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紙筆・推理・練習

二次根式：意義、化簡與取值範圍

分清算術平方根與平方方程的解，保留全部實數範圍條件。

40 分鐘 · 八下・正文 1–4 頁・正文第 1–2 課時

教材對照：八下第16章 二次根式・第1–2課時

章節核心練習：配合所列正文課時學習後使用，亦可作章末複習。 查看下冊章節規劃

一題示範、一題帶做、八題核心、四題補練及兩題進階。學生紙筆作答，教師控制揭示。

教師參考在研習室安排題單

  1. 4′先備檢查
  2. 5′短探究／概念示範
  3. 8′示範與帶做
  4. 15′獨立練習
  5. 5′訂正
  6. 3′離堂題

觀察・解釋

練習前先想一想

3分鐘：預測 x＝3、−3、0 時 x2\sqrt{x^{2}} 的值；原來的符號會保留嗎？先寫理由。 8分鐘：紙上列表記錄 x、x的平方及該平方的算術平方根，再用 x＝1、3、7 檢查 √(x−3)，標記哪些輸入在實數範圍有意義。 5分鐘：解釋 x2=∣x∣\sqrt{x^{2}}=|x| 及條件 x−3≥0x-3\geq0。例子只協助猜想，須用非負算術平方根的定義說明。 2分鐘：獨立化簡 (−5)2\sqrt{(-5)^{2}}，並分辨它與解 x2=25x^{2}=25 的要求。

整理關鍵概念

a\sqrt{a} 的值非負，而且 x2=∣x∣\sqrt{x^{2}}=|x|。

開啟原章節

可按本頁問題作紙筆討論；原活動另頁開啟。

普通班用首個指定例作5分鐘概念示範；進階班按完整18分鐘探究，先寫預測再核對。

教師示範1

精確化簡，並寫出所需限制。

(−7)2\sqrt{(-7)^{2}}
檢核清單
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
帶做2

精確化簡，並寫出所需限制。

50\sqrt{50}
  1. 補上完全平方因數分拆：50=25×□50=25\times\square。
  2. 然後 50=25□=□2\sqrt{50}=\sqrt{25}\sqrt{\square}=\square\sqrt{2}。
  3. 檢查係數非負，且結果平方後為 50。
檢核清單
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
先備3

精確化簡，並寫出所需限制。

49\sqrt{49}
檢核清單
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
先備4

這個式子在實數範圍有意義嗎？說明理由。

−4\sqrt{-4}
檢核清單
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
獨立練習5

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

x−3\sqrt{x-3}
檢核清單
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
獨立練習6

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

5−2x\sqrt{5-2x}
檢核清單
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
獨立練習7

精確化簡，並寫出所需限制。

x2\sqrt{x^{2}}
檢核清單
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
獨立練習8

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

1x+2\frac{1}{\sqrt{x+2}}
檢核清單
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
離堂題9

精確化簡，並寫出所需限制。

0\sqrt{0}
檢核清單
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
離堂題10

學生寫 25=±5\sqrt{25}=\pm5。寫正確值並說明錯誤。

25\sqrt{25}
檢核清單
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
補練／家課11

精確化簡，並寫出所需限制。

14\sqrt{\frac{1}{4}}
檢核清單
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
補練／家課12

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

x−1+4−x\sqrt{x-1}+\sqrt{4-x}
檢核清單
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
補練／家課13

精確化簡，並寫出所需限制。

(0−2)2\sqrt{(0-2)^{2}}
檢核清單
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
補練／家課14

精確化簡，並寫出所需限制。

(11)2(\sqrt{11})^{2}
檢核清單
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
進階15

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

2x+13−x\frac{\sqrt{2x+1}}{\sqrt{3-x}}
檢核清單
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
進階16

用這個值反駁「對所有實數 x，x2=x\sqrt{x^{2}}=x」。

(−2)2\sqrt{(-2)^{2}}
檢核清單
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
備課與評量說明

先備要求

平方、非負數及一次不等式。

觀察學生作答

以兩題先備判斷支援需要；投影示範及帶做，再收集八題紙筆核心作答。補練及進階按需要選用，接受其他完整正確方法；本頁不保存學生紙筆答案。

收集紙本離堂題，記錄完成情況及常見錯法；本頁不批改或儲存紙筆答案。

課堂用紙

下載完整工作紙（ZIP・318份PDF・47.2 MB）

七、八年級上下冊共53包，齊備繁中／英文。含教師答案；學生核心、補練進階及教師版分開存放。

學生核心工作紙：兩頁A4。補練另頁；教師版另附參考推理。

教材對照與編寫

配合所列下冊正文課時學習後使用的原創章節核心練習。教材頁碼只作技能對照，不重刊教材習題。

大湾区初中数学三维课堂（八年级下册）正文.pdf

八下・正文 1–4 頁・正文第 1–2 課時

題目及解說為原創；本頁不重刊教材或答案PDF。

二次根式：意義、化簡與取值範圍

八下・正文 1–4 頁・正文第 1–2 課時 · 1/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

教師示範1

精確化簡，並寫出所需限制。

(−7)2\sqrt{(-7)^{2}}
帶做2

精確化簡，並寫出所需限制。

50\sqrt{50}
  1. 補上完全平方因數分拆：50=25×□50=25\times\square。
  2. 然後 50=25□=□2\sqrt{50}=\sqrt{25}\sqrt{\square}=\square\sqrt{2}。
  3. 檢查係數非負，且結果平方後為 50。
先備3

精確化簡，並寫出所需限制。

49\sqrt{49}
先備4

這個式子在實數範圍有意義嗎？說明理由。

−4\sqrt{-4}
g8-radicals-meaning · 2026-10-15-lower-core-v1 · 留意條件與理由；量度不代替證明。

二次根式：意義、化簡與取值範圍

八下・正文 1–4 頁・正文第 1–2 課時 · 2/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

獨立練習5

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

x−3\sqrt{x-3}
獨立練習6

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

5−2x\sqrt{5-2x}
獨立練習7

精確化簡，並寫出所需限制。

x2\sqrt{x^{2}}
獨立練習8

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

1x+2\frac{1}{\sqrt{x+2}}
離堂題9

精確化簡，並寫出所需限制。

0\sqrt{0}
離堂題10

學生寫 25=±5\sqrt{25}=\pm5。寫正確值並說明錯誤。

25\sqrt{25}
g8-radicals-meaning · 2026-10-15-lower-core-v1 · 留意條件與理由；量度不代替證明。

二次根式：意義、化簡與取值範圍 — 補練

八下・正文 1–4 頁・正文第 1–2 課時

補練／家課11

精確化簡，並寫出所需限制。

14\sqrt{\frac{1}{4}}
補練／家課12

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

x−1+4−x\sqrt{x-1}+\sqrt{4-x}
補練／家課13

精確化簡，並寫出所需限制。

(0−2)2\sqrt{(0-2)^{2}}
補練／家課14

精確化簡，並寫出所需限制。

(11)2(\sqrt{11})^{2}
進階15

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

2x+13−x\frac{\sqrt{2x+1}}{\sqrt{3-x}}
進階16

用這個值反駁「對所有實數 x，x2=x\sqrt{x^{2}}=x」。

(−2)2\sqrt{(-2)^{2}}

二次根式：意義、化簡與取值範圍 — 教師解答

八下・正文 1–4 頁・正文第 1–2 課時

以兩題先備判斷支援需要；投影示範及帶做，再收集八題紙筆核心作答。補練及進階按需要選用，接受其他完整正確方法；本頁不保存學生紙筆答案。

普通班：先備4、短探究5、示範帶做8、獨立15、訂正5、離堂3分鐘。進階班：探究18、整理4、精選練習13、離堂5分鐘。

先備：平方、非負數及一次不等式。

普通班取首個指定例作5分鐘概念示範；進階班完成整個探究。

  1. 3′ 預測 x＝3、−3、0 時 x2\sqrt{x^{2}} 的值；原來的符號會保留嗎？先寫理由。
  2. 8′ 紙上列表記錄 x、x的平方及該平方的算術平方根，再用 x＝1、3、7 檢查 √(x−3)，標記哪些輸入在實數範圍有意義。
  3. 5′ 解釋 x2=∣x∣\sqrt{x^{2}}=|x| 及條件 x−3≥0x-3\geq0。例子只協助猜想，須用非負算術平方根的定義說明。
  4. 2′ 獨立化簡 (−5)2\sqrt{(-5)^{2}}，並分辨它與解 x2=25x^{2}=25 的要求。
教師示範1

精確化簡，並寫出所需限制。

(−7)2\sqrt{(-7)^{2}}
參考答案

77

77
  1. 根號表示非負的算術平方根；實數範圍的被開方數須非負。
  2. 中間一步為 49=7\sqrt{49}=7。
  3. 核對原式及算術平方根的正負號。
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
帶做2

精確化簡，並寫出所需限制。

50\sqrt{50}
  1. 補上完全平方因數分拆：50=25×□50=25\times\square。
  2. 然後 50=25□=□2\sqrt{50}=\sqrt{25}\sqrt{\square}=\square\sqrt{2}。
  3. 檢查係數非負，且結果平方後為 50。
參考答案

525\sqrt{2}

525\sqrt{2}
  1. 先提出完全平方因數；根號表示非負的算術平方根。
  2. 中間一步為 25×2=52\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}。
  3. 核對原式及算術平方根的正負號。
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
先備3

精確化簡，並寫出所需限制。

49\sqrt{49}
參考答案

77

77
  1. 根號表示非負的算術平方根；實數範圍的被開方數須非負。
  2. 化簡式為 77。
  3. 核對原式及算術平方根的正負號。
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
先備4

這個式子在實數範圍有意義嗎？說明理由。

−4\sqrt{-4}
參考答案

沒有實數值；常數被開方數 −4 為負。

∅\varnothing
  1. 每個被開方數須非負；位於分母的根式更須嚴格大於零。
  2. 解所得的一次不等式，再取共同部分。
  3. 全部允許取值為 ∅\varnothing。
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
獨立練習5

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

x−3\sqrt{x-3}
參考答案

x≥3x\geq3

x≥3x\geq3
  1. 每個被開方數須非負；位於分母的根式更須嚴格大於零。
  2. 解所得的一次不等式，再取共同部分。
  3. 全部允許取值為 x≥3x\geq3。
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
獨立練習6

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

5−2x\sqrt{5-2x}
參考答案

x≤52x\leq\frac{5}{2}

x≤52x\leq\frac{5}{2}
  1. 每個被開方數須非負；位於分母的根式更須嚴格大於零。
  2. 解所得的一次不等式，再取共同部分。
  3. 全部允許取值為 x≤52x\leq\frac{5}{2}。
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
獨立練習7

精確化簡，並寫出所需限制。

x2\sqrt{x^{2}}
參考答案

∣x∣|x|

∣x∣|x|
  1. 即使 x 為負數，算術平方根也不能為負。
  2. 化簡式為 ∣x∣|x|。
  3. 核對原式及算術平方根的正負號。
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
獨立練習8

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

1x+2\frac{1}{\sqrt{x+2}}
參考答案

x>−2x>-2

x>−2x>-2
  1. 每個被開方數須非負；位於分母的根式更須嚴格大於零。
  2. 解所得的一次不等式，再取共同部分。
  3. 全部允許取值為 x>−2x>-2。
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
離堂題9

精確化簡，並寫出所需限制。

0\sqrt{0}
參考答案

00

00
  1. 根號表示非負的算術平方根；實數範圍的被開方數須非負。
  2. 化簡式為 00。
  3. 核對原式及算術平方根的正負號。
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
離堂題10

學生寫 25=±5\sqrt{25}=\pm5。寫正確值並說明錯誤。

25\sqrt{25}
參考答案

55

55
  1. x²＝25 有兩個解，但算術平方根的符號本身只表示 5。
  2. 化簡式為 55。
  3. 核對原式及算術平方根的正負號。
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
補練／家課11

精確化簡，並寫出所需限制。

14\sqrt{\frac{1}{4}}
參考答案

12\frac{1}{2}

12\frac{1}{2}
  1. 根號表示非負的算術平方根；實數範圍的被開方數須非負。
  2. 化簡式為 12\frac{1}{2}。
  3. 核對原式及算術平方根的正負號。
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
補練／家課12

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

x−1+4−x\sqrt{x-1}+\sqrt{4-x}
參考答案

1≤x≤41\leq x\leq4

1≤x≤41\leq x\leq4
  1. 每個被開方數須非負；位於分母的根式更須嚴格大於零。
  2. 解所得的一次不等式，再取共同部分。
  3. 全部允許取值為 1≤x≤41\leq x\leq4。
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
補練／家課13

精確化簡，並寫出所需限制。

(0−2)2\sqrt{(0-2)^{2}}
參考答案

22

22
  1. 根號表示非負的算術平方根；實數範圍的被開方數須非負。
  2. 中間一步為 ∣0−2∣=2|0-2|=2。
  3. 核對原式及算術平方根的正負號。
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
補練／家課14

精確化簡，並寫出所需限制。

(11)2(\sqrt{11})^{2}
參考答案

1111

1111
  1. 把非負的算術平方根平方，可還原非負被開方數。
  2. 化簡式為 1111。
  3. 核對原式及算術平方根的正負號。
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
進階15

求使式子在實數範圍有意義的全部 x 值。

2x+13−x\frac{\sqrt{2x+1}}{\sqrt{3-x}}
參考答案

−12≤x<3-\frac{1}{2}\leq x<3

−12≤x<3-\frac{1}{2}\leq x<3
  1. 每個被開方數須非負；位於分母的根式更須嚴格大於零。
  2. 解所得的一次不等式，再取共同部分。
  3. 全部允許取值為 −12≤x<3-\frac{1}{2}\leq x<3。
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。
進階16

用這個值反駁「對所有實數 x，x2=x\sqrt{x^{2}}=x」。

(−2)2\sqrt{(-2)^{2}}
參考答案

22

22
  1. x＝−2 時根式為 2，但 x 為 −2；正確恆等式須用絕對值。
  2. 化簡式為 22。
  3. 核對原式及算術平方根的正負號。
  • 先使用所述條件，交代關係後才計算。
  • 盡量寫精確答案，附上單位及取值限制。