Kenneth Cheng數學建模

競賽 · 競賽題解資源庫

澳門校際／學界數學比賽題解資源庫（2019–2026）

經來源核對的初中及高中組題解資源庫，收錄 214 份思路、完整解答、知識點、幾何圖及三個可展開示範。

這個教學資源庫涵蓋八個賽事年度／週期及兩個中學組別。請先在教青局官方比賽題庫查閱權威原題，再利用獨立題解讀本比較解題思路與完整論證。

澳門校際／學界數學比賽題解資源庫封面

2019–2025/2026 · 初中組與高中組

由歷屆題目走到可檢查的解題思路。

這個資源庫不是把試卷堆在一起，而是把每題整理成原卷定位、思路解析、奧數知識點、完整解答與最終答案。原卷仍以教青局題庫為準。

下載 248 頁題解讀本開啟教青局官方題庫
8
賽事年度／週期
16
初中及高中組原卷
214
完整題解
46
向量幾何圖

收錄矩陣

每一列代表一個賽事年度；所有題解都已對應到組別及題號。

年度初中組高中組合計
2019131528
2020191635
2021131023
2022161228
2022/2023161228
2023/2024161127
2024/2025161026
2025/202610919
合計11698214

題目跨越哪些數學領域？

同一題可以同時涉及多個領域，因此以下標籤數目會重疊，總和不等於 214。

代數與方程103
數論64
幾何與三角48
不等式與最優化44
組合與博弈36
數列、函數與分析26
混合／基礎3

三種實際用法

  1. 01

    單題練習

    先看官方原題，在 10–20 分鐘內寫出突破口，再展開思路與完整解答作比較。

  2. 02

    主題訓練

    按代數、數論、幾何、組合或不等式集中練習，並記錄每題真正使用的轉化。

  3. 03

    完整模擬

    按原卷時限完成一個組別；批改時分開評估答案、核心想法、論證完整性及表達。

可展開示範

不要只看答案：先找出控制整題的結構。

三個示範分別展示估值、有限狀態遞推與完整幾何證明；使用鍵盤亦可展開。

2025/2026 · 初中組 Q2 · 取整與估值

何時一個根式差會跌到 1 以下？

N=⌊16−6⌋+⌊26−16⌋+⋯+⌊2026−2016⌋N = \left\lfloor\sqrt{16}-\sqrt{6}\right\rfloor + \left\lfloor\sqrt{26}-\sqrt{16}\right\rfloor + \cdots + \left\lfloor\sqrt{2026}-\sqrt{2016}\right\rfloor
思路提示

把第 k 項有理化為 10/(√(10k+6)+√(10k−4))。分母單調增加，所以只需檢查最前面的臨界項。

10k+6−10k−4=1010k+6+10k−4\sqrt{10k+6}-\sqrt{10k-4}=\frac{10}{\sqrt{10k+6}+\sqrt{10k-4}}
展開完整解答

將和式寫成 k=1 至 202。k=1,2 時，有理化後的值嚴格落在 (1,2)，兩項取整皆為 1。k≥3 時，分母至少為 √36+√26>10，所以每項嚴格落在 (0,1)，取整為 0。因此 N=1+1=2。

1<1010k+6+10k−4<2 (k=1,2),0<1010k+6+10k−4<1 (k≥3),N=21<\frac{10}{\sqrt{10k+6}+\sqrt{10k-4}}<2\ (k=1,2),\qquad 0<\frac{10}{\sqrt{10k+6}+\sqrt{10k-4}}<1\ (k\geq3),\qquad N=2

2025/2026 · 高中組 Q3 · 有限狀態遞推

禁止 AA 與 BBB 後，九位字串有多少個？

把合法字串按末端分成 A、單個 B、BB 三個狀態。

思路提示
un+1=vn+wn,vn+1=un,wn+1=vnu_{n+1}=v_n+w_n,\qquad v_{n+1}=u_n,\qquad w_{n+1}=v_n
展開完整解答

初始狀態為 (u₁,v₁,w₁)=(1,1,0)。逐步遞推至 n=9 得 (9,7,5)，所以合法字串總數為 9+7+5=21。官方原卷所列選項沒有 21；讀本保留此不一致並把原卷列為權威來源，而不是改寫選項。

(u1,v1,w1)=(1,1,0),(u9,v9,w9)=(9,7,5),u9+v9+w9=21(u_1,v_1,w_1)=(1,1,0),\qquad (u_9,v_9,w_9)=(9,7,5),\qquad u_9+v_9+w_9=21

2025/2026 · 高中組 Q9 · 旁切圓與共線

中點條件如何變成三點共線？

三角形、外接圓與 A 旁切圓示意圖圖中標示 A、B、C、內心 I、外心 O、切點 K、L、M 及 KL 中點 N。ABCKLNMOI
思路提示

先沿 A 的角平分線設坐標，利用 AK=AL=s 與 N∈ω 導出一個邊長恆等式；再在 BC 為 x 軸的坐標中計算 I、M、O 的面積行列式。

AK=AL=s,N∈ω,[I,M,O]=0AK=AL=s,\qquad N\in\omega,\qquad [I,M,O]=0
展開完整解答

設 a=BC、b=CA、c=AB、s=(a+b+c)/2、θ=A/2。取 A 為原點、角平分線為 x 軸，則 K,L=(s cosθ,±s sinθ)，故 N=(s cosθ,0)。外接圓寫成 x²+y²−λx−μy=0，由 B、C 得 λ=(b+c)/(2cosθ)。因 N 是圓上另一個 x 軸交點，s cosθ=λ，故 2s cos²θ=b+c。配合餘弦定理可化為 F(a,b,c)=0。

s=a+b+c2,θ=A2,K,L=(scos⁡θ,±ssin⁡θ),N=(scos⁡θ,0),2scos⁡2θ=b+cs=\frac{a+b+c}{2},\quad \theta=\frac{A}{2},\quad K,L=(s\cos\theta,\pm s\sin\theta),\quad N=(s\cos\theta,0),\quad 2s\cos^2\theta=b+c
F=a3+a2b+a2c−ab2−2abc−ac2−b3+b2c+bc2−c3F=a^3+a^2b+a^2c-ab^2-2abc-ac^2-b^3+b^2c+bc^2-c^3

再取 B=(0,0)、C=(a,0)、A=(p,q)，其中 p=(a²+c²−b²)/(2a)。由旁切圓切點得 M=(s−c,0)；內心與外心分別為 I=(a(p+c)/(2s), aq/(2s))、O=(a/2,(c²−ap)/(2q))。三點的有向面積行列式化為 Δ=(b−c)F/(8aq)=0，因此 I、M、O 共線。

p=a2+c2−b22a,M=(s−c,0),I=(a(p+c)2s,aq2s),O=(a2,c2−ap2q),Δ=(b−c)F8aq=0p=\frac{a^2+c^2-b^2}{2a},\quad M=(s-c,0),\quad I=\left(\frac{a(p+c)}{2s},\frac{aq}{2s}\right),\quad O=\left(\frac{a}{2},\frac{c^2-ap}{2q}\right),\quad \Delta=\frac{(b-c)F}{8aq}=0

題目來源：2025/2026 學年學界數學比賽；原卷以教青局版本為準。

繼續探索