紙筆・推理・練習

三元方程組：消元、求解與驗算

消去同一未知數得到二元方程組，再回代求三個值。

40 分鐘 · 七下・正文 67–70 頁・正文第 34–35 課時

教材對照：七下第8章二元一次方程組・正文第34–35課時

章節核心練習：配合所列正文課時學習後使用，亦可作章末複習。查看下冊章節規劃

一題示範、一題帶做、八題核心、四題補練及兩題進階。學生紙筆作答，教師控制揭示。

教師參考在研習室安排題單

課堂路線課堂環節

4′先備檢查
5′短探究／概念示範
8′示範與帶做
15′獨立練習
5′訂正
3′離堂題

觀察・解釋

練習前先想一想

18 分鐘紙筆：用 x＋y＋z＝9、x−y＝−1、y−z＝−1，先預測三值次序（3 分）。兩組各選不同未知數，但在各自過程一致地消去它，形成二元方程組再求完整三元解（7 分）。比較並驗算三原式（4 分）。只把第一式總和由 9 改為 12，先預測再核對各值如何改變（3 分）。說明只求兩值為何未完成三元求解（1 分）。不聲稱已有三元互動引擎。

整理關鍵概念

消去同一未知數得到二元方程組，再回代求三個值。

開啟原章節

可按本頁問題作紙筆討論；原活動另頁開啟。

普通班用首個指定例作5分鐘概念示範；進階班按完整18分鐘探究，先寫預測再核對。

教師示範1

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=9\\(1)x+(-1)y+(0)z=-1\\(0)x+(1)y+(-1)z=-1\end{cases}

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y+(-1)z=-10$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-3}{2})z=-6$ 。
回代得 $z=4$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

帶做2

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=6\\(1)x+(-1)y+(0)z=0\\(0)x+(1)y+(-1)z=0\end{cases}

由 $x-y=0$ 寫 $y=\square$ 。
由 $y-z=0$ 寫 $z=y=\square$ 。
代入第一式： $x+x+x=6$ ，所以 $x=\square$ ；求 y、z，驗算三式。

第二、三式比較未知數的成對關係。
它們給 y＝x、z＝y，把所有未知數用 x 表示。
總和方程變為 3x＝6，一個值即可確定另外兩個。

第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y+(-1)z=-6$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-3}{2})z=-3$ 。
回代得 $z=2$ 。
回代得 $y=2$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備3

檢查 $x=1, y=2, z=3$ 是否為所示方程組的解，須核對每條方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=6\\(1)x+(-1)y+(0)z=-1\\(0)x+(1)y+(-1)z=-1\end{cases}

是，每條原方程都成立。
不是，只核對一條就足以否定。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

第 1 式左邊為 6，右邊為 6。
第 2 式左邊為 -1，右邊為 -1。
第 3 式左邊為 -1，右邊為 -1。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備4

要把三條 x、y、z 方程化成二元方程組，兩條新方程應有甚麼共同特點？

都消去同一未知數，留下相同另外兩個。
一條消 x，另一條只消 y，合起來仍有三個未知數。
兩個右邊都必須為零。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

新的一對須只含同樣兩個未知數。
否則尚未化為二元方程組。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習5

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=12\\(1)x+(-1)y+(0)z=2\\(0)x+(1)y+(-1)z=-1\end{cases}

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y+(-1)z=-10$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-3}{2})z=-6$ 。
回代得 $z=4$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=5$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習6

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=10\\(2)x+(-1)y+(0)z=-1\\(0)x+(1)y+(-1)z=2\end{cases}

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(-3)y+(-2)z=-21$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{3}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-5}{3})z=-5$ 。
回代得 $z=3$ 。
回代得 $y=5$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習7

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(0)z=5\\(0)x+(1)y+(1)z=7\\(1)x+(0)y+(1)z=6\end{cases}

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

第 3 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-1)y+(1)z=1$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $-1$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(2)z=8$ 。
回代得 $z=4$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習8

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=3\\(1)x+(-1)y+(0)z=1\\(0)x+(1)y+(-1)z=1\end{cases}

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y+(-1)z=-2$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-3}{2})z=0$ 。
回代得 $z=0$ 。
回代得 $y=1$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題9

檢查 $x=2, y=3, z=4$ 是否為所示方程組的解，須核對每條方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=9\\(1)x+(-1)y+(0)z=-1\\(0)x+(1)y+(-1)z=-1\end{cases}

是，每條原方程都成立。
不是，只核對一條就足以否定。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

第 1 式左邊為 9，右邊為 9。
第 2 式左邊為 -1，右邊為 -1。
第 3 式左邊為 -1，右邊為 -1。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題10

消元已得 y＝3、z＝4，原第一式為 x＋y＋z＝9。完成求解還要做甚麼？

求 x＝2，再驗算三條原方程。
停止；兩個值已足夠。
任選 x，不需檢查。

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

把 3、4 代入 x＋y＋z＝9。
x＝9−3−4＝2，再驗算完整三元解。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課11

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=7\\(1)x+(-1)y+(0)z=2\\(0)x+(1)y+(-1)z=1\end{cases}

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y+(-1)z=-5$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-3}{2})z=\frac{-3}{2}$ 。
回代得 $z=1$ 。
回代得 $y=2$ 。
回代得 $x=4$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課12

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=3\\(2)x+(-1)y+(0)z=0\\(0)x+(1)y+(-1)z=\frac{-1}{2}\end{cases}

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(-3)y+(-2)z=-6$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{3}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-5}{3})z=\frac{-5}{2}$ 。
回代得 $z=\frac{3}{2}$ 。
回代得 $y=1$ 。
回代得 $x=\frac{1}{2}$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課13

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(2)x+(1)y+(-1)z=1\\(1)x+(-1)y+(1)z=2\\(1)x+(1)y+(1)z=6\end{cases}

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

第 2 式減去第 1 式的 $\frac{1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{-3}{2})y+(\frac{3}{2})z=\frac{3}{2}$ 。
第 3 式減去第 1 式的 $\frac{1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{1}{2})y+(\frac{3}{2})z=\frac{11}{2}$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{3}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(2)z=6$ 。
回代得 $z=3$ 。
回代得 $y=2$ 。
回代得 $x=1$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課14

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(-2)y+(0)z=0\\(0)x+(1)y+(-2)z=0\\(1)x+(1)y+(1)z=21\end{cases}

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

第 3 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(3)y+(1)z=21$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $3$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(7)z=21$ 。
回代得 $z=3$ 。
回代得 $y=6$ 。
回代得 $x=12$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階15

三種票單價為 2、3、5 元，張數分別 x、y、z。共 9 張、收入 33 元，前兩種合共 5 張。列三元方程組求解並核對整數張數。

選一個未知數，從其餘方程消去它。
倍乘一條方程時，每項及右邊都要乘。
一致地消去同一未知數，解較少未知數的方程組，再回代並驗算全部原式。

張數給 $x+y+z=9$ ，收入給 $2x+3y+5z=33$ ，另有 $x+y=5$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(1)y+(3)z=15$ 。
第 3 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(-1)z=-4$ 。
回代得 $z=4$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階16

寫了三條方程，是否必定唯一確定三個值？描述此方程組的實數解。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=6\\(2)x+(2)y+(2)z=12\\(1)x+(-1)y+(0)z=0\end{cases}

分清已知資料與所求。
計算前先寫適用定義或關係。
用全部原條件核對，保留單位及端點條件。

第二式是第一式兩倍，第三式給 x＝y。
令 x＝y＝t，得 z＝6−2t，各原式均成立。

檢核清單

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

備課與評量說明

先備要求

能用代入或消元解二元方程組，並在全部原方程驗解。

觀察學生作答

按需要選示範與帶做。八題學生核心為先備、獨立及離堂題；補練與延伸按程度選用。

收集紙本離堂題，記錄完成情況及常見錯法；本頁不批改或儲存紙筆答案。

課堂用紙

下載完整工作紙（ZIP・318份PDF・47.2 MB）

七、八年級上下冊共53包，齊備繁中／英文。含教師答案；學生核心、補練進階及教師版分開存放。

學生核心工作紙：兩頁A4。補練另頁；教師版另附參考推理。

列印版本

教材對照與編寫

對應教材教學後使用的 40 分鐘原創核心鞏固，並非代替每節新授課；來源對照只限已提供正文。

大湾区初中数学三维课堂（七年级下册）正文.pdf

七下・正文 67–70 頁・正文第 34–35 課時

題目及解說為原創；本頁不重刊教材或答案PDF。

三元方程組：消元、求解與驗算

七下・正文 67–70 頁・正文第 34–35 課時 · 1/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

教師示範1

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=9\\(1)x+(-1)y+(0)z=-1\\(0)x+(1)y+(-1)z=-1\end{cases}

帶做2

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=6\\(1)x+(-1)y+(0)z=0\\(0)x+(1)y+(-1)z=0\end{cases}

由 $x-y=0$ 寫 $y=\square$ 。
由 $y-z=0$ 寫 $z=y=\square$ 。
代入第一式： $x+x+x=6$ ，所以 $x=\square$ ；求 y、z，驗算三式。

先備3

檢查 $x=1, y=2, z=3$ 是否為所示方程組的解，須核對每條方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=6\\(1)x+(-1)y+(0)z=-1\\(0)x+(1)y+(-1)z=-1\end{cases}

是，每條原方程都成立。
不是，只核對一條就足以否定。

先備4

要把三條 x、y、z 方程化成二元方程組，兩條新方程應有甚麼共同特點？

都消去同一未知數，留下相同另外兩個。
一條消 x，另一條只消 y，合起來仍有三個未知數。
兩個右邊都必須為零。

三元方程組：消元、求解與驗算

七下・正文 67–70 頁・正文第 34–35 課時 · 2/2

姓名：__________　班別：______　日期：__________

獨立練習5

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=12\\(1)x+(-1)y+(0)z=2\\(0)x+(1)y+(-1)z=-1\end{cases}

獨立練習6

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=10\\(2)x+(-1)y+(0)z=-1\\(0)x+(1)y+(-1)z=2\end{cases}

獨立練習7

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(0)z=5\\(0)x+(1)y+(1)z=7\\(1)x+(0)y+(1)z=6\end{cases}

獨立練習8

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=3\\(1)x+(-1)y+(0)z=1\\(0)x+(1)y+(-1)z=1\end{cases}

離堂題9

檢查 $x=2, y=3, z=4$ 是否為所示方程組的解，須核對每條方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=9\\(1)x+(-1)y+(0)z=-1\\(0)x+(1)y+(-1)z=-1\end{cases}

是，每條原方程都成立。
不是，只核對一條就足以否定。

離堂題10

消元已得 y＝3、z＝4，原第一式為 x＋y＋z＝9。完成求解還要做甚麼？

求 x＝2，再驗算三條原方程。
停止；兩個值已足夠。
任選 x，不需檢查。

三元方程組：消元、求解與驗算 — 補練

七下・正文 67–70 頁・正文第 34–35 課時

補練／家課11

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=7\\(1)x+(-1)y+(0)z=2\\(0)x+(1)y+(-1)z=1\end{cases}

補練／家課12

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=3\\(2)x+(-1)y+(0)z=0\\(0)x+(1)y+(-1)z=\frac{-1}{2}\end{cases}

補練／家課13

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(2)x+(1)y+(-1)z=1\\(1)x+(-1)y+(1)z=2\\(1)x+(1)y+(1)z=6\end{cases}

補練／家課14

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(-2)y+(0)z=0\\(0)x+(1)y+(-2)z=0\\(1)x+(1)y+(1)z=21\end{cases}

進階15

三種票單價為 2、3、5 元，張數分別 x、y、z。共 9 張、收入 33 元，前兩種合共 5 張。列三元方程組求解並核對整數張數。

進階16

寫了三條方程，是否必定唯一確定三個值？描述此方程組的實數解。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=6\\(2)x+(2)y+(2)z=12\\(1)x+(-1)y+(0)z=0\end{cases}

三元方程組：消元、求解與驗算 — 教師解答

七下・正文 67–70 頁・正文第 34–35 課時

按需要選示範與帶做。八題學生核心為先備、獨立及離堂題；補練與延伸按程度選用。

普通班：先備4、短探究5、示範帶做8、獨立15、訂正5、離堂3分鐘。進階班：探究18、整理4、精選練習13、離堂5分鐘。

先備：能用代入或消元解二元方程組，並在全部原方程驗解。

普通班取首個指定例作5分鐘概念示範；進階班完成整個探究。

探究與討論：18 分鐘紙筆：用 x＋y＋z＝9、x−y＝−1、y−z＝−1，先預測三值次序（3 分）。兩組各選不同未知數，但在各自過程一致地消去它，形成二元方程組再求完整三元解（7 分）。比較並驗算三原式（4 分）。只把第一式總和由 9 改為 12，先預測再核對各值如何改變（3 分）。說明只求兩值為何未完成三元求解（1 分）。不聲稱已有三元互動引擎。

教師示範1

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=9\\(1)x+(-1)y+(0)z=-1\\(0)x+(1)y+(-1)z=-1\end{cases}

參考答案

$x=2,\quad y=3,\quad z=4$ 。

x=2,\quad y=3,\quad z=4

第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y+(-1)z=-10$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-3}{2})z=-6$ 。
回代得 $z=4$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

帶做2

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=6\\(1)x+(-1)y+(0)z=0\\(0)x+(1)y+(-1)z=0\end{cases}

由 $x-y=0$ 寫 $y=\square$ 。
由 $y-z=0$ 寫 $z=y=\square$ 。
代入第一式： $x+x+x=6$ ，所以 $x=\square$ ；求 y、z，驗算三式。

參考答案

$x=2,\quad y=2,\quad z=2$ 。

x=2,\quad y=2,\quad z=2

第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y+(-1)z=-6$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-3}{2})z=-3$ 。
回代得 $z=2$ 。
回代得 $y=2$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備3

檢查 $x=1, y=2, z=3$ 是否為所示方程組的解，須核對每條方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=6\\(1)x+(-1)y+(0)z=-1\\(0)x+(1)y+(-1)z=-1\end{cases}

是，每條原方程都成立。
不是，只核對一條就足以否定。

參考答案

是，每條原方程都成立。

第 1 式左邊為 6，右邊為 6。
第 2 式左邊為 -1，右邊為 -1。
第 3 式左邊為 -1，右邊為 -1。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

先備4

要把三條 x、y、z 方程化成二元方程組，兩條新方程應有甚麼共同特點？

都消去同一未知數，留下相同另外兩個。
一條消 x，另一條只消 y，合起來仍有三個未知數。
兩個右邊都必須為零。

參考答案

都消去同一未知數，留下相同另外兩個。

新的一對須只含同樣兩個未知數。
否則尚未化為二元方程組。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習5

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=12\\(1)x+(-1)y+(0)z=2\\(0)x+(1)y+(-1)z=-1\end{cases}

參考答案

$x=5,\quad y=3,\quad z=4$ 。

x=5,\quad y=3,\quad z=4

第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y+(-1)z=-10$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-3}{2})z=-6$ 。
回代得 $z=4$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=5$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習6

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=10\\(2)x+(-1)y+(0)z=-1\\(0)x+(1)y+(-1)z=2\end{cases}

參考答案

$x=2,\quad y=5,\quad z=3$ 。

x=2,\quad y=5,\quad z=3

第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(-3)y+(-2)z=-21$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{3}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-5}{3})z=-5$ 。
回代得 $z=3$ 。
回代得 $y=5$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習7

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(0)z=5\\(0)x+(1)y+(1)z=7\\(1)x+(0)y+(1)z=6\end{cases}

參考答案

$x=2,\quad y=3,\quad z=4$ 。

x=2,\quad y=3,\quad z=4

第 3 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-1)y+(1)z=1$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $-1$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(2)z=8$ 。
回代得 $z=4$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

獨立練習8

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=3\\(1)x+(-1)y+(0)z=1\\(0)x+(1)y+(-1)z=1\end{cases}

參考答案

$x=2,\quad y=1,\quad z=0$ 。

x=2,\quad y=1,\quad z=0

第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y+(-1)z=-2$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-3}{2})z=0$ 。
回代得 $z=0$ 。
回代得 $y=1$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題9

檢查 $x=2, y=3, z=4$ 是否為所示方程組的解，須核對每條方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=9\\(1)x+(-1)y+(0)z=-1\\(0)x+(1)y+(-1)z=-1\end{cases}

是，每條原方程都成立。
不是，只核對一條就足以否定。

參考答案

是，每條原方程都成立。

第 1 式左邊為 9，右邊為 9。
第 2 式左邊為 -1，右邊為 -1。
第 3 式左邊為 -1，右邊為 -1。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

離堂題10

消元已得 y＝3、z＝4，原第一式為 x＋y＋z＝9。完成求解還要做甚麼？

求 x＝2，再驗算三條原方程。
停止；兩個值已足夠。
任選 x，不需檢查。

參考答案

求 x＝2，再驗算三條原方程。

把 3、4 代入 x＋y＋z＝9。
x＝9−3−4＝2，再驗算完整三元解。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課11

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=7\\(1)x+(-1)y+(0)z=2\\(0)x+(1)y+(-1)z=1\end{cases}

參考答案

$x=4,\quad y=2,\quad z=1$ 。

x=4,\quad y=2,\quad z=1

第 2 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(-2)y+(-1)z=-5$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-3}{2})z=\frac{-3}{2}$ 。
回代得 $z=1$ 。
回代得 $y=2$ 。
回代得 $x=4$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課12

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=3\\(2)x+(-1)y+(0)z=0\\(0)x+(1)y+(-1)z=\frac{-1}{2}\end{cases}

參考答案

$x=\frac{1}{2},\quad y=1,\quad z=\frac{3}{2}$ 。

x=\frac{1}{2},\quad y=1,\quad z=\frac{3}{2}

第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(-3)y+(-2)z=-6$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{3}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(\frac{-5}{3})z=\frac{-5}{2}$ 。
回代得 $z=\frac{3}{2}$ 。
回代得 $y=1$ 。
回代得 $x=\frac{1}{2}$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課13

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(2)x+(1)y+(-1)z=1\\(1)x+(-1)y+(1)z=2\\(1)x+(1)y+(1)z=6\end{cases}

參考答案

$x=1,\quad y=2,\quad z=3$ 。

x=1,\quad y=2,\quad z=3

第 2 式減去第 1 式的 $\frac{1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{-3}{2})y+(\frac{3}{2})z=\frac{3}{2}$ 。
第 3 式減去第 1 式的 $\frac{1}{2}$ 倍，得 $(0)x+(\frac{1}{2})y+(\frac{3}{2})z=\frac{11}{2}$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $\frac{-1}{3}$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(2)z=6$ 。
回代得 $z=3$ 。
回代得 $y=2$ 。
回代得 $x=1$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

補練／家課14

解方程組，寫出消元過程，並驗算每條原方程。

\begin{cases}(1)x+(-2)y+(0)z=0\\(0)x+(1)y+(-2)z=0\\(1)x+(1)y+(1)z=21\end{cases}

參考答案

$x=12,\quad y=6,\quad z=3$ 。

x=12,\quad y=6,\quad z=3

第 3 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(3)y+(1)z=21$ 。
第 3 式減去第 2 式的 $3$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(7)z=21$ 。
回代得 $z=3$ 。
回代得 $y=6$ 。
回代得 $x=12$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階15

三種票單價為 2、3、5 元，張數分別 x、y、z。共 9 張、收入 33 元，前兩種合共 5 張。列三元方程組求解並核對整數張數。

參考答案

$x=2,\quad y=3,\quad z=4$ 。

x=2,\quad y=3,\quad z=4

張數給 $x+y+z=9$ ，收入給 $2x+3y+5z=33$ ，另有 $x+y=5$ 。
第 2 式減去第 1 式的 $2$ 倍，得 $(0)x+(1)y+(3)z=15$ 。
第 3 式減去第 1 式的 $1$ 倍，得 $(0)x+(0)y+(-1)z=-4$ 。
回代得 $z=4$ 。
回代得 $y=3$ 。
回代得 $x=2$ 。
把完整解代回每條原方程，各左邊都等於原右邊。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。

進階16

寫了三條方程，是否必定唯一確定三個值？描述此方程組的實數解。

\begin{cases}(1)x+(1)y+(1)z=6\\(2)x+(2)y+(2)z=12\\(1)x+(-1)y+(0)z=0\end{cases}

參考答案

$x=t,\ y=t,\ z=6-2t,\ t\in\mathbb{R}$ ；無限多解。

x=t,\ y=t,\ z=6-2t,\ t\in\mathbb{R}

第二式是第一式兩倍，第三式給 x＝y。
令 x＝y＝t，得 z＝6−2t，各原式均成立。

使用已知條件，寫出有根據的中間步驟。
準確寫出所求，並核對結果。