紙筆・推理・練習

乘法公式與整式除法

練習平方差、完全平方及逐項相除，並保留除式不為零的限制。

40 分鐘 · 八上・正文 63–72 頁・基訓第 32–36 課時

教材對照：八上第十四章整式的乘除與因式分解・第32–36課時

章節核心練習：配合所列正文課時學習後使用，亦可作章末複習。查看上冊章節規劃

一題示範、一題帶做、八題核心、四題補練及兩題進階。學生紙筆作答，教師控制揭示。

教師參考在研習室安排題單

課堂路線課堂環節

4′先備檢查
5′短探究／概念示範
8′示範與帶做
15′獨立練習
5′訂正
3′離堂題

觀察・解釋

練習前先想一想

先用乘法展開 (x+2)²，再套公式：4x 從哪裡來？

整理關鍵概念

二項式平方包含中間項；同底數相除時指數相減，而 a⁰=1 要求 a≠0。

開啟原章節開啟互動探究

可按本頁問題作紙筆討論；原活動另頁開啟。

教師示範1

寫出所用法則，並完全化簡。

(2x-3)^2

用 (a±b)²=a²±2ab+b²，不可漏去中間項。
寫出一行中間步驟，不要略去乘積或正負號。
化簡結果是 4x²-12x+9；交代每一項的來源。

用 (a±b)²=a²±2ab+b²，不可漏去中間項。
$(2x-3)^2 = (2x)^2-2\cdot (2x)\cdot 3+3^2$ 。
合併同類項，得 4x²-12x+9。
逐項核對正負號、係數及指數。

檢核清單

寫出法則及完整中間步驟。
答案為代數上等值的最簡式。

帶做2

寫出所用法則，並完全化簡。

(3x+2)(3x-2)

配對的兩項為 a=___、b=___。
a²−b²=___−___=___。

先辨認兩項，再用 (a+b)(a−b)=a²−b²。
寫出一行中間步驟，不要略去乘積或正負號。
化簡結果是 9x²-4；交代每一項的來源。

先辨認兩項，再用 (a+b)(a−b)=a²−b²。
$(3x+2)(3x-2) = (3x)^2-2^2$ 。
合併同類項，得 9x²-4。
逐項核對正負號、係數及指數。

檢核清單

寫出法則及完整中間步驟。
答案為代數上等值的最簡式。

先備3

計算 (−3)²，注意符號。

(-3)^2

先辨認已知量及所求量。
計算前先寫出適用的等量關係。
小心代入，保留正負號與單位，最後核對結果。

負號在括號內，所以兩個因數均為−3。
(−3)(−3)=9。

檢核清單

使用題目所述關係並列出計算。
按題意寫出答案及單位。

先備4

化簡；保留原除式限制 x≠0。

\frac{x^5}{x^2}

係數相除、同底數指數相減；多項式每項均須除以除式，且除式不可為零。
寫出一行中間步驟，不要略去乘積或正負號。
化簡結果是 x³；交代每一項的來源。

係數相除、同底數指數相減；多項式每項均須除以除式，且除式不可為零。
$\frac{x^5}{x^2} = x^{5-2}$ 。
合併同類項，得 x³。
逐項核對正負號、係數及指數。

檢核清單

寫出法則及完整中間步驟。
答案為代數上等值的最簡式。

獨立練習5

寫出所用法則，並完全化簡。

(x+5)(x-5)

先辨認兩項，再用 (a+b)(a−b)=a²−b²。
寫出一行中間步驟，不要略去乘積或正負號。
化簡結果是 x²-25；交代每一項的來源。

先辨認兩項，再用 (a+b)(a−b)=a²−b²。
$(x+5)(x-5) = x^2-5^2$ 。
合併同類項，得 x²-25。
逐項核對正負號、係數及指數。

檢核清單

寫出法則及完整中間步驟。
答案為代數上等值的最簡式。

獨立練習6

寫出所用法則，並完全化簡。

(x+4)^2

用 (a±b)²=a²±2ab+b²，不可漏去中間項。
寫出一行中間步驟，不要略去乘積或正負號。
化簡結果是 x²+8x+16；交代每一項的來源。

用 (a±b)²=a²±2ab+b²，不可漏去中間項。
$(x+4)^2 = x^2+2\cdot x\cdot 4+4^2$ 。
合併同類項，得 x²+8x+16。
逐項核對正負號、係數及指數。

檢核清單

寫出法則及完整中間步驟。
答案為代數上等值的最簡式。

獨立練習7

化簡；保留原除式限制 x≠0。

\frac{x^3}{x^3}

係數相除、同底數指數相減；多項式每項均須除以除式，且除式不可為零。
寫出一行中間步驟，不要略去乘積或正負號。
化簡結果是 1；交代每一項的來源。

係數相除、同底數指數相減；多項式每項均須除以除式，且除式不可為零。
$\frac{x^3}{x^3} = x^{3-3}=x^0$ 。
合併同類項，得 1。
逐項核對正負號、係數及指數。

檢核清單

寫出法則及完整中間步驟。
答案為代數上等值的最簡式。

獨立練習8

化簡；保留原除式限制 x≠0。

\frac{6x^3-9x^2}{3x}

係數相除、同底數指數相減；多項式每項均須除以除式，且除式不可為零。
寫出一行中間步驟，不要略去乘積或正負號。
化簡結果是 2x²-3x；交代每一項的來源。

係數相除、同底數指數相減；多項式每項均須除以除式，且除式不可為零。
$\frac{6x^3-9x^2}{3x} = \frac{6x^3}{3x}-\frac{9x^2}{3x}$ 。
合併同類項，得 2x²-3x。
逐項核對正負號、係數及指數。

檢核清單

寫出法則及完整中間步驟。
答案為代數上等值的最簡式。

離堂題9

寫出所用法則，並完全化簡。

(x-2)^2

用 (a±b)²=a²±2ab+b²，不可漏去中間項。
寫出一行中間步驟，不要略去乘積或正負號。
化簡結果是 x²-4x+4；交代每一項的來源。

用 (a±b)²=a²±2ab+b²，不可漏去中間項。
$(x-2)^2 = x^2-2\cdot x\cdot 2+2^2$ 。
合併同類項，得 x²-4x+4。
逐項核對正負號、係數及指數。

檢核清單

寫出法則及完整中間步驟。
答案為代數上等值的最簡式。

離堂題10

寫出所用法則，並完全化簡。

\frac{4x^2+8x}{4}

係數相除、同底數指數相減；多項式每項均須除以除式，且除式不可為零。
寫出一行中間步驟，不要略去乘積或正負號。
化簡結果是 x²+2x；交代每一項的來源。

係數相除、同底數指數相減；多項式每項均須除以除式，且除式不可為零。
$\frac{4x^2+8x}{4} = \frac{4x^2}{4}+\frac{8x}{4}$ 。
合併同類項，得 x²+2x。
逐項核對正負號、係數及指數。

檢核清單

寫出法則及完整中間步驟。
答案為代數上等值的最簡式。

補練／家課11

寫出所用法則，並完全化簡。

(x+6)(x-6)

先辨認兩項，再用 (a+b)(a−b)=a²−b²。
寫出一行中間步驟，不要略去乘積或正負號。
化簡結果是 x²-36；交代每一項的來源。

先辨認兩項，再用 (a+b)(a−b)=a²−b²。
$(x+6)(x-6) = x^2-6^2$ 。
合併同類項，得 x²-36。
逐項核對正負號、係數及指數。

檢核清單

寫出法則及完整中間步驟。
答案為代數上等值的最簡式。

補練／家課12

寫出所用法則，並完全化簡。

(3x+1)^2

用 (a±b)²=a²±2ab+b²，不可漏去中間項。
寫出一行中間步驟，不要略去乘積或正負號。
化簡結果是 9x²+6x+1；交代每一項的來源。

用 (a±b)²=a²±2ab+b²，不可漏去中間項。
$(3x+1)^2 = (3x)^2+2\cdot (3x)\cdot 1+1^2$ 。
合併同類項，得 9x²+6x+1。
逐項核對正負號、係數及指數。

檢核清單

寫出法則及完整中間步驟。
答案為代數上等值的最簡式。

補練／家課13

化簡；保留原除式限制 x≠0。

\frac{x^8}{x^5}

係數相除、同底數指數相減；多項式每項均須除以除式，且除式不可為零。
寫出一行中間步驟，不要略去乘積或正負號。
化簡結果是 x³；交代每一項的來源。

係數相除、同底數指數相減；多項式每項均須除以除式，且除式不可為零。
$\frac{x^8}{x^5} = x^{8-5}$ 。
合併同類項，得 x³。
逐項核對正負號、係數及指數。

檢核清單

寫出法則及完整中間步驟。
答案為代數上等值的最簡式。

補練／家課14

化簡；保留原除式限制 x≠0、y≠0。

\frac{-12x^3y^2}{3xy}

係數相除、同底數指數相減；多項式每項均須除以除式，且除式不可為零。
寫出一行中間步驟，不要略去乘積或正負號。
化簡結果是 -4x²y；交代每一項的來源。

係數相除、同底數指數相減；多項式每項均須除以除式，且除式不可為零。
$\frac{-12x^3y^2}{3xy} = (-12/3)x^{3-1}y^{2-1}$ 。
合併同類項，得 -4x²y。
逐項核對正負號、係數及指數。

檢核清單

寫出法則及完整中間步驟。
答案為代數上等值的最簡式。

進階15

寫出所用法則，並完全化簡。

(x+3)^2-(x-3)^2

用 (a±b)²=a²±2ab+b²，不可漏去中間項。
寫出一行中間步驟，不要略去乘積或正負號。
化簡結果是 12x；交代每一項的來源。

用 (a±b)²=a²±2ab+b²，不可漏去中間項。
$(x+3)^2-(x-3)^2 = (x^2+6x+9)-(x^2-6x+9)$ 。
合併同類項，得 12x。
逐項核對正負號、係數及指數。

檢核清單

寫出法則及完整中間步驟。
答案為代數上等值的最簡式。

進階16

寫出所用法則，並完全化簡。

(2x-1)^2-(2x+1)(2x-1)

先辨認兩項，再用 (a+b)(a−b)=a²−b²。
寫出一行中間步驟，不要略去乘積或正負號。
化簡結果是 -4x+2；交代每一項的來源。

先辨認兩項，再用 (a+b)(a−b)=a²−b²。
$(2x-1)^2-(2x+1)(2x-1) = (4x^2-4x+1)-(4x^2-1)$ 。
合併同類項，得 -4x+2。
逐項核對正負號、係數及指數。

檢核清單

寫出法則及完整中間步驟。
答案為代數上等值的最簡式。

備課與評量說明

先備要求

分配律、正整數指數、係數運算及同類項。

觀察學生作答

按需要使用示範及帶做，再完成八題核心；補練及進階按程度選用。要求學生交代理由，並驗算原方程或展開核對。

收集紙本離堂題，記錄完成情況及常見錯法；本頁不批改或儲存紙筆答案。

課堂用紙

下載完整工作紙（ZIP・318份PDF・47.2 MB）

七、八年級上下冊共53包，齊備繁中／英文。含教師答案；學生核心、補練進階及教師版分開存放。

學生核心工作紙：兩頁A4。補練另頁；教師版另附參考推理。

列印版本

教材對照與編寫

對應課本課時教學後的章節核心練習；這些題目不代替每一節新授課。

大湾区初中数学三维课堂（八年级上册）正文.pdf

八上・正文 63–72 頁・基訓第 32–36 課時

題目及解說為原創；本頁不重刊教材或答案PDF。

乘法公式與整式除法

八上・正文 63–72 頁・基訓第 32–36 課時 · 1/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

教師示範1

寫出所用法則，並完全化簡。

(2x-3)^2

帶做2

寫出所用法則，並完全化簡。

(3x+2)(3x-2)

配對的兩項為 a=___、b=___。
a²−b²=___−___=___。

先備3

計算 (−3)²，注意符號。

(-3)^2

先備4

化簡；保留原除式限制 x≠0。

\frac{x^5}{x^2}

乘法公式與整式除法

八上・正文 63–72 頁・基訓第 32–36 課時 · 2/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

獨立練習5

寫出所用法則，並完全化簡。

(x+5)(x-5)

獨立練習6

寫出所用法則，並完全化簡。

(x+4)^2

獨立練習7

化簡；保留原除式限制 x≠0。

\frac{x^3}{x^3}

獨立練習8

化簡；保留原除式限制 x≠0。

\frac{6x^3-9x^2}{3x}

離堂題9

寫出所用法則，並完全化簡。

(x-2)^2

離堂題10

寫出所用法則，並完全化簡。

\frac{4x^2+8x}{4}

乘法公式與整式除法 — 補練

八上・正文 63–72 頁・基訓第 32–36 課時

補練／家課11

寫出所用法則，並完全化簡。

(x+6)(x-6)

補練／家課12

寫出所用法則，並完全化簡。

(3x+1)^2

補練／家課13

化簡；保留原除式限制 x≠0。

\frac{x^8}{x^5}

補練／家課14

化簡；保留原除式限制 x≠0、y≠0。

\frac{-12x^3y^2}{3xy}

進階15

寫出所用法則，並完全化簡。

(x+3)^2-(x-3)^2

進階16

寫出所用法則，並完全化簡。

(2x-1)^2-(2x+1)(2x-1)

乘法公式與整式除法 — 教師解答

八上・正文 63–72 頁・基訓第 32–36 課時

按需要使用示範及帶做，再完成八題核心；補練及進階按程度選用。要求學生交代理由，並驗算原方程或展開核對。

教師示範1

寫出所用法則，並完全化簡。

(2x-3)^2

參考答案

4x²-12x+9。

4x^2-12x+9

用 (a±b)²=a²±2ab+b²，不可漏去中間項。
$(2x-3)^2 = (2x)^2-2\cdot (2x)\cdot 3+3^2$ 。
合併同類項，得 4x²-12x+9。
逐項核對正負號、係數及指數。

寫出法則及完整中間步驟。
答案為代數上等值的最簡式。

帶做2

寫出所用法則，並完全化簡。

(3x+2)(3x-2)

配對的兩項為 a=___、b=___。
a²−b²=___−___=___。

參考答案

9x²-4。

9x^2-4

先辨認兩項，再用 (a+b)(a−b)=a²−b²。
$(3x+2)(3x-2) = (3x)^2-2^2$ 。
合併同類項，得 9x²-4。
逐項核對正負號、係數及指數。

寫出法則及完整中間步驟。
答案為代數上等值的最簡式。

先備3

計算 (−3)²，注意符號。

(-3)^2

參考答案

9。

負號在括號內，所以兩個因數均為−3。
(−3)(−3)=9。

使用題目所述關係並列出計算。
按題意寫出答案及單位。

先備4

化簡；保留原除式限制 x≠0。

\frac{x^5}{x^2}

參考答案

x³；x≠0。

x^3

係數相除、同底數指數相減；多項式每項均須除以除式，且除式不可為零。
$\frac{x^5}{x^2} = x^{5-2}$ 。
合併同類項，得 x³。
逐項核對正負號、係數及指數。

寫出法則及完整中間步驟。
答案為代數上等值的最簡式。

獨立練習5

寫出所用法則，並完全化簡。

(x+5)(x-5)

參考答案

x²-25。

x^2-25

先辨認兩項，再用 (a+b)(a−b)=a²−b²。
$(x+5)(x-5) = x^2-5^2$ 。
合併同類項，得 x²-25。
逐項核對正負號、係數及指數。

寫出法則及完整中間步驟。
答案為代數上等值的最簡式。

獨立練習6

寫出所用法則，並完全化簡。

(x+4)^2

參考答案

x²+8x+16。

x^2+8x+16

用 (a±b)²=a²±2ab+b²，不可漏去中間項。
$(x+4)^2 = x^2+2\cdot x\cdot 4+4^2$ 。
合併同類項，得 x²+8x+16。
逐項核對正負號、係數及指數。

寫出法則及完整中間步驟。
答案為代數上等值的最簡式。

獨立練習7

化簡；保留原除式限制 x≠0。

\frac{x^3}{x^3}

參考答案

1；x≠0。

1

係數相除、同底數指數相減；多項式每項均須除以除式，且除式不可為零。
$\frac{x^3}{x^3} = x^{3-3}=x^0$ 。
合併同類項，得 1。
逐項核對正負號、係數及指數。

寫出法則及完整中間步驟。
答案為代數上等值的最簡式。

獨立練習8

化簡；保留原除式限制 x≠0。

\frac{6x^3-9x^2}{3x}

參考答案

2x²-3x；x≠0。

2x^2-3x

係數相除、同底數指數相減；多項式每項均須除以除式，且除式不可為零。
$\frac{6x^3-9x^2}{3x} = \frac{6x^3}{3x}-\frac{9x^2}{3x}$ 。
合併同類項，得 2x²-3x。
逐項核對正負號、係數及指數。

寫出法則及完整中間步驟。
答案為代數上等值的最簡式。

離堂題9

寫出所用法則，並完全化簡。

(x-2)^2

參考答案

x²-4x+4。

x^2-4x+4

用 (a±b)²=a²±2ab+b²，不可漏去中間項。
$(x-2)^2 = x^2-2\cdot x\cdot 2+2^2$ 。
合併同類項，得 x²-4x+4。
逐項核對正負號、係數及指數。

寫出法則及完整中間步驟。
答案為代數上等值的最簡式。

離堂題10

寫出所用法則，並完全化簡。

\frac{4x^2+8x}{4}

參考答案

x²+2x。

x^2+2x

係數相除、同底數指數相減；多項式每項均須除以除式，且除式不可為零。
$\frac{4x^2+8x}{4} = \frac{4x^2}{4}+\frac{8x}{4}$ 。
合併同類項，得 x²+2x。
逐項核對正負號、係數及指數。

寫出法則及完整中間步驟。
答案為代數上等值的最簡式。

補練／家課11

寫出所用法則，並完全化簡。

(x+6)(x-6)

參考答案

x²-36。

x^2-36

先辨認兩項，再用 (a+b)(a−b)=a²−b²。
$(x+6)(x-6) = x^2-6^2$ 。
合併同類項，得 x²-36。
逐項核對正負號、係數及指數。

寫出法則及完整中間步驟。
答案為代數上等值的最簡式。

補練／家課12

寫出所用法則，並完全化簡。

(3x+1)^2

參考答案

9x²+6x+1。

9x^2+6x+1

用 (a±b)²=a²±2ab+b²，不可漏去中間項。
$(3x+1)^2 = (3x)^2+2\cdot (3x)\cdot 1+1^2$ 。
合併同類項，得 9x²+6x+1。
逐項核對正負號、係數及指數。

寫出法則及完整中間步驟。
答案為代數上等值的最簡式。

補練／家課13

化簡；保留原除式限制 x≠0。

\frac{x^8}{x^5}

參考答案

x³；x≠0。

x^3

係數相除、同底數指數相減；多項式每項均須除以除式，且除式不可為零。
$\frac{x^8}{x^5} = x^{8-5}$ 。
合併同類項，得 x³。
逐項核對正負號、係數及指數。

寫出法則及完整中間步驟。
答案為代數上等值的最簡式。

補練／家課14

化簡；保留原除式限制 x≠0、y≠0。

\frac{-12x^3y^2}{3xy}

參考答案

-4x²y；x≠0、y≠0。

-4x^2y

係數相除、同底數指數相減；多項式每項均須除以除式，且除式不可為零。
$\frac{-12x^3y^2}{3xy} = (-12/3)x^{3-1}y^{2-1}$ 。
合併同類項，得 -4x²y。
逐項核對正負號、係數及指數。

寫出法則及完整中間步驟。
答案為代數上等值的最簡式。

進階15

寫出所用法則，並完全化簡。

(x+3)^2-(x-3)^2

參考答案

12x。

12x

用 (a±b)²=a²±2ab+b²，不可漏去中間項。
$(x+3)^2-(x-3)^2 = (x^2+6x+9)-(x^2-6x+9)$ 。
合併同類項，得 12x。
逐項核對正負號、係數及指數。

寫出法則及完整中間步驟。
答案為代數上等值的最簡式。

進階16

寫出所用法則，並完全化簡。

(2x-1)^2-(2x+1)(2x-1)

參考答案

-4x+2。

-4x+2

先辨認兩項，再用 (a+b)(a−b)=a²−b²。
$(2x-1)^2-(2x+1)(2x-1) = (4x^2-4x+1)-(4x^2-1)$ 。
合併同類項，得 -4x+2。
逐項核對正負號、係數及指數。

寫出法則及完整中間步驟。
答案為代數上等值的最簡式。