紙筆・推理・練習

正方形與四邊形包含式分類

結合矩形與菱形條件，比較對角線，反駁欠缺條件的逆向敘述。

40 分鐘 · 八下・正文 45–48 頁・正文第 23–24 課時

教材對照：八下第18章平行四邊形・第23–24課時

章節核心練習：配合所列正文課時學習後使用，亦可作章末複習。查看下冊章節規劃

一題示範、一題帶做、八題核心、四題補練及兩題進階。學生紙筆作答，教師控制揭示。

教師參考在研習室安排題單

課堂路線課堂環節

4′先備檢查
5′短探究／概念示範
8′示範與帶做
15′獨立練習
5′訂正
3′離堂題

觀察・解釋

練習前先想一想

3分鐘：預測三張條件卡的最強結論：平行四邊形加對角線等長、加對角線垂直、同時加兩項。 8分鐘：用非正方形的4×3矩形、對角線6和8的非正方形菱形及正方形分類，逐一標記實際符合的條件；正方形同時保留在矩形、菱形及平行四邊形類別內。 5分鐘：解釋為何單一對角線條件不足以判定正方形，而平行四邊形同時具兩項則足夠；對過強結論給反例。 2分鐘：獨立完成：有一個直角的菱形是____，理由是____。

整理關鍵概念

每個正方形同時是矩形與菱形，因此亦是平行四邊形；逆向推論須加條件。

開啟原章節

可按本頁問題作紙筆討論；原活動另頁開啟。

普通班用首個指定例作5分鐘概念示範；進階班按完整18分鐘探究，先寫預測再核對。

教師示範1

ABCD 是矩形且 AB＝BC。證明它是正方形。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

由矩形前提得直角。
對邊相等配合 AB＝BC，得四邊相等。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

帶做2

ABCD 是菱形且有一個直角。說明為何是正方形。

菱形 ⇒ 四條____的邊，且兩組對邊分別____。
一角為 $90^{\circ}$ ；鄰角為 $180^{\circ}-\square=\square$ 。
四邊相等＋四角均為直角 ⇒ ____。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

菱形前提已給出四邊相等。
菱形也是平行四邊形：對角相等、鄰角互補。
一個直角使四角均為直角，再結合四邊相等。

菱形是四邊相等的平行四邊形。
一個直角給出矩形條件，再結合兩類性質。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

先備3

按包含式定義，正方形算矩形嗎？說明理由。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

四邊相等不會使它失去直角。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

先備4

正方形算菱形嗎？說明理由。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

額外的直角不會使等邊性質消失。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習5

矩形兩對角線互相垂直。寫出並說明其特殊分類。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

保留矩形前提，再用菱形判定。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習6

菱形兩對角線相等。寫出並說明其特殊分類。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

把對角線相等與菱形所包含的平行四邊形前提合用。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習7

正方形邊長為 4 cm。精確求對角線，並指出所用直角三角形。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

對角線與兩條 4 cm 邊組成直角三角形。
$AC^{2}=4^{2}+4^{2}=32$ ； $AC=4\sqrt{2}$ cm。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習8

矩形相鄰邊為 8 cm、6 cm。學生因圖上看來接近相等而稱它為正方形，改正說法。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

使用題給長度，不依賴外觀量度。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

離堂題9

每個正方形都是平行四邊形嗎？說明。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

較特殊的分類不會排除較廣的類別。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

離堂題10

每個矩形必是正方形嗎？舉反例。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

直角不保證相鄰邊相等。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課11

正方形有 $AC=4\sqrt{2}$ cm，求 BD。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

正方形是矩形，所以對角線相等。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課12

正方形 ABCD 對角線交於 O。求 ∠AOB 並寫所承繼的性質。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

使用菱形對角線性質。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課13

正方形邊長為 4 cm，求面積及周長，分清單位。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

面積＝4×4＝16 cm²；周長＝4×4＝16 cm。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課14

已知一個簡單四邊形四邊相等，足以判定正方形嗎？

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

正方形還需要直角條件。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

進階15

一般四邊形兩對角線相等且垂直，必是正方形嗎？檢查圖中箏形，指出欠缺的條件。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

垂直方向的對角線被分成 3 與 1。
欠缺互相平分時，只有相等及垂直不能推出正方形。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

進階16

平行四邊形兩對角線相等且垂直。利用兩個不同判定，證明它是正方形。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

分清已知條件及待證／待求結論。
選用準確性質或判定；不能從圖形外觀補上條件。
用該關係及原有條件交代結論。

兩個判定均須使用原有平行四邊形前提。
結合直角與四邊相等。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

備課與評量說明

先備要求

平行四邊形、矩形、菱形及其判定。

觀察學生作答

以兩題先備判斷支援需要；投影示範及帶做，再收集八題紙筆核心作答。補練及進階按需要選用，接受其他完整正確方法；本頁不保存學生紙筆答案。

收集紙本離堂題，記錄完成情況及常見錯法；本頁不批改或儲存紙筆答案。

課堂用紙

下載完整工作紙（ZIP・318份PDF・47.2 MB）

七、八年級上下冊共53包，齊備繁中／英文。含教師答案；學生核心、補練進階及教師版分開存放。

學生核心工作紙：兩頁A4。補練另頁；教師版另附參考推理。

列印版本

教材對照與編寫

配合所列下冊正文課時學習後使用的原創章節核心練習。教材頁碼只作技能對照，不重刊教材習題。

大湾区初中数学三维课堂（八年级下册）正文.pdf

八下・正文 45–48 頁・正文第 23–24 課時

題目及解說為原創；本頁不重刊教材或答案PDF。

正方形與四邊形包含式分類

八下・正文 45–48 頁・正文第 23–24 課時 · 1/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

教師示範1

ABCD 是矩形且 AB＝BC。證明它是正方形。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

帶做2

ABCD 是菱形且有一個直角。說明為何是正方形。

菱形 ⇒ 四條____的邊，且兩組對邊分別____。
一角為 $90^{\circ}$ ；鄰角為 $180^{\circ}-\square=\square$ 。
四邊相等＋四角均為直角 ⇒ ____。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

先備3

按包含式定義，正方形算矩形嗎？說明理由。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

先備4

正方形算菱形嗎？說明理由。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

正方形與四邊形包含式分類

八下・正文 45–48 頁・正文第 23–24 課時 · 2/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

獨立練習5

矩形兩對角線互相垂直。寫出並說明其特殊分類。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

獨立練習6

菱形兩對角線相等。寫出並說明其特殊分類。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

獨立練習7

正方形邊長為 4 cm。精確求對角線，並指出所用直角三角形。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

獨立練習8

矩形相鄰邊為 8 cm、6 cm。學生因圖上看來接近相等而稱它為正方形，改正說法。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

離堂題9

每個正方形都是平行四邊形嗎？說明。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

離堂題10

每個矩形必是正方形嗎？舉反例。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

正方形與四邊形包含式分類 — 補練

八下・正文 45–48 頁・正文第 23–24 課時

補練／家課11

正方形有 $AC=4\sqrt{2}$ cm，求 BD。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

補練／家課12

正方形 ABCD 對角線交於 O。求 ∠AOB 並寫所承繼的性質。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

補練／家課13

正方形邊長為 4 cm，求面積及周長，分清單位。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

補練／家課14

已知一個簡單四邊形四邊相等，足以判定正方形嗎？

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

進階15

一般四邊形兩對角線相等且垂直，必是正方形嗎？檢查圖中箏形，指出欠缺的條件。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

進階16

平行四邊形兩對角線相等且垂直。利用兩個不同判定，證明它是正方形。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

正方形與四邊形包含式分類 — 教師解答

八下・正文 45–48 頁・正文第 23–24 課時

以兩題先備判斷支援需要；投影示範及帶做，再收集八題紙筆核心作答。補練及進階按需要選用，接受其他完整正確方法；本頁不保存學生紙筆答案。

普通班：先備4、短探究5、示範帶做8、獨立15、訂正5、離堂3分鐘。進階班：探究18、整理4、精選練習13、離堂5分鐘。

先備：平行四邊形、矩形、菱形及其判定。

普通班取首個指定例作5分鐘概念示範；進階班完成整個探究。

3′ 預測三張條件卡的最強結論：平行四邊形加對角線等長、加對角線垂直、同時加兩項。
8′ 用非正方形的4×3矩形、對角線6和8的非正方形菱形及正方形分類，逐一標記實際符合的條件；正方形同時保留在矩形、菱形及平行四邊形類別內。
5′ 解釋為何單一對角線條件不足以判定正方形，而平行四邊形同時具兩項則足夠；對過強結論給反例。
2′ 獨立完成：有一個直角的菱形是____，理由是____。

教師示範1

ABCD 是矩形且 AB＝BC。證明它是正方形。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

矩形給出直角與對邊相等；AB＝BC 使四邊相等，故為正方形。

由矩形前提得直角。
對邊相等配合 AB＝BC，得四邊相等。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

帶做2

ABCD 是菱形且有一個直角。說明為何是正方形。

菱形 ⇒ 四條____的邊，且兩組對邊分別____。
一角為 $90^{\circ}$ ；鄰角為 $180^{\circ}-\square=\square$ 。
四邊相等＋四角均為直角 ⇒ ____。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

它四邊相等；又是有直角的平行四邊形，故四角均直角，因此是正方形。

菱形是四邊相等的平行四邊形。
一個直角給出矩形條件，再結合兩類性質。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

先備3

按包含式定義，正方形算矩形嗎？說明理由。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

算；它符合矩形定義。

四邊相等不會使它失去直角。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

先備4

正方形算菱形嗎？說明理由。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

算；它四邊相等。

額外的直角不會使等邊性質消失。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習5

矩形兩對角線互相垂直。寫出並說明其特殊分類。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

正方形：對角線垂直使此平行四邊形成為菱形，而它已是矩形。

保留矩形前提，再用菱形判定。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習6

菱形兩對角線相等。寫出並說明其特殊分類。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

正方形：對角線相等使此平行四邊形成為矩形，而它已是菱形。

把對角線相等與菱形所包含的平行四邊形前提合用。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習7

正方形邊長為 4 cm。精確求對角線，並指出所用直角三角形。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

$4\sqrt{2}$ cm。

4\sqrt{2}

對角線與兩條 4 cm 邊組成直角三角形。
$AC^{2}=4^{2}+4^{2}=32$ ； $AC=4\sqrt{2}$ cm。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習8

矩形相鄰邊為 8 cm、6 cm。學生因圖上看來接近相等而稱它為正方形，改正說法。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

它是矩形，但不是正方形，因相鄰邊長不同。

使用題給長度，不依賴外觀量度。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

離堂題9

每個正方形都是平行四邊形嗎？說明。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

是；兩組對邊分別平行。

較特殊的分類不會排除較廣的類別。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

離堂題10

每個矩形必是正方形嗎？舉反例。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

不一定；邊長 8 cm、6 cm 的矩形就是反例。

直角不保證相鄰邊相等。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課11

正方形有 $AC=4\sqrt{2}$ cm，求 BD。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

$4\sqrt{2}$ cm。

4\sqrt{2}

正方形是矩形，所以對角線相等。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課12

正方形 ABCD 對角線交於 O。求 ∠AOB 並寫所承繼的性質。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

90°；正方形是菱形，對角線互相垂直。

使用菱形對角線性質。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課13

正方形邊長為 4 cm，求面積及周長，分清單位。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

面積 16 cm²；周長 16 cm。數值相同，但單位不同。

面積＝4×4＝16 cm²；周長＝4×4＝16 cm。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課14

已知一個簡單四邊形四邊相等，足以判定正方形嗎？

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

不足夠；圖中非正方形菱形四邊相等，卻沒有直角。

正方形還需要直角條件。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

進階15

一般四邊形兩對角線相等且垂直，必是正方形嗎？檢查圖中箏形，指出欠缺的條件。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

不一定；兩對角線同為 4 單位且垂直，但沒有互相平分，欠缺平行四邊形條件。

垂直方向的對角線被分成 3 與 1。
欠缺互相平分時，只有相等及垂直不能推出正方形。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

進階16

平行四邊形兩對角線相等且垂直。利用兩個不同判定，證明它是正方形。

幾何示意圖；除作圖任務外，圖形不按比例。

參考答案

對角線相等判定為矩形；對角線垂直判定為菱形。同一四邊形同時屬兩類，故為正方形。

兩個判定均須使用原有平行四邊形前提。
結合直角與四邊相等。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。