紙筆・推理・練習

二次根式：意義、化簡與取值範圍｜教師參考

分清算術平方根與平方方程的解，保留全部實數範圍條件。

40 分鐘 · 八下・正文 1–4 頁・正文第 1–2 課時

教材對照：八下第16章二次根式・第1–2課時

章節核心練習：配合所列正文課時學習後使用，亦可作章末複習。查看下冊章節規劃

一題示範、一題帶做、八題核心、四題補練及兩題進階。學生紙筆作答，教師控制揭示。

學生課堂頁在研習室安排題單

課堂路線課堂環節

4′先備檢查
5′短探究／概念示範
8′示範與帶做
15′獨立練習
5′訂正
3′離堂題

觀察・解釋

練習前先想一想

3分鐘：預測 x＝3、−3、0 時 $\sqrt{x^{2}}$ 的值；原來的符號會保留嗎？先寫理由。 8分鐘：紙上列表記錄 x、x的平方及該平方的算術平方根，再用 x＝1、3、7 檢查 √(x−3)，標記哪些輸入在實數範圍有意義。 5分鐘：解釋 $\sqrt{x^{2}}=|x|$ 及條件 $x-3\geq0$ 。例子只協助猜想，須用非負算術平方根的定義說明。 2分鐘：獨立化簡 $\sqrt{(-5)^{2}}$ ，並分辨它與解 $x^{2}=25$ 的要求。

整理關鍵概念

$\sqrt{a}$ 的值非負，而且 $\sqrt{x^{2}}=|x|$ 。

開啟原章節

可按本頁問題作紙筆討論；原活動另頁開啟。

普通班用首個指定例作5分鐘概念示範；進階班按完整18分鐘探究，先寫預測再核對。

教師示範1

精確化簡，並寫出所需限制。

\sqrt{(-7)^{2}}

根號表示非負的算術平方根；實數範圍的被開方數須非負。
根式乘除法須符合實數範圍的條件。
核對 $7$ ，並解釋化簡步驟。

根號表示非負的算術平方根；實數範圍的被開方數須非負。
中間一步為 $\sqrt{49}=7$ 。
核對原式及算術平方根的正負號。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

帶做2

精確化簡，並寫出所需限制。

\sqrt{50}

補上完全平方因數分拆： $50=25\times\square$ 。
然後 $\sqrt{50}=\sqrt{25}\sqrt{\square}=\square\sqrt{2}$ 。
檢查係數非負，且結果平方後為 50。

找 50 的最大完全平方因數，試用 25。
$50=25\times2$ ；把乘積的平方根分拆。
計算 25 的算術平方根，保留 √2，再平方核對。

先提出完全平方因數；根號表示非負的算術平方根。
中間一步為 $\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}$ 。
核對原式及算術平方根的正負號。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

先備3

精確化簡，並寫出所需限制。

\sqrt{49}

根號表示非負的算術平方根；實數範圍的被開方數須非負。
根式乘除法須符合實數範圍的條件。
核對 $7$ ，並解釋化簡步驟。

根號表示非負的算術平方根；實數範圍的被開方數須非負。
化簡式為 $7$ 。
核對原式及算術平方根的正負號。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

先備4

這個式子在實數範圍有意義嗎？說明理由。

\sqrt{-4}

由原式的被開方數開始。
根號內可以為零，但分母不能為零。
把每個端點代回原式檢查。

每個被開方數須非負；位於分母的根式更須嚴格大於零。
解所得的一次不等式，再取共同部分。
全部允許取值為 $\varnothing$ 。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習5

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

\sqrt{x-3}

由原式的被開方數開始。
根號內可以為零，但分母不能為零。
把每個端點代回原式檢查。

每個被開方數須非負；位於分母的根式更須嚴格大於零。
解所得的一次不等式，再取共同部分。
全部允許取值為 $x\geq3$ 。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習6

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

\sqrt{5-2x}

由原式的被開方數開始。
根號內可以為零，但分母不能為零。
把每個端點代回原式檢查。

每個被開方數須非負；位於分母的根式更須嚴格大於零。
解所得的一次不等式，再取共同部分。
全部允許取值為 $x\leq\frac{5}{2}$ 。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習7

精確化簡，並寫出所需限制。

\sqrt{x^{2}}

即使 x 為負數，算術平方根也不能為負。
根式乘除法須符合實數範圍的條件。
核對 $|x|$ ，並解釋化簡步驟。

即使 x 為負數，算術平方根也不能為負。
化簡式為 $|x|$ 。
核對原式及算術平方根的正負號。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習8

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

\frac{1}{\sqrt{x+2}}

由原式的被開方數開始。
根號內可以為零，但分母不能為零。
把每個端點代回原式檢查。

每個被開方數須非負；位於分母的根式更須嚴格大於零。
解所得的一次不等式，再取共同部分。
全部允許取值為 $x>-2$ 。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

離堂題9

精確化簡，並寫出所需限制。

\sqrt{0}

根號表示非負的算術平方根；實數範圍的被開方數須非負。
根式乘除法須符合實數範圍的條件。
核對 $0$ ，並解釋化簡步驟。

根號表示非負的算術平方根；實數範圍的被開方數須非負。
化簡式為 $0$ 。
核對原式及算術平方根的正負號。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

離堂題10

學生寫 $\sqrt{25}=\pm5$ 。寫正確值並說明錯誤。

\sqrt{25}

x²＝25 有兩個解，但算術平方根的符號本身只表示 5。
根式乘除法須符合實數範圍的條件。
核對 $5$ ，並解釋化簡步驟。

x²＝25 有兩個解，但算術平方根的符號本身只表示 5。
化簡式為 $5$ 。
核對原式及算術平方根的正負號。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課11

精確化簡，並寫出所需限制。

\sqrt{\frac{1}{4}}

根號表示非負的算術平方根；實數範圍的被開方數須非負。
根式乘除法須符合實數範圍的條件。
核對 $\frac{1}{2}$ ，並解釋化簡步驟。

根號表示非負的算術平方根；實數範圍的被開方數須非負。
化簡式為 $\frac{1}{2}$ 。
核對原式及算術平方根的正負號。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課12

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

\sqrt{x-1}+\sqrt{4-x}

由原式的被開方數開始。
根號內可以為零，但分母不能為零。
把每個端點代回原式檢查。

每個被開方數須非負；位於分母的根式更須嚴格大於零。
解所得的一次不等式，再取共同部分。
全部允許取值為 $1\leq x\leq4$ 。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課13

精確化簡，並寫出所需限制。

\sqrt{(0-2)^{2}}

根號表示非負的算術平方根；實數範圍的被開方數須非負。
根式乘除法須符合實數範圍的條件。
核對 $2$ ，並解釋化簡步驟。

根號表示非負的算術平方根；實數範圍的被開方數須非負。
中間一步為 $|0-2|=2$ 。
核對原式及算術平方根的正負號。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課14

精確化簡，並寫出所需限制。

(\sqrt{11})^{2}

把非負的算術平方根平方，可還原非負被開方數。
根式乘除法須符合實數範圍的條件。
核對 $11$ ，並解釋化簡步驟。

把非負的算術平方根平方，可還原非負被開方數。
化簡式為 $11$ 。
核對原式及算術平方根的正負號。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

進階15

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

\frac{\sqrt{2x+1}}{\sqrt{3-x}}

由原式的被開方數開始。
根號內可以為零，但分母不能為零。
把每個端點代回原式檢查。

每個被開方數須非負；位於分母的根式更須嚴格大於零。
解所得的一次不等式，再取共同部分。
全部允許取值為 $-\frac{1}{2}\leq x<3$ 。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

進階16

用這個值反駁「對所有實數 x， $\sqrt{x^{2}}=x$ 」。

\sqrt{(-2)^{2}}

x＝−2 時根式為 2，但 x 為 −2；正確恆等式須用絕對值。
根式乘除法須符合實數範圍的條件。
核對 $2$ ，並解釋化簡步驟。

x＝−2 時根式為 2，但 x 為 −2；正確恆等式須用絕對值。
化簡式為 $2$ 。
核對原式及算術平方根的正負號。

檢核清單

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

備課與評量說明

先備要求

平方、非負數及一次不等式。

觀察學生作答

以兩題先備判斷支援需要；投影示範及帶做，再收集八題紙筆核心作答。補練及進階按需要選用，接受其他完整正確方法；本頁不保存學生紙筆答案。

收集紙本離堂題，記錄完成情況及常見錯法；本頁不批改或儲存紙筆答案。

全部參考答案

教師示範1

精確化簡，並寫出所需限制。

\sqrt{(-7)^{2}}

參考答案

$7$

7

根號表示非負的算術平方根；實數範圍的被開方數須非負。
中間一步為 $\sqrt{49}=7$ 。
核對原式及算術平方根的正負號。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

帶做2

精確化簡，並寫出所需限制。

\sqrt{50}

補上完全平方因數分拆： $50=25\times\square$ 。
然後 $\sqrt{50}=\sqrt{25}\sqrt{\square}=\square\sqrt{2}$ 。
檢查係數非負，且結果平方後為 50。

參考答案

$5\sqrt{2}$

5\sqrt{2}

先提出完全平方因數；根號表示非負的算術平方根。
中間一步為 $\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}$ 。
核對原式及算術平方根的正負號。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

先備3

精確化簡，並寫出所需限制。

\sqrt{49}

參考答案

$7$

7

根號表示非負的算術平方根；實數範圍的被開方數須非負。
化簡式為 $7$ 。
核對原式及算術平方根的正負號。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

先備4

這個式子在實數範圍有意義嗎？說明理由。

\sqrt{-4}

參考答案

沒有實數值；常數被開方數 −4 為負。

\varnothing

每個被開方數須非負；位於分母的根式更須嚴格大於零。
解所得的一次不等式，再取共同部分。
全部允許取值為 $\varnothing$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習5

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

\sqrt{x-3}

參考答案

$x\geq3$

x\geq3

每個被開方數須非負；位於分母的根式更須嚴格大於零。
解所得的一次不等式，再取共同部分。
全部允許取值為 $x\geq3$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習6

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

\sqrt{5-2x}

參考答案

$x\leq\frac{5}{2}$

x\leq\frac{5}{2}

每個被開方數須非負；位於分母的根式更須嚴格大於零。
解所得的一次不等式，再取共同部分。
全部允許取值為 $x\leq\frac{5}{2}$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習7

精確化簡，並寫出所需限制。

\sqrt{x^{2}}

參考答案

$|x|$

|x|

即使 x 為負數，算術平方根也不能為負。
化簡式為 $|x|$ 。
核對原式及算術平方根的正負號。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習8

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

\frac{1}{\sqrt{x+2}}

參考答案

$x>-2$

x>-2

每個被開方數須非負；位於分母的根式更須嚴格大於零。
解所得的一次不等式，再取共同部分。
全部允許取值為 $x>-2$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

離堂題9

精確化簡，並寫出所需限制。

\sqrt{0}

參考答案

$0$

0

根號表示非負的算術平方根；實數範圍的被開方數須非負。
化簡式為 $0$ 。
核對原式及算術平方根的正負號。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

離堂題10

學生寫 $\sqrt{25}=\pm5$ 。寫正確值並說明錯誤。

\sqrt{25}

參考答案

$5$

5

x²＝25 有兩個解，但算術平方根的符號本身只表示 5。
化簡式為 $5$ 。
核對原式及算術平方根的正負號。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課11

精確化簡，並寫出所需限制。

\sqrt{\frac{1}{4}}

參考答案

$\frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

根號表示非負的算術平方根；實數範圍的被開方數須非負。
化簡式為 $\frac{1}{2}$ 。
核對原式及算術平方根的正負號。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課12

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

\sqrt{x-1}+\sqrt{4-x}

參考答案

$1\leq x\leq4$

1\leq x\leq4

每個被開方數須非負；位於分母的根式更須嚴格大於零。
解所得的一次不等式，再取共同部分。
全部允許取值為 $1\leq x\leq4$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課13

精確化簡，並寫出所需限制。

\sqrt{(0-2)^{2}}

參考答案

$2$

2

根號表示非負的算術平方根；實數範圍的被開方數須非負。
中間一步為 $|0-2|=2$ 。
核對原式及算術平方根的正負號。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課14

精確化簡，並寫出所需限制。

(\sqrt{11})^{2}

參考答案

$11$

11

把非負的算術平方根平方，可還原非負被開方數。
化簡式為 $11$ 。
核對原式及算術平方根的正負號。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

進階15

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

\frac{\sqrt{2x+1}}{\sqrt{3-x}}

參考答案

$-\frac{1}{2}\leq x<3$

-\frac{1}{2}\leq x<3

每個被開方數須非負；位於分母的根式更須嚴格大於零。
解所得的一次不等式，再取共同部分。
全部允許取值為 $-\frac{1}{2}\leq x<3$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

進階16

用這個值反駁「對所有實數 x， $\sqrt{x^{2}}=x$ 」。

\sqrt{(-2)^{2}}

參考答案

$2$

2

x＝−2 時根式為 2，但 x 為 −2；正確恆等式須用絕對值。
化簡式為 $2$ 。
核對原式及算術平方根的正負號。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

課堂用紙

下載完整工作紙（ZIP・318份PDF・47.2 MB）

七、八年級上下冊共53包，齊備繁中／英文。含教師答案；學生核心、補練進階及教師版分開存放。

學生核心工作紙：兩頁A4。補練另頁；教師版另附參考推理。

列印版本

教材對照與編寫

配合所列下冊正文課時學習後使用的原創章節核心練習。教材頁碼只作技能對照，不重刊教材習題。

大湾区初中数学三维课堂（八年级下册）正文.pdf

八下・正文 1–4 頁・正文第 1–2 課時

題目及解說為原創；本頁不重刊教材或答案PDF。

二次根式：意義、化簡與取值範圍

八下・正文 1–4 頁・正文第 1–2 課時 · 1/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

教師示範1

精確化簡，並寫出所需限制。

\sqrt{(-7)^{2}}

帶做2

精確化簡，並寫出所需限制。

\sqrt{50}

補上完全平方因數分拆： $50=25\times\square$ 。
然後 $\sqrt{50}=\sqrt{25}\sqrt{\square}=\square\sqrt{2}$ 。
檢查係數非負，且結果平方後為 50。

先備3

精確化簡，並寫出所需限制。

\sqrt{49}

先備4

這個式子在實數範圍有意義嗎？說明理由。

\sqrt{-4}

二次根式：意義、化簡與取值範圍

八下・正文 1–4 頁・正文第 1–2 課時 · 2/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

獨立練習5

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

\sqrt{x-3}

獨立練習6

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

\sqrt{5-2x}

獨立練習7

精確化簡，並寫出所需限制。

\sqrt{x^{2}}

獨立練習8

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

\frac{1}{\sqrt{x+2}}

離堂題9

精確化簡，並寫出所需限制。

\sqrt{0}

離堂題10

學生寫 $\sqrt{25}=\pm5$ 。寫正確值並說明錯誤。

\sqrt{25}

二次根式：意義、化簡與取值範圍 — 補練

八下・正文 1–4 頁・正文第 1–2 課時

補練／家課11

精確化簡，並寫出所需限制。

\sqrt{\frac{1}{4}}

補練／家課12

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

\sqrt{x-1}+\sqrt{4-x}

補練／家課13

精確化簡，並寫出所需限制。

\sqrt{(0-2)^{2}}

補練／家課14

精確化簡，並寫出所需限制。

(\sqrt{11})^{2}

進階15

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

\frac{\sqrt{2x+1}}{\sqrt{3-x}}

進階16

用這個值反駁「對所有實數 x， $\sqrt{x^{2}}=x$ 」。

\sqrt{(-2)^{2}}

二次根式：意義、化簡與取值範圍 — 教師解答

八下・正文 1–4 頁・正文第 1–2 課時

以兩題先備判斷支援需要；投影示範及帶做，再收集八題紙筆核心作答。補練及進階按需要選用，接受其他完整正確方法；本頁不保存學生紙筆答案。

普通班：先備4、短探究5、示範帶做8、獨立15、訂正5、離堂3分鐘。進階班：探究18、整理4、精選練習13、離堂5分鐘。

先備：平方、非負數及一次不等式。

普通班取首個指定例作5分鐘概念示範；進階班完成整個探究。

3′ 預測 x＝3、−3、0 時 $\sqrt{x^{2}}$ 的值；原來的符號會保留嗎？先寫理由。
8′ 紙上列表記錄 x、x的平方及該平方的算術平方根，再用 x＝1、3、7 檢查 √(x−3)，標記哪些輸入在實數範圍有意義。
5′ 解釋 $\sqrt{x^{2}}=|x|$ 及條件 $x-3\geq0$ 。例子只協助猜想，須用非負算術平方根的定義說明。
2′ 獨立化簡 $\sqrt{(-5)^{2}}$ ，並分辨它與解 $x^{2}=25$ 的要求。

教師示範1

精確化簡，並寫出所需限制。

\sqrt{(-7)^{2}}

參考答案

$7$

7

根號表示非負的算術平方根；實數範圍的被開方數須非負。
中間一步為 $\sqrt{49}=7$ 。
核對原式及算術平方根的正負號。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

帶做2

精確化簡，並寫出所需限制。

\sqrt{50}

補上完全平方因數分拆： $50=25\times\square$ 。
然後 $\sqrt{50}=\sqrt{25}\sqrt{\square}=\square\sqrt{2}$ 。
檢查係數非負，且結果平方後為 50。

參考答案

$5\sqrt{2}$

5\sqrt{2}

先提出完全平方因數；根號表示非負的算術平方根。
中間一步為 $\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}$ 。
核對原式及算術平方根的正負號。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

先備3

精確化簡，並寫出所需限制。

\sqrt{49}

參考答案

$7$

7

根號表示非負的算術平方根；實數範圍的被開方數須非負。
化簡式為 $7$ 。
核對原式及算術平方根的正負號。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

先備4

這個式子在實數範圍有意義嗎？說明理由。

\sqrt{-4}

參考答案

沒有實數值；常數被開方數 −4 為負。

\varnothing

每個被開方數須非負；位於分母的根式更須嚴格大於零。
解所得的一次不等式，再取共同部分。
全部允許取值為 $\varnothing$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習5

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

\sqrt{x-3}

參考答案

$x\geq3$

x\geq3

每個被開方數須非負；位於分母的根式更須嚴格大於零。
解所得的一次不等式，再取共同部分。
全部允許取值為 $x\geq3$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習6

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

\sqrt{5-2x}

參考答案

$x\leq\frac{5}{2}$

x\leq\frac{5}{2}

每個被開方數須非負；位於分母的根式更須嚴格大於零。
解所得的一次不等式，再取共同部分。
全部允許取值為 $x\leq\frac{5}{2}$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習7

精確化簡，並寫出所需限制。

\sqrt{x^{2}}

參考答案

$|x|$

|x|

即使 x 為負數，算術平方根也不能為負。
化簡式為 $|x|$ 。
核對原式及算術平方根的正負號。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

獨立練習8

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

\frac{1}{\sqrt{x+2}}

參考答案

$x>-2$

x>-2

每個被開方數須非負；位於分母的根式更須嚴格大於零。
解所得的一次不等式，再取共同部分。
全部允許取值為 $x>-2$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

離堂題9

精確化簡，並寫出所需限制。

\sqrt{0}

參考答案

$0$

0

根號表示非負的算術平方根；實數範圍的被開方數須非負。
化簡式為 $0$ 。
核對原式及算術平方根的正負號。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

離堂題10

學生寫 $\sqrt{25}=\pm5$ 。寫正確值並說明錯誤。

\sqrt{25}

參考答案

$5$

5

x²＝25 有兩個解，但算術平方根的符號本身只表示 5。
化簡式為 $5$ 。
核對原式及算術平方根的正負號。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課11

精確化簡，並寫出所需限制。

\sqrt{\frac{1}{4}}

參考答案

$\frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

根號表示非負的算術平方根；實數範圍的被開方數須非負。
化簡式為 $\frac{1}{2}$ 。
核對原式及算術平方根的正負號。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課12

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

\sqrt{x-1}+\sqrt{4-x}

參考答案

$1\leq x\leq4$

1\leq x\leq4

每個被開方數須非負；位於分母的根式更須嚴格大於零。
解所得的一次不等式，再取共同部分。
全部允許取值為 $1\leq x\leq4$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課13

精確化簡，並寫出所需限制。

\sqrt{(0-2)^{2}}

參考答案

$2$

2

根號表示非負的算術平方根；實數範圍的被開方數須非負。
中間一步為 $|0-2|=2$ 。
核對原式及算術平方根的正負號。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

補練／家課14

精確化簡，並寫出所需限制。

(\sqrt{11})^{2}

參考答案

$11$

11

把非負的算術平方根平方，可還原非負被開方數。
化簡式為 $11$ 。
核對原式及算術平方根的正負號。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

進階15

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

\frac{\sqrt{2x+1}}{\sqrt{3-x}}

參考答案

$-\frac{1}{2}\leq x<3$

-\frac{1}{2}\leq x<3

每個被開方數須非負；位於分母的根式更須嚴格大於零。
解所得的一次不等式，再取共同部分。
全部允許取值為 $-\frac{1}{2}\leq x<3$ 。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。

進階16

用這個值反駁「對所有實數 x， $\sqrt{x^{2}}=x$ 」。

\sqrt{(-2)^{2}}

參考答案

$2$

2

x＝−2 時根式為 2，但 x 為 −2；正確恆等式須用絕對值。
化簡式為 $2$ 。
核對原式及算術平方根的正負號。

先使用所述條件，交代關係後才計算。
盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。