物理增長拉回固定座標後，兩個 state components 滿足

\partial_t \mathbf c =\gamma(t)^{-1}\operatorname{diag}(1,0.01)\,\partial_{xx}\mathbf c + \begin{bmatrix} 0.9-c_1c_2^2\\ 0.1-c_2+c_1c_2^2 \end{bmatrix}, \qquad \gamma(t)=e^{0.002t}.

Growth-rate parameter 是 $\rho=0.001$ ，而 $\gamma=e^{2\rho t}$ 。物理區間變長時，拉回 reference coordinate 的 diffusion coefficient 乘上 $\gamma^{-1}$ ，所以 diffusion 的相對作用逐步減弱。這是從 primary literature 選出的 nondilute slow-growth benchmark。被省略的 dilution term 是 benchmark choice 的一部分，並非程式遺漏，更不能把結果外推到所有 growing-tissue equations。

參數命名需要特別說明。本研究沿用 Schnakenberg 慣例，把 $a=0.1$ 、 $b=0.9$ ；但第一個 reaction component 的 production term 是 $b=0.9$ ，第二個則是 $a=0.1$ ：

R_1=b-c_1c_2^2, \qquad R_2=a-c_2+c_1c_2^2.

在方程中直接寫出 0.9 與 0.1，可以避免兩套 implementation 在比較時把 $a$ 、 $b$ 對調。Homogeneous state 是 $(\bar c_1,\bar c_2)=(0.9,1.0)$ 。

初值完全 deterministic：

c_1(x,0)=0.9\,[1-0.005\cos(\pi x)], \qquad c_2(x,0)=1.0\,[1+0.005\cos(\pi x)].

它只擾動第一個 cosine mode，沒有 random seed，也沒有挑選一條有利 trajectory 的重試。研究問題不是自然界是否一定發生峰值分裂，而是這個固定初值、固定 growth law 與固定 detector 能否產生 admissible numerical event。

Event definition 必須先於答案

對 activator $c_2$ ，先扣除空間平均，再投影到 Neumann cosine modes：

a_k(t)=\frac{\int_0^1[c_2(x,t)-\bar c_2(t)]\cos(k\pi x)\,dx} {\int_0^1\cos^2(k\pi x)\,dx}, \qquad k=1,2.

Modal-transfer score 定義為

S(t)=\frac{a_2(t)^2}{a_1(t)^2+a_2(t)^2+10^{-16}}.

$S$ 接近零代表 mode one 佔兩個追蹤 modes 的主要能量，接近一則代表 mode two 佔優。分母的小常數只防止零除法；它不是調校結果的 smoothing parameter。

正式事件不是單一 crossing。Detector 必須按以下順序檢查：

$|a_1|\geq0.1$ ，避免把近乎平坦的 state 當成已建立圖樣；
$a_1^2/(a_1^2+a_2^2+10^{-16})\geq0.8$ ，確保 predecessor state 主要是 mode one；
以上兩條件連續維持至少五十個時間單位；
establishment 完成後， $S$ 才可向上穿越 0.5；
crossing 必須唯一，而且其後 $S\geq0.5$ 再維持五十個時間單位；
crossing 需滿足 dimensionless transversality check $T|S'(t^*)|\geq0.1$ 。

Crossing time 若存在，才以相鄰輸出點線性插值。Uniqueness、persistence 與 transversality 亦只能在 establishment 通過後評估。這個順序防止程式把一個數學上不存在的申明事件用附帶診斷補成數值。

為何不用 peak count

峰的數量很適合描述 pattern，卻不一定適合做可微、可重現的 time functional。離散曲線中的一個肩位何時算新峰，會受 smoothing、節點位置、endpoint treatment、prominence threshold 及取樣頻率影響。若 event time 要進入 adjoint 或 goal-oriented error analysis，這些離散選擇會造成不連續。

Smooth modal score 避開部分問題。它把整個空間 profile 壓成連續 coefficients，也能在不同網格之間用相同 functional 比較。但 smooth 不等於 admissible。若 source mode 從未按定義建立，或 crossing 來回多次、未能保持、斜率近乎零，單一 $S=0.5$ 仍不能代表穩健事件。

所以，這個 project 沒有聲稱 modal score 是唯一正確的 biological definition。它只要求 protocol 一旦凍結，就不能在結果不合意時改回較方便的 peak count。Event definition 可以在下一個有版本標記的研究重新設計，不能在同一次實驗裏回溯修改。

為何 horizon 是 1200

預期的 raw transition 約在五百四十，申明事件又要求事後五十個時間單位 persistence。 $T=1200$ 為事件前建立、crossing 後檢查及意外延遲留下足夠空間。這不是因為看見 transition 後才延長的 horizon。

更長時域也不能修補前置 establishment failure。最長 simultaneous run 發生在 raw transition 之前，而且只有十六。把終點由 1200 延長不會改寫已經發生的 history。反過來，若只計到五百四十，則可能因沒有完整 post-event window 而得到另一種不可判定。固定較長 horizon 把這兩種問題分開。

兩套數值 formulation，而不是同一路徑的複製

Uniform FEM 使用 continuous piecewise-linear basis。Mass matrix 與 stiffness matrix 分別依標準一維 element assembly 建立，Neumann boundary condition 由 weak form 自然進入。Diffusion 以 implicit step 處理，reaction 以 first-order explicit evaluation 處理。Initial condition 並非單純在 nodes 取樣，而是透過 consistent mass projection 投影到 finite-element space。

三個 nested levels 同時 refinement 空間與時間：128 elements 配 $dt=0.2$ 、256 配 $0.1$ 、512 配 $0.05$ 。這個 coupling 不是用來分離 space 與 time order；分離的 order verification 另有 manufactured calculations。三層 nonlinear solve 的作用是檢查 event diagnostics 隨已申明 resolution 的穩定性。

Fine FD 使用 1024 個 cell centers 與 $dt=0.025$ 。它以 conservative flux differences、boundary zero flux 與相同階數的 IMEX treatment 獨立組裝。FD 不調用 FEM matrix assembler，不重用 FEM quadrature，亦不是把 FEM solution interpolate 到另一網格後冒充 reference。

兩套 formulation 只共享 model parameters、deterministic initial condition、horizon 與 event definition。不同 spatial representation 對相同 modal history 的 agreement，比兩個只改 resolution 的相同 code path 更能排除共同 assembly mistake。不過，fine FD 仍然不是絕對真值。它是一個較細、已宣告的 independent cross-check；真正的 reference 還需要 admissible event 及所列 convergence conditions，後者在此失敗。

很像答案的 raw crossing 並不算數

四個增長域求解器的模態轉移分數，以及原始門檻穿越附近的放大圖；所有計算都沒有合格事件時間。 — 圖一：三個 nested P1 FEM 與獨立 conservative FD 對 raw score transition 高度一致，但凍結的五十時間單位 establishment 條件失敗，所以 crossing 只屬診斷。

全時域上，四條 growing-domain 曲線在顯示尺度幾乎重合。 $S$ 先升到約 0.25，在 0.3 附近緩慢變化，約在時間五百三十突然下降，隨後快速穿過 0.5 並趨近一。放大 panel 顯示一個看似良好的 refinement sequence：

求解器	Resolution	diagnostic raw crossing
FEM	128 elements， $dt=0.2$	541.3928
FEM	256 elements， $dt=0.1$	540.2555
FEM	512 elements， $dt=0.05$	539.7169
FD	1024 cells， $dt=0.025$	539.4518

這組數字很容易誘惑人把 finest value 當作 event time，甚至對序列 extrapolate。可是，prerequisite establishment interval 不存在，所以正式的 $t^*$ 搜尋根本不會開始。沒有 admissible crossing，就沒有後續的 persistence、transversality 或 uniqueness 可檢查，event time 因而仍未定義；raw crossing 只作 diagnostic 報告。

這個區分會改變實際量度的數學量。First-threshold adjoint 依賴 event functional 的 derivative 與一個可辨識 crossing。若申明條件失敗後才以目測 crossing 替代，reported number 就與原本 quantity of interest 脫節，往後再精確的 estimator 也只是在估計另一個未申報的量。

失敗在可見 split 之前已經發生

細網格有限元素與獨立有限差分的一階模態幅度和一階模態比例；兩條件同時成立只維持十六時間單位。 — 圖二：幅度條件長時間成立，但 modal purity 大部分時間低於 0.8；兩條件重疊最長只有十六，遠低於要求的五十。

Panel (a) 解釋為何只看 amplitude 會誤判為通過。 $|a_1|$ 很快超過 0.1，在數百個時間單位內維持約 1.5，然後隨 mode-two profile 出現而崩落。系統確實有很強的 mode-one component。

缺少的條件在 panel (b)。Mode-one fraction 從一很快降到約 0.75，之後在看似 mode-one plateau 的大部分時間低於 0.8。它在 transition 前短暫回到 threshold 以上，但與 amplitude condition 的 qualifying overlap 只維持十六。

兩條件共同存在，是為了避免把很弱或高度 mixed 的 state 當成 clean transfer 的 predecessor。這條 rule 是否為最佳科學定義，可以在未來版本討論；本次 trajectory 只能說是不符合已凍結定義。看見結果後刪去 purity condition，等同改變研究問題。

Score 的劇烈上升也不能補救。 $S$ 的分子與分母只描述 mode one 與 mode two 的相對 ownership，不記錄 state 之前是否按標準建立。即使分數由近零移到近一，source state 的歷史資格仍可失敗。

FEM 與 FD 都顯示事件不存在

三層有限元素、細網格有限差分與無增長控制的原始穿越時間和最長建立區間；所有計算都沒有合格事件。 — 圖三：refinement 令 diagnostic crossing 收斂，但所有 growing solves 的 establishment 都只有十六；no-growth control 為七，全部低於五十。

左 panel 保留 raw crossing 的數值資訊，卻沒有錯叫它申明事件。時間由 541.39 隨 joint refinement 移向 539.45。右 panel 才是決定性檢查：每個 growing-domain method 的 longest duration 都是十六，與虛線五十有清楚距離；no-growth fine FEM 的 duration 是七，而且沒有 raw crossing。

這是對 negative result 的 concordance。兩套 solver 不是各自因不相關錯誤而失敗；它們解析出幾乎相同 modal history，並以同一個未修改 predicate 評估。事件不存在的結論經 refinement 保留，也經 spatial discretization family 的改變保留。

因此，結果比「程式找不到事件」更具體：simultaneous condition 未能持續。可是，它又比「frequency doubling 沒有發生」窄。Spatial profile 的確由一種主要結構轉向另一種，raw score 亦有 crossing。失敗的只是這個 initial condition、horizon 與 event definition 的 conjunction。

Spatial profiles 說明了甚麼

細網格有限元素與保守有限差分在時間五百、五百四十及六百的活化子空間剖面，呈現原始模態轉移前中後。 — 圖四：fine FEM 與 independent FD 在 raw transition 前、附近與之後解析出相同 profile；這支持 diagnostic narrative，卻不能把不存在的事件改成已發生。

在 $t=500$ ，activator profile 沿 reference interval 大致下降； $t=540$ 時形成強烈 interior peak；到 $t=600$ ，高值區的形狀再次改變。Cosine coefficients 把這種空間結構轉換成可比較的 modal summary。FEM 與 FD curves 幾乎重合，說明 raw transition 不是單一 solver 或繪圖 interpolation 的 artifact。

這些 profiles 同時展示 peak count 的 discretion。Endpoint shoulder、寬而平的 maximum 或剛出現的 curvature change 是否算一個峰，會令 counting event 前後移動。Modal score 提供連續診斷，卻仍需要 establishment、uniqueness、persistence 與 transversality 才能成為申明事件。

圖中沒有任何 biological structure identification。橫軸是 reference coordinate，不是測得的 tissue length；縱軸是 synthetic model state，不是 concentration assay。兩種 numerical methods 一致，只是 implementation evidence，並非 equations 已描述某個 organism 的證據。

No-growth control 使用完全相同 detector

增長率零點零零一的增長計算與零增長控制的模態分數和一階模態幅度，兩者使用同一初值與偵測器。 — 圖五：只把 $\rho$ 由 0.001 改為零，raw score crossing 就消失；兩個 runs 均沒有合格事件，但原因不同。

Negative control 只把 $\rho$ 由 0.001 改成零。它保留 fine FEM grid、time step、initial condition、horizon、output schedule 與 event code。其 $S$ 維持約 0.24，mode-one amplitude 仍然建立，沒有 raw crossing，也沒有合格事件。

Growing run 的行為明顯不同：score 最終接近一，mode-one amplitude 崩落。這只支持 synthetic model 內的一條有限敘述，即 prescribed growth 在固定參數下改變 modal trajectory。它不能挽救 event，因為 establishment history 仍然失敗，也不能推論真實生物組織的 growth mechanism。

Negative control 的價值不是強迫 primary result 變 positive，而是檢查 detector specificity。相同 detector 不會因 stationary-domain numerical drift 製造 crossing。它也說明事件可以因兩種不同原因不存在：no-growth run 缺少 raw transfer；growing run 有 raw transfer，卻沒有合格 predecessor establishment。分清原因可避免把兩種情況混為一談。

Numerical verification 通過，事件仍然失敗

有限元素時間誤差、有限元素空間誤差及保守有限差分空間誤差的收斂圖，觀察階數分別約為一、二和二。 — 圖六：manufactured 與 analytic checks 回復預期的一階時間及二階空間行為；它們驗證 assembly trend，不會改變 event predicate。

Manufactured problem 是

u_t=0.1u_{xx}-0.3u, \qquad u(x,0)=\cos(\pi x),

並使用 homogeneous Neumann boundaries。FEM temporal errors 在 $dt=0.02,0.01,0.005$ 的 observed orders 是 0.990 與 0.995。FEM spatial errors 在 16、32、64 elements 的 orders 是 2.064 與 2.282。Conservative FD Neumann Laplacian 在 32、64、128 cells 的 orders 是 1.9997 與 1.9999。Constant vector 對 FEM stiffness matrix 與 FD flux Laplacian 都在 machine precision 內屬於 nullspace。

Nonlinear runs 全程有限，亦在凍結的 $-10^{-8}$ tolerance 內非負；global minima 約為 0.110。這些 checks 很重要，因為若 event 缺失源自 blow-up、negative concentration、破壞的 Neumann flux 或錯誤空間階數，整個 negative result 便不可解釋。

Checks 通過只回答窄問題：實作的 operators 與 time treatment 在指定 verification cases 表現一致。它們不證明 nonlinear trajectory exact，不證明所有 output functionals 都已收斂，更不能在 modal history 只有十六 qualifying units 時創造五十-unit interval。

為何不能報 event-time error

Event-time error 需要兩個存在的 quantities：candidate method 的 $t_h^*$ 與 admissible reference 的 $t_{ref}^*$ 。本 project 在第一個 prerequisite 已經沒有任何 $t^*$ 。寫成

|t_h^*-t_{ref}^*|

並不會令兩個不存在的事件時間成為數字。把 raw crossing 代入只會計算另一個 diagnostic 的 refinement difference，並非 preregistered event-time error。

同樣地，不能把「所有方法都找不到事件」解讀成 zero error。這不是 numerical equality，而是 functional 在每一條 trajectory 上都未定義。也不能在 bar chart 中把缺失的事件時間畫成零，因為零代表事件在初始時間發生。圖表因此直接標示事件不存在，並用文字說明原因。

Reference-feasibility tolerance 原定為 nested event times 相差不超過 $10^{-4}T$ ，FEM 與 independent FD 相差不超過 $2\times10^{-4}T$ 。這些 tolerance 沒有被 raw crossings 冒名通過。只有在申明事件存在、unique、persistent 且 transversal 時才適用。這一點保護後續 comparison 不會以錯誤 endpoint 開始。

從軌跡到停止判定的完整邏輯

把整個判定拆開，可以看見「有轉變」與「有合格事件」之間究竟差在哪裏。第一層只問數值解是否可用。所有濃度有限，沒有超出容許的負值；空間算子對常數給出零，製造解的時間與空間收斂階數亦符合預期。若這一層失敗，軌跡本身便不能進入事件分析。本次第一層通過。

第二層問兩套不同離散是否看到相同現象。三層有限元素隨網格及時間步長細化，原始穿越時間向約五百三十九點五移動；獨立有限差分的數字與最細有限元素相近。三個剖面時刻的曲線亦幾乎重合。這使「可見轉變只源自某一套組裝」變得不太可能，但仍未證明正式事件存在。

第三層才檢查前置狀態。幅度門檻要求第一模態不是接近零的數值噪聲，純度門檻要求其在追蹤的兩個模態中真正佔優。這兩條件必須同時連續五十個時間單位，而不是各自在不同時段成立。實際最長重疊只有十六，所以第三層失敗。

第四層原本要在前置狀態合格後搜尋向上穿越，再檢查唯一性、事後維持及非切向性。由於第三層未通過，第四層沒有合法起點。這並非表示一個已承認事件具有不良斜率，而是後續條件根本未到評估階段。這也是為何不能只挑出視覺上最陡的一次穿越。

第五層才是建立參考值。若申明事件存在，三層有限元素的事件時間要在指定容差內穩定，最細有限元素亦要與獨立有限差分一致。這些比較需要數值型事件時間，不能對不存在的時間做減法。故第五層未執行，而不是以「大家都找不到事件」當作通過。

第六層才輪到自適應策略。它會需要可微的事件量、參考事件時間、誤差定義、配對成本與估計器。前五層任何一層失敗，都足以阻止第六層。本次停止點精確位於第三層，並保留第一、二層的正面數值證據。這種分層紀錄比單一成功或失敗標籤更有資訊，也避免讀者誤以為程式崩潰或自適應方法已輸掉比較。

這條邏輯也說明為何停止不是保守過度。假如略過前置狀態，只用最細原始穿越作參考，後續估計器可能對該數字得到很小誤差；但它回答的是「分數何時越過二分之一」，不是「已建立的一階圖樣何時轉交給二階圖樣」。兩個問題在某些軌跡可以重合，在本軌跡並不重合。把它們混在一起，精密計算只會掩飾定義錯置。

如何理解看似良好的原始收斂

四個原始穿越時間按細化方向單調靠近，這是有價值的診斷。它表明可見的分數轉折不是任意跳動，也提示時空離散誤差正在減少。不過，單調序列不自動給出誤差階數，因為三個有限元素層級同時減半網格及時間步，時間一階與空間二階貢獻混合；有限差分又使用另一種空間表示。製造解測試才負責分離各自階數。

即使能對原始穿越做外推，外推極限仍只是另一個量的極限。數值分析中常見的危險，是把一個計得非常穩定的代理量誤認成真正研究端點。穩定性回答「這個量能否重複算到」，合適性回答「這個量是否對應宣告問題」。兩者必須分開。

此外，最細有限差分不是無限解析度。它雖以獨立保守通量組裝，仍有時間截斷、空間截斷與同一反應項離散。它的主要角色是降低共同錯誤的可能性，而不是為所有未量化誤差提供證書。若正式事件存在，仍需按凍結容差評估；若要作更強參考，則需獨立的空間與時間細化、誤差界或解析基準。

無增長控制亦應按同樣界線解讀。它顯示移除指定增長後，原始穿越消失，支持 detector 沒有在每條長軌跡上必然產生事件。它不是對增長因果機制的普遍證明，因為只比較一組參數與一個初值，也沒有處理稀釋、非均勻增長或實驗觀測。良好控制令本次結論更可信，卻不擴大結論涵蓋的世界。

若重新設計事件，甚麼必須預先決定

目前結果合理地提出一個新問題：五十時間單位及百分之八十純度是否太嚴格？這可以研究，但答案不能由本次軌跡倒推。新的版本至少要在計算前寫明科學上要辨認的前置狀態、幅度正規化方式、純度涉及哪些模態、容許短暫跌出條件多久、穿越方向、重複穿越的處理、事後維持區間及切向門檻。

若改用峰數，還要凍結平滑方法、峰顯著度、端點規則、最小峰距與輸出頻率；若改用形態距離，則要先指定模板、距離、正規化與閾值；若改用能量比，則要決定截取多少模態及高頻能量如何處理。每一種定義都會產生不同量，沒有一種可以在同一結果上事後挑到最漂亮的一個。

新版本還應使用開發、驗證與最終評估的分離。現有軌跡已揭露哪個條件失敗，可以用來發展候選定義，卻不能再作無偏最終驗證。應在其他預先指定參數或初值上檢查候選規則，再把選定規則凍結，最後於未打開的軌跡評估是否存在、唯一、穩定及可跨方法重現。

這樣做不是要求事件定義永遠不變，而是要求變更有版本、有理由、有新資料邊界。研究方法可以從這次事件失敗中學習；不能做的是抹去原先結果，讓讀者以為新定義一直存在。

下一步應測試甚麼

完整設計原本包括三個策略。Uniform refinement 提供 baseline；residual marking 根據 state-equation residual 與 flux jump 選 element；goal marking 則以 event-time adjoint 權重集中 event functional 最敏感的 regions。比較會固定 accuracy target 或 matched computational budget，報 event-time error、degrees of freedom、steps、work proxy、effectivity 與 wall-clock distribution。

Phase-1A 只處理 reference feasibility。它沒有 residual estimator implementation、dual solve、Dörfler marking、mesh transfer study 或 matched-budget timing。這些不是漏寫的結果，而是尚未進行的研究工作。

因此，不能從 uniform FEM 與 fine FD 的一致推論 adaptive method superiority，也不能說 event-goal mesh 會較高效。甚至「網格能否保留事件」這個標題在目前只是研究問題。現有答案是：對 frozen benchmark 而言，沒有 admissible event 可供任何 mesh 保存。

下一階段有兩條清楚路線。第一條是重新論證 event definition，例如調整 predecessor purity 或改用具物理意義的 functional，再用新 protocol 重做 feasibility。第二條保留現有 event definition，改變 model parameter 或 initial perturbation，尋找真正能建立 predecessor state 的 regime。兩條路線都要事前固定 grid、horizon、判定條件與 multiplicity rule，不能把本次結果改判成成功。

若重新設計 event definition，development cases 與 confirmatory cases 必須分開。前者可以用來觀察 amplitude 與 purity histories，協助提出 threshold 和 window；一旦看 held-out cases，這些數值便不能再改。確認階段亦不應只報平均 crossing time，而要同時列出 event existence rate、multiple crossings、transversality、最長 establishment duration，以及各條 trajectory 距離判定門檻有多遠。只在一條 trajectory 上成立的定義，仍不足以支撐 mesh comparison。這個 split 也避免利用 held-out trajectory 反覆調整定義。

若保留現有定義，parameter study 要尋找相鄰而非孤立的 feasible regime。候選事件至少應在兩種 numerical formulations 與多個 resolution 上保持 unique、persistent 及 transversal，然後才比較 uniform、residual 與 goal-oriented refinement。最好在三個或以上相鄰參數點重複這項檢查，確認 event 不是剛好貼着 threshold 的偶然個案。Matched-budget table 亦要明確保留沒有 event 的 cases，不能刪去失敗案例後只對成功案例排名。這樣的下一階段才真正回答標題，而不是重命名今次的 raw crossing。

重複運算為何重要

兩次完全不改設定的運算得到相同 modal histories、事件判定、controls 與 verification results，並且同樣找不到合格事件。兩次 wall-clock time 略有差別，因為 scheduling 與 system state 會影響 elapsed time。Runtime 因而沒有放入 scientific comparison，亦沒有被用來支持 efficiency claim。

Matrix properties 與 consistent-mass projection 支持空間離散；manufactured solutions 分別量度時空收斂階；event interpolation、uniqueness、persistence 與 transversality 提供事件邏輯的不同視角；negative control 則確認 detector 不會在無增長時製造 crossing。完全相同設定下重算仍得到同一 modal history 與停止結論。這些結果不會令 event 成立，但能排除多種常見 numerical error，並把失敗定位在五十時間單位的前置條件。

獨立離散能排除甚麼

FEM 與 FD 使用相同模型、初值、輸出時間及事件定義，但空間離散及組裝方式不同。兩者所得 modal histories、穿越位置與事件不存在的結論接近，使「結果只來自某一種 assembly 錯誤」這個解釋較不可信。不過，兩套方法仍可能共享 event definition、模型方程或輸出解讀上的錯誤；它們的一致亦不能變成生物驗證。這次交叉核對能支持的窄結論，是前置狀態不足五十時間單位這項失敗，在更換離散 family 後仍然存在。

這次事件失敗對 event design 的啟示

第一，event 是一個帶歷史的 predicate，不一定是當下 scalar threshold。Establishment 與 persistence 把「從哪個 state 轉到哪個 state」寫進定義。只保存 crossing point 而遺失其前後 history，會令不同物理敘事共享同一數字。

第二，relative score 可以在 absolute amplitudes 很小時劇烈變化。這就是 amplitude gate 存在的原因。相反，absolute amplitude 強也不保證 modal purity，正如本 case 所示。兩種條件捕捉不同 failure modes，不能在事後任意刪去其一。

第三，convergence of a surrogate 不等於 existence of the target. Raw crossing sequence 看來規整，甚至可以估計 order；但 target event 未定義。Numerical analyst 必須先問 functional 是否 well posed，再問 discretization error 多大。

第四，independent formulations 最有價值的時候，不一定是確認 positive result。FEM/FD concordance 令我們較有把握事件缺失不是某個 spatial assembly artifact。Negative evidence 若有 precise failure reason、refinement 與 control，也可以是扎實結果。

第五，stop rule 需要在運行前具體。若規則只寫「結果不夠好便再調」，就不能區分 protocol refinement 與 outcome tuning。本專案在這裏停止，是因申明事件未成立，而不是因 adaptive method 表現差。後者根本未被測試。

這個結果能說明甚麼，仍有甚麼未解

這個結果支持四項結論。相關 operators 通過所列 verification；nested FEM 與獨立組裝的 conservative FD 解析出高度一致的 modal histories 與 spatial profiles；no-growth control 沒有 raw transition；而最關鍵的 predecessor state 只維持十六個時間單位，遠低於所需的五十，所以所有計算都沒有合格事件時間。完全不改設定再算一次，scientific result 亦沒有改變。

未解問題同樣清楚。研究沒有運行 adaptive mesh、residual estimator、adjoint 或 matched-budget comparison，因此不知道它們的 accuracy 與 efficiency。約五百四十的 raw crossing 不是 validated event time。這個一維 synthetic model 亦不能代表二維 growing domains、其他 kinetics、其他 initial conditions，更不能直接對應某個 developmental system。

這些限制不會抹去數值發現，反而說明它的位置：一個 sharp、refined 而且 repeatable 的 transition，仍然可能未滿足後續 mesh comparison 所需要的 event definition。

若下一階段重設 event definition，應先回答三個問題。新的 predecessor state 有沒有可量度的物理或數學理由？在不同 resolution 與 independent formulation 下，event 是否 unique 且 transversal？若某條 trajectory 沒有 event，comparison 如何如實保留這個結果，而不是把它改畫成零？這三點比先選 adaptive algorithm 更早，因為 algorithm 只能逼近一個已經定義好的 quantity。

結論

這個 benchmark 解析出清楚、隨 refinement 穩定並經 independent FD 核對的 raw modal transition。它也通過 selected operator verification，並在 no-growth control 中避免虛假 crossing。可是，凍結的 predecessor establishment 只維持十六，而要求是五十。因此，所有計算都沒有合格事件時間。

所以，問題「哪一種 mesh 最能保存事件」在本 Phase 沒有可比較答案。Uniform FEM 沒有勝出，adaptive FEM 亦沒有失敗，因為後者根本未被運行。準確說法是：這個 event definition 在這條 trajectory 上未建立 reference feasibility，任何 event-time error、effectivity 或 efficiency comparison 都未定義。

若把 539.45 改叫 $t^*$ ，文章會得到較順眼的 positive plot，卻失去原本 quantity of interest。如實保留事件未成立的結果留下一個直接教訓：在最佳化網格之前，先證明要保存的事件真的存在。

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